湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知复数z满足z1+i2=2+23i，则z−2i=（ ）
A．3B．23C．4D．12
2．已知函数fx的图象与直线4x−y−4=0相切于点2,f2，则f2+f'2（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
3．设数列an的前n项之积为Tn，满足an+2Tn=1（n∈N*），则a2024=（ ）
A．10111012 B．10111013 C．40474049 D．40484049
4．若2x−14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（ ）
A．−40 B．40 C．41 D．82
5．已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，P(X>1)=0.7，则P(20，b>0，直线l1：a−1x+y−1=0，l2：x+2by+1=0，且l1⊥l2，则2a+1b的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知圆O1:x2+y2−2x−3=0和圆O2:x2+y2−2y−1=0的交点为A,B，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆的圆心距O1O2=2
B．直线AB的方程为x−y−1=0
C．圆O2上存在两点P和Q，使得PQ>AB
D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2
10．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，G为△A1B1C1的重心，BP=12PA1，若∠BAA1=∠CAA1=π3,AB=AA1=1，则（ ）
A．PG=−13AB+13AC+23AA1 B．AA1⊥BC
C．PG // BC1 D．PG=53
11．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A，“数字是5的倍数”为事件B，“数字是7的倍数”为事件C，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件A、B、C两两互斥 B．事件A∪B与事件B∩C对立
C．PABC=PAPBPC D．事件A、B、C两两独立
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
12．已知函数f(x)=kx+2(kb>0的离心率e=22，短轴长为23．若直线l与C在第一象限交于A,B两点，l与x轴、y轴分别相交于M,N两点，MA=NB，且S△MNO=22，则AB= ．
四、解答题解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）（12分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足3a−3ccsB+bsinC=0．
(1)求角C的大小；
(2)若c=23,D为AB的中点且CD=2，求△ABC的面积．
16．（15分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为BC1,AB的中点，点G在DC的延长线上，且CG=12CD.
(1)证明：EG⊥平面BC1D.
(2)求平面BC1D与平面DEF的夹角余弦值.
17．（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，MN=3，tan∠MF1N=247．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且k1+k2=2，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
18．（17分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分k的频率分布直方图如图所示：

减排器等级及利润率如下表，其中171)=0.7，则P(X>3)=P(XC1C2=2,
根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且2a=8,2c=2，
可得a=4,c=1，则b=a2−c2=15，
所以动点M的轨迹方程为x216+y215=1.
所以其轨迹为焦点在y轴上的椭圆.
故选：C.
8．【答案】C
【解析】因为l1⊥l2，故a−1+2b=0即a+2b=1，
故2a+1b=a+2bab=1ab=2a×2b≥2a+2b22=8，当且仅当a=12,b=14时等号成立，
故2a+1b的最小值为8，
故选：C.
9．【答案】AD
【解析】对于A，因为圆O1的圆心坐标为1,0，圆O2的圆心坐标0,1，
因为两个圆相交，所以两圆的圆心距O1O2=(1−0)2+(0−1)2=2，故A正确；
对于B，将两圆方程作差可得−2x+2y−2=0，
即得公共弦AB的方程为x−y+1=0，故B错误；
对于C，由B选项可知，直线AB的方程为x−y+1=0，由于0,1满足x−y+1=0上，故直线AB经过圆O2的圆心坐标0,1，所以线段AB是圆O2的直径，
故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；
对于D，圆O1的圆心坐标为1,0，半径为2，
圆心O1到直线AB:x−y+1=0的距离为1+12=2，
所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2，故D正确，
故选：AD.
10．【答案】ABD
【解析】A选项，底面△ABC为等边三角形，G为△A1B1C1的重心，
故A1G=13A1B1+13A1C1=13AB+13AC，
又BP=12PA1，故PG=PA1+A1G=23BA1+13AB+13AC=23BA+23BB1+13AB+13AC
=−23AB+23AA1+13AB+13AC=−13AB+13AC+23AA1，A正确；
B选项，BC=AC−AB，故AA1⋅BC=AA1⋅AC−AB=AA1⋅AC−AA1⋅AB
=AA1⋅ACcs∠CAA1−AA1⋅ABcs∠BAA1=csπ3−csπ3=0，
故AA1⊥BC，B正确；
C选项，BC1=BC+BB1=AC−AB+AA1，
又PG=−13AB+13AC+23AA1，
设PG=tBC1，即−t=−13t=13t=23，无解，故PG与BC1不平行，C错误；
D选项，PG2=−13AB+13AC+23AA12
=19AB2+19AC2+49AA12−29AB⋅AC−49AB⋅AA1+49AC⋅AA1
=19+19+49−29AB⋅ACcsπ3−49AB⋅AA1csπ3+49AC⋅AA1csπ3
=19+19+49−29×12−49×12+49×12=59，
故PG=53，D正确.
故选：ABD
11．【答案】ABC
【解析】依题意抛掷一次可能出现的结果有2、5、7、70，
事件A包含的基本事件有2、70，则PA=24=12；
事件B包含的基本事件有5、70，则PB=24=12；
事件C包含的基本事件有7、70，则PC=24=12；
显然事件A与事件B，事件A与事件C，事件C与事件B均可以同时发生，
故事件A与事件B，事件A与事件C，事件C与事件B均不互斥，故A错误；
事件A∪B包含的基本事件有2、5、70，
事件B∩C包含的基本事件有70，
当出现70时事件A∪B与事件B∩C均发生，故事件A∪B与事件B∩C不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件ABC包含的基本事件有70，所以PABC=14，
所以PABC≠PAPBPC，故C错误；
因为事件BC包含的基本事件有70，所以PBC=14=PBPC，所以B与C相互独立；
因为事件AB包含的基本事件有70，所以PAB=14=PBPA，所以B与A相互独立；
因为事件AC包含的基本事件有70，所以PAC=14=PAPC，所以A与C相互独立；
即事件A、B、C两两独立，故D正确.
故选：ABC
12．【答案】kkl=1e，所以k0或k0，解得x>1a，
此时函数fx在区间0,1a上单调递减，在区间1a,+∞上单调递增.
综上可得：当a≤0时，函数fx在定义域0,+∞上单调递减；
当a>0时，函数fx在区间0,1a上单调递减，在区间1a,+∞上单调递增.
（3）因为函数fx在x=1处取得极值，
所以f'1=0，即a−1=0，解得a=1.
此时f'x=1−1x=x−1x，
令f'x>0，解得x>1；令f'xe2；令g'x