安徽省蚌埠市皖北私立联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份安徽省蚌埠市皖北私立联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 分数：150分
一、单选题
1．已知函数的图象与直线相切于点，则（ ）
A．4B．8C．0D．-8
2．下列求导运算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的值为（ ）
A．B．C．9D．7
5．已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（ ）
A．240B．480C．120D．200
7．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（ ）
A．B．
C．D．
8．重庆，我国四大直辖市之一，这里资源丰富，旅游景点也多，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源4个国家5A级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件：甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区，事件：甲和乙选择的景区不同，则概率（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．奇数项的二项式系数和为32
B．所有项的系数和为243
C．只有第3项的二项式系数最大
D．含x项的系数为40
10．有一组样本数据，添加一个数形成一组新的数据，且，则新的样本数据（ ）
A．众数是1的概率是 B．极差不变的概率是
C．第25百分位数不变的概率是 D．平均值变大的概率是
11．已知函数，则（ ）
A．的极小值点为
B．的极大值为
C．曲线在单调递减
D．曲线在点处的切线方程为
三、填空题
12．设曲线y＝ax3+x在（1，b）处的切线与直线2x﹣y﹣6＝0平行，则实数a的值为 .
13．有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
14．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第 行．
四、解答题
15．从7名男生和5名女生中选出4人去参加一项比赛．
(1)若男生甲和女生乙必须参加，则有多少种选法？
(2)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？
(3)若女生至少要有2人参加，则有多少种选法？
16．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论函数的单调性．
17．某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.
18．在的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第项是有理项，求的取值集合.
(3)系数的绝对值最大的项是第几项；
19．已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若对，都有恒成立，求的取值范围；
(3)已知，若，且满足，使得，求证：．
参考答案：
1．B
【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果.
【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，
又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，
．
则．
故选：B．
2．B
【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误；
故选：B.
3．C
【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得的值，又由，计算可得答案.
【详解】根据题意，随机变量的分布列为，
由分布列的性质，则有，解得，
故.
.
故选：C.
4．B
【分析】根据题意分别将化简为，然后对每项进行二项式展开求出项的系数，从而可求解.
【详解】由题意可得，然后分别求出和中项的系数，
对于，其展开式通项为，当时，项的系数为，
对于，其展开式通项为，当时，项的系数为，
所以项的系数，故B正确.
故选：B.
5．C
【分析】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为求出，进而根据单调性可得其最小值.
【详解】由得，
故当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
故当时，取得最大值，即，此时，
当，，当时，
故最小值为，
故选：C
6．A
【分析】利用分步乘法计数原理与排列的知识即可得解.
【详解】根据题意，“英语角”、“语文学苑”和“理综世界” 两两相邻，有种方案，
而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，
总共有种方法.
故选：A
7．D
【分析】由结构特征可知是函数的导数简单变形得到的，故构造函数并得到函数的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小.
【详解】令，则在恒成立，所以在单调递增，所以，即，
又因为函数为定义在上的偶函数，所以，即，
故选：D.
8．D
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】甲、乙两位游客分别从4个景区选择一个游玩的总情况数为种，
其中甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区的情况数为，则，
事件表示：甲乙选择的景区不同，且至少一个选择酉阳桃花源景区，
则符合要求的情况数为种，则，
所以.
故选：D
9．BD
【分析】由二项展开式的二项式系数的性质判断AC；取求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由x的指数为1求得r值，可得含x项的系数判断D．
【详解】A：的展开式的所有二项式系数和为，
奇数项的二项式系数和为16，故A错误；
B：取，可得所有项的系数和为，故B正确；
C：的展开式有6项，第3项与第4项的二项式系数相等且最大，即，故C错误；
D：展开式的通项为，
由，得，
∴含x项的系数为，故D正确．
故选：BD．
10．ABD
【分析】根据题意计算出的每个可能的取值相应的概率，结合各选项的条件确定X可能的取值，即可求出相应的概率，即得答案.
【详解】由题意知，
则，，
，，
对于A，众数是1，说明添加的数为1，则，A正确；
对于B，极差不变，说明添加的数，
则极差不变的概率是，B正确；
对于C，由于，
故原数据和新数据的第25百分位数均为第2个数，
只要添加的数不为0，原数据和新数据从小到大排列后，第二个数相同，都为1，
故第25百分位数不变的概率是，C错误；
对于D，原样本数据的平均值为，
平均值变大，则添加的数要大于2，即，
故平均值变大的概率是，D正确，
故选：ABD
11．BD
【分析】根据条件，直接求出的极值点、极大值及单调区间，即可判断出选项ABC的正误，再利用导数的几何意义，求出切线方程，即可判断出选项D的正误.
【详解】因为，所以，
由，得到或，
当或时，，当时，，
所以极大值点为，极大值为，极小值点为，所以选项A错误，选项B正确，
又的增区间为，，减区间为，所以选项C错误，
对于选项D，因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，即，所以选项D正确.
故选：BD.
12．
【解析】求出函数的导数，由题可知函数在处的导数等于直线的斜率2，即可求出.
【详解】根据题意，曲线，其导数，
则有，
若曲线在（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6＝0平行，则有3a+1＝2，
解可得：.
故答案为：.
13．
【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序.
【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，
当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
合计有种不同分配方案，
故答案为：.
14．
【分析】设这一行为第行，且这三个数分别为、、，利用组合数公式可得出关于的等式，解出的值，即可得解.
【详解】由题意可知，这一行为第行，且这三个数分别为、、，
由题意可得，解得，
因此，这一行是第行.
故答案为：.
15．(1)45
(2)455
(3)285
【分析】（1）在剩下的10人中任选2人即可；
（2）从所有12人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况.
（3）分成女生有2人男生2人，女生有3人男生1人，女生有4人.
【详解】（1）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的10人中任选2人，有种选法；
（2）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.
（3）若女生至少要有2人参加，则分成女生有2人男生2人，女生有3人男生1人，女生有4人.
女生有2人男生2人，有种选法；
女生有3人男生1人，有种选法；
女生有4人，有种选法；
则共有种选法.
16．(1)极大值为，无极小值
(2)答案见解析
【分析】（1）将代入函数中，求出函数的导函数，即可求出函数的极值.
（2）求导数，分类讨论和，利用导数的正负，即可求的单调性.
【详解】（1）函数的定义域为，当时，，
所以，令，解得，
令，解得：，即的单调增区间为，
令，解得：，即的单调减区间为，
所以当时，取得极大值，极大值为，
故当时，的极大值为，无极小值；
（2）函数的定义域为，，
①当时，在上恒成立，即在上单调递增；
②当时，令，解得：，
令，解得：，即在上单调递增，
令，解得：，即在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
17．(1)种
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据分步计数原理即可求解；
（2）求出男运动员与女运动员的人数之差为的可能取值，并得到其概率，最后写出分布列即可.
【详解】（1）共有种选派方法.
（2）由题意知，的取值范围为，
，
所以的分布列为
18．(1)
(2)
(3)第项和第项
【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可；
（2）当为整数时为有理项，即可求解；
（3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解.
【详解】（1），，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以；
（2），，
当为整数时为有理项，即，
则的取值集合为；
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第项和第项.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，，求导，根据导数的几何意义可得，由两点式可得切线的方程．
（2）问题可转化为，对求导，分析单调性，求出得最大值，使得它小于等于，进而可得的取值范围．
（3）问题转化为只需证明，由，，且函数在上单调递增，推出只需证明，也即，再构造函数，利用的单调性，即可得出答案．
【详解】（1）当时，，所以，得到，
又，所以在处的切线方程为．
（2）由题意知，当时，，又，
①当时，恒成立，即在上单调递减，
所以恒成立，所以，
②当时，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当，即时，在区间上单调递增，
所以，（舍去），
当，即时，在上单调递减，，所以，
当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，得到，所以，
综上，的取值范围为．
（3）因为，要证，只需证明，
由（2）可知，要证，只需证明，
因为，，且函数在区间上单调递增，
所以只需证明，
又因为，即证，
令，
即，
注意到，
因为，
则在上单调递减，所以在恒成立，
所以，即满足.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
-3
-1
1