广东省汕头市潮阳黄图盛中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

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第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、设集合，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若复数，则（ ）
A、 1 B、 C、 D、
3、已知等边三角形的边长为2，且，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知，则（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知实数满足，则下列各项中一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、 定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、 碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ）
A、37.54 B、38.23 C、39.53 D、40.52
8、 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9、已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A、与的夹角的余弦值为 B、在方向上的投影向量为
C、与垂直的单位向量的坐标为 D、若向量与向量共线，则
10、已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A、 B、在上为增函数
C、若的值域为 D、方程有且仅有两个解
11、函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于轴对称.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12、扇形周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是___________.
13、已知正实数满足，则的最小值为__________.
14、已知为∆ABC 外心，若 ，则最小值___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15、（本题13分）已知，且
（1）求的值；
（2）若，求的值.
16、（本题15分）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）．
(1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为）
(2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？
17、（本题15分）已知命题：“，不等式恒成立”为真命题．
（1）求实数取值的集合；
（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围.
18、（本题17分）在∆ABC中，角 的对边分别为，若，且
（1）求；
（2）求边上高的最大值.
19、 （本题17分）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；
（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；
（2）设，证明：有且只有一个零点，且.