广东实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份广东实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共4页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是关于复数z的方程（m，）的一根，则
A．5B．6C．7D．8
2．，，，若，，共面，则实数k为
A．1B．2C．3D．4
3．展开式中的常数项为
A．15B．60C．D．240
4．若，则
A．B．C．D．
5．从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率为
A．B．C．D．
6．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是
A．B．C．D．
7．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的离心率为
A．B．C．D．
8．函数在定义域R上处处可导，其导函数为．已知，，且当时，．若，，，则
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9．数列2，0，2，0，…的通项公式可以是
A．B．C．D．
10．为响应政府部门疫情防控号召，某校安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴海珠、白云、番禺三个区参加防控工作，则下列说法正确的是
A．不同的安排方法共有64种
B．若恰有一个区无人去，则不同的安排方法共有42种
C．若甲必须去海珠，且每个区均有人去，则不同的安排方法共有12种
D．若甲、乙两人都不能去海珠，且每个区均有人去，则不同的安排方法共有14种
11．如图，在△ABC中，，，，过AC中点M的直线l与线段AB交于点N．将△AMN沿直线l翻折至△AMN＇，且点A＇在平面BCMN内的射影H在线段BC上，连接AH交l于点O，D是直线l上异于O的任意一点，则
A．点O的轨迹的长度为
B．
C．
D．直线AO＇与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
13．在△ABC中，，，则△ABC面积的最大值为 ．
14．用表示不超过x的最大整数，例如，，．已知数列满足，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知，．
（1）当时，求的图像在处的切线方程；
（2）若当时，，求a的取值范围．
16．（15分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若△ABC外接圆的面积为，且，求△ABC的面积．
17．（15分）
已知各项均不为0的数列的前n项和为，且，，，数列的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）求；
（3）若对于任意，成立，求实数的取值范围．
18．（17分）
已知椭圆C：（）的离心率为，且过点．直线与椭圆C相切于点P（P在第一象限），直线与椭圆C相交于AB，两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线OP的斜率为，求证：为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．
19．（17分）
拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得，我们将称为函数在上的“中值点”．
已知函数，，．
（1）求在上的中值点的个数；
（2）若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数t的取值范围．
（3）当且时，证明：．