菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份菏泽市定陶区第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知函数（是的导函数）,则( )
A.1B.2C.D.
2．如图,已知每条线路仅含一条通路,当一条电路从M处到N处接通时,不同的线路可以有( )
A.5条B.6条C.7条D.8条
3．已知是函数的导数,且,,,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
4．已知函数在R上可导,且满足,则函数在点处的切线的方程为( )
A.B.C.D.
5．若曲线有两条过点的切线,则a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6．已知函数，为的导函数，，则( )
A.的极大值为，无极小值
B.的极小值为，无极大值
C.的极大值为，无极小值
D.的极小值为，无极大值
7．若,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数是定义域为,是函数的导函数,若,且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动,下列说法正确的有( )
A.所有可能的方法有种
B.如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有61种
C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,则不同的安排方法共有20种
10．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点,其中是的根,是的导数,是的导数.若函数图象的对称点为,且不等式对任意恒成立,则下列结论正确的是( )
A.B.C.的值可能是D.m的值可能是
11．已知函数,则( )
A.当时,函数恰有1个零点
B.当时,函数恰有2个极值点
C.当时,函数恰有2个零点
D.当函数恰有2个零点时,必有一个零点为2
三、填空题
12．如图所示的A,B,C,D按照下列要求涂色,若恰好用3种不同颜色给A,B,C,D个区域涂色,且相邻区域不同色,共有_____________种不同的涂色方案？
13．定义域为D的函数,如果对于区间I内（）的任意三个数,,,当时,有,那么称此函数为区间I上的“递进函数”,若函数是区间为“递进函数”,则实数a的取值范围是_____________.
14．已知A,B分别是函数和图象上的动点,若对任意的,都有恒成立,则实数a的最大值为_______________.
四、解答题
15．从0～6这7个数字中取出4个数字,试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的四位数？
（2）能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
16．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召,小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业,生产某小型电子产品.经过市场调研,生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元,每生产万件,需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时,,在年产量不小于4万件时,.每件产品售价6元.通过市场分析,小王生产的产品当年能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）
(2)年产量为多少万件时,小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
17．已知函数,在处取得极值.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的极值;
(3)设函数,若对于任意,总存在,使得,求实数a的取值范围.
18．已知函数,且恒成立.
(1)求实数a取值的集合;
(2)证明：.
19．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度,为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段,其弧长为,当动点从A沿曲线段运动到B点时,A点的切线也随着转动到B点的切线,记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然,当弧长固定时,夹角越大,曲线的弯曲程度就越大;当夹角固定时,弧长越小则弯曲程度越大,因此可以定义为曲线段的平均曲率;显然当B越接近A,即越小,K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度,因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率.（其中,分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率;
(2)求椭圆在处的曲率;
(3)定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和,且P,Q处的“柯西曲率”相同,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由函数,可得,
令,可得,解得,
则,所以.
故选：A.
2．答案：D
解析：由题意知可以按上、下两条线路分为两类,上线路中有2条,下线路中有条.
根据分类计数原理,不同的线路可以有条.
故选：D
3．答案：D
解析：设,因为,所以,
对函数求导,得,因为,所以,
所以函数是实数集上的增函数,
因此由.
故选：D.
4．答案：D
解析：由,得到,
由导数的定义知,所以函数在点处的切线的方程为,
即,
故选：D.
5．答案：D
解析：设切点为,由已知得,则切线斜率,
切线方程为.
直线过点, ,
化简得,切线有2条,
,则a的取值范围是,
故选：D.
6．答案：C
解析：的定义域为R，，所以，求导得，令，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值.故选C.
7．答案：C
解析：因为,
构造函数,则,
令,解得;当时,令,解得;
可得在上单调递减,在上单调递增;
且,所以,即.故选：C.
8．答案：C
解析：令,,则.
因为,所以,所以函数在上单调递增.
易得,因为函数的定义域为,所以,解得,
所以不等式等价于,即.又,
所以,所以等价于.
因为函数在上单调递增,所以,解得,结合可得.
故不等式的解集是.
故选：C.
9．答案：BC
解析：对于选项A,安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,
每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动,
故有种选择方案,错误;
对于选项B,如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有（种）,正确;
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有（种）,正确;
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况,则不同的安排方法共有（种）,
错误.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：由题意可得,因为,所以,
所以,
解得,所以.
因为,所以等价于对任意恒成立.令,则.
设,则,从而在上单调递增.
因为,所以,即,
则（当且仅当时,等号成立）,
从而,所以.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：因为,
所以,
令,,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以 ,
对于A：当时,,即恒成立,
所以在R上单调递增,
又,,
所以函数恰有1个零点,A正确;
对于B：当时,,
令,有,设,则,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
所以,作出图象如下图：
又,所以方程必有2个根,
即必有两个零点,设为,,且,
当时,,即,
当时,,即,
当时,,即,
所以函数在上单调递增,在单调递减,在上单调递增,
即函数恰有2个极值点,B正确;
对于CD：当函数有2个零点时,或,
所以或,
将或代入得
或,
解得或,故C错误,D正确.
故选：ABD.
12．答案：18
解析：恰好用3种不同颜色涂四个区域,则A,C区域或A,D区域或B,D区域必同色,
当A,C同色时,有种,同理A,D、B,D分别同色时各有6种,
由分类加法计数原理得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案.
故答案为：18.
13．答案：
解析：因为函数是区间为“递进函数”,
所以的递增区间为,
令,则在上恒成立,
即在上恒成立,
所以,
故答案为：.
14．答案：
解析：点到直线的距离,
则,
又,
由知,和在R上单调递增,
所以在R上单调递增,其值域为R,
又,令,
令,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,
因为对任意的,都有恒成立,所以,
所以实数a的最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）720
（2）420
解析：（1）第一步;千位不能为0,有6种选择;第二步：百位可以从剩余数字中选,有6种选择;第三步：十位可以从剩余数字中选,有5种选择;第四步;个位可以从剩余数字中选,有4种选择.
根据分步计数原理,能组成个没有重复数字的四位数.
（2）第一类：当个位数字是0时,没有重复数字的四位数有个;
第二类：当个位数字是2时,千位不能为0,没有重复数字的四位数有个;
第三类：当个位数字是4时,千位不能为0,没有重复数字的四位数有个;
第四类：当个位数字是6时,千位不能为0,没有重复数字的四位数有个.
根据分类计数原理,能组成个没有重复数字的四位偶数.
16．答案：（1）
（2）当年产量为8万件时,所获年利润最大,为9万元
解析：（1）由题意,当时,;
当时,.
所以.
（2）当时,,令,解得.
易得在上单调递增,在上单调递减,所以当时,
.
当时,,
当且仅当,即时取等号.
综上,当年产量为8万件时,所获年利润最大,为9万元.
17．答案：（1）
（2）当时,函数有极小值-2;当时,函数有极大值2
（3）
解析：（1）,则,
由题意可得 ,解得,
则函数的解析式为,且,
令,解得：,
则当x变化时,,的变化情况如下表：
故符合题意,即.
（2）由（1）可得：当时,函数有极小值-2;当时,函数有极大值2.
（3）函数在时,,在时,且,
由（1）知：当时,函数有最小值-2,
又对任意总存在,使得,则当时,的最小值不大于-2,
对于开口向上,对称轴为,
当时,则在上单调递增,故的最小值为,得;
当时,则在上单调递减,故的最小值为,得;
当时,则在上单调递减,在上单调递增,的最小值为,得或,不合题意,舍去;
综上所述：a的取值范围是.
18．答案：已知函数,且恒成立.
(1)求实数a取值的集合;
(2)证明：.
答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）.
当时,注意到,不合题意;
当时,由,得;由0,得.
在上单调递减,在上单调递增,
时,函数取得唯一极小值即最小值,因为恒成立且,
;解得.
实数a取值的集合是.
（2）证明：由（1）可知：时,,即,
变形得在时恒成立.
要证明：,只需证明：,
即证明.
令,.
,令,
,令,解得.
当时,,函数单调递减,
当,,时单调递增.
即函数在上单调递减,在上单调递增.
而..
存在,使得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
当时,,单调递增.
又,,
对,恒成立,即.
综上可得：不等式成立.
19．答案：(1)1
(2)
(3)
解析：（1）.
（2）,,,
故,,故.
（3）,,故,其中,
令,,则,则,其中（不妨）
令,在递减,在递增,故;
令,
,令,
则,当时,恒成立,故在上单调递增,
可得,即,
故有,
则在递增,
又,,故,
故.
x
-1
1
0
0
减
极小值-2
增
极大值2
减