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    广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

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    广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

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    这是一份广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷,共11页。试卷主要包含了棣莫弗公式,已知平面向量,,若,则,蒙古包,下列命题中的真命题是等内容,欢迎下载使用。
    命题人、审核人:高一数学备课组
    本试卷满分150分,考试用时120分钟
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
    2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
    3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )
    ①②③④
    A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④不是棱柱
    2.在下列各组向量中,可以作为基底的是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    3.复数在复平面内,z对应的点的坐标是( )
    A.B.C.D.
    4.棣莫弗公式(其中为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗发现的,根据棣莫弗公式可知,复数在复平面内所对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    5.已知平面向量,,若,则( )
    A.B.0C.D.
    6.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
    A.B.C.D.
    7.蒙古包(Mnglianyurts)是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活,蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体,已知圆锥的高为2米,圆柱的高为3米,底面圆的面积为平方米,则该蒙古包(含底面)的表面积为( )
    A.平方米B.平方米
    C.平方米D.平方米
    8.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等,如图,已知圆O的半径2,点P是圆O内的定点,且,弦AC,BD均过点P,则下列说法错误的是( )
    A.为定值B.当时,为定值
    C.的取值范围是D.的最大值为12
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
    9.下列命题中的真命题是( )
    A.若直线a不在平面内,则
    B.若直线l上有无数个点不在平面内,则
    C.若,则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点
    D.平行于同一平面的两直线可以相交
    10.如图,正方体的棱长为1,动点E在线段上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是( )
    A.B.平面
    C.三棱锥B-CEF的体积为定值D.存在点E,使得平面平面
    11.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,下列结论正确的是( )
    A.若,则满足条件的三角形只有1个
    B.△ABC面积的最大值为
    C.△ABC周长的最大值为
    D.若△ABC为锐角三角形,则的取值范围是
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.,是夹角为60°的两个单位向量,,,则与的夹角为 .
    13.已知,且,为虚数单位,则的最小值是 .
    14.如图,在三棱锥P-ABC中,平面ABC,△PAC是等腰直角三角形,,,,垂足为H,D为PA的中点,则当△CDH的面积最大时, .
    四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    15.(13分)
    如图所示,我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C相距都为5公里,与小岛D相距为公里.已知角A为钝角,且.
    (1)求小岛A与小岛D之间的距离;
    (2)记∠CDB为,∠CBD为,求的值.
    16.(15分)
    如图:在正方体中,,M为的中点.
    (1)求三棱锥M-ABC的体积;
    (2)求证:平面AMC
    (3)若N为的中点,求证:平面平面.
    17.(15分)
    如图,在三棱柱中,侧棱底面ABC,,,,
    (1)证明:平面;
    (2)若D是棱的中点,在棱AB上是否存在一点E,使平面?证明你的结论.
    18.(17分)
    已知向量,,且
    (1)求,的值;
    (2)求的取值范围;
    (3)记函数,若的最小值为,求实数的值.
    19.(17分)
    在△ABC中,∠A,∠B,∠C对应的边分别为a,b,c
    (1)求A;
    (2)奥古斯丁·路易斯·柯西(Augustin Luis Cauchy,1789年-1857年),法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在,在(1)的条件下,若,P是△ABC内一点,过P作AB,BC,AC垂线,垂足分别为D,E,F借助于三维分式型柯西不等式:,,,.当且仅当时等号成立.求的最小值.
    南头中学2023~2024学年度第二学期高一数学期中考试(解析)
    1.C2.B3.C4.B5.A6.D
    7.A
    【详解】由题意知圆锥的高为2米,圆柱的高为3米,底面圆的面积为平方米,设底面圆的半径为r,则,∴,则圆锥的母线长为(米),
    故该蒙古包(含底面)的表面积为(平方米)
    8.D
    【解答过程】如图,过O,P作直径EF,依题意,为定值,A正确;若,则,则,又,则,同理可得,故,B正确;若M为AC中点,连接OM,则,由题意,则,C正确;因为,,则有,D错误.
    9.CD
    【解析】A中,直线a也可能与平面相交,故A是假命题;B中,直线l与平面相交时,l上也有无数个点不在平面内,故B是假命题;C中,时,与没有公共点,所以l与内任何一条直线都没有公共点,故C是真命题;D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D是真命题.
    10.ABC
    【解答】解:A:因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故正确:B:由平面几何得,又有,所以平面,故正确;C:三棱锥B-CEF以面BCF为底,则高是定值,所以体积为定值,故正确;D:BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故错误。
    11.BCD
    【解答过程】对于A,因为,,所以满足条件的三角形有2个,故A错误;对于B,由余弦定理得,即,所以,当且仅当时取等号,所以,所以△ABC面积的最大值为,故B正确;对于C,由余弦定理得,即,所以,当且仅当时取等号,所以△ABC的周长,所以△ABC周长的最大值为,故C正确;对于D,由正弦定理得,因为△ABC为锐角三角形,所以,,,,所以,故D正确.
    12.120°(此题较易,可自行书写过程)
    13.
    【解析】令,(x,),则,
    所以,等价于坐标系中点到定点的距离恒为1,
    即动点C在以B为圆心,半径为1的圆上,如下图:
    又表示动点C到定点的距离,而B与A的距离为,
    所以,C在A,B之间且共线,左侧等号成立;B在A,C之间且共线,右侧等号成立;所以的最小值是.
    14.
    【解答】解:三棱锥P-ABC中,面ABC,平面ABC,
    ∴,又,,∴平面PBC,又平面PBC,∴,又,,∴平面PAB,又平面PAB,∴,又△PAC是等腰直角三角形,且,D是PA的中点,∴,,设,,则,∴,即,当且仅当时,“=”成立,此时△CDH的面积最大;在Rt△PBC,设,则
    ∴,即
    解得,∴CB的长是.
    15.(1)2(2)
    【小问1详解】由题意可知:,,因为角A为钝角,,所以,在△ABD中,由余弦定理得,,所以,解得或(舍),所以小岛A与小岛D之间的距离为2.
    【小问2详解】在△BCD中,由正弦定理,因为,所以,则,因为,所以为锐角,所以,所以,,所以.
    16.(1);(2)证明见解析:(3)证明见解析.
    【解答】解:
    (1)∵正方体中,M为的中点,
    ∴底面ABC,;
    (2)证明:如图,连接BD,设交AC于点O,
    ∵O是DB的中点,M是的中点,
    ∴,且平面AMC,平面AMC,
    ∴平面AMC;
    (3)证明:∵N是的中点,M是的中点,
    ∴四边形为平行四边形,
    ∴,且平面AMC,平面AMC,
    ∴平面AMC,由(1)知平面AMC,
    且,∴平面平面.
    17.证明:
    (1)∵,∴.∵侧棱底面ABC,∴.
    ∵,∴平面.∵平面,∴,
    ∵,则.在Rt△ABC中,,,∴.
    ∵,∴四边形为正方形.∴,,∴平面.
    (2)当点E为棱AB的中点时,平面.证明如下:
    如图,取的中点F,连EF、FD、DE,
    ∵D、E、F分别为、AB、的中点,∴.∵平面,平面,∴平面.同理可证平面,∵,∴平面平面.∵平面EFD,∴平面
    18.(1)(2)(3)
    【详解】
    (1)向量,,
    (2),,,,,所以的取值范围为.
    (3)由(1)(2)可知,函数,令,则,,其图像抛物线开口向上,对称轴方程为,当,即时,最小值为,解得(舍去);当,即时,最小值为,解得或(舍去);当,即时,最小值为.综上可知,.
    19.(1)(2)
    【解析】
    (1)由正弦定理得即,,若,不成立,则,所以,,所以.
    (2).
    又,,,,
    ∴.
    由三维分式型柯西不等式有.
    当且仅当即时等号成立.
    由余弦定理得,
    所以即,.
    令,则.
    因为,解得,
    当且仅当时等号成立.所以.则.
    令,则在上递减,
    当即时,y有最大值,此时T有最小值.

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