2024年江苏省泰州市泰兴市中考一模数学试题

这是一份2024年江苏省泰州市泰兴市中考一模数学试题，共15页。试卷主要包含了下列事件是必然事件的是，分解因式等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分150分）
注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分；
2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；
3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗．
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2024的倒数是（ ）
A．B．C．2024D．－2024
2．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示的物体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽B．3个人分成两组，有2个人分在一组
C．购买一张彩票，中奖D．某篮球运动员投篮一次就命中
5．将一把直尺和正六边形ABCDEF按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．68°
6．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形ABCD，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（ ）
A．四边形ABCD的面积B．四边形EFGH的面积
C．的面积D．的面积
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是______．
8．常泰长江大桥为目前在建世界最大跨度公路和铁路两用斜拉桥，大桥全长100300米，将数据100300用科学计数法表示为______．
9．分解因式：______．
10．命题“如果，那么”是______命题．（填“真”或“假”）
11．关于x的一元二次方程的两根之积为______．
12．如图是甲、乙两组数据的统计图，则较为稳定的数据是______组（填“甲”或“乙”）．
13．如图，PB是的切线，切点为B，连接OP交于点C，AB是的直径，连接AC，若，，则图中阴影部分的面积为______．
14．如图，在中，，，，D是AC上一点，连接BD，将沿BD翻折至处，若BE恰好经过点C，则的值为______．
15．一次函数的图像经过点和点，若，则n的取值范围为______．
16．如图，在矩形ABCD中，，，E是线段AD上一动点，以E为直角顶点在EB的右侧作等腰三角形EBF，连接DF，设，当t为整数时，点F位置有______个．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）
计算：（1）；（2）解不等式组：．
18．（本题满分8分）
为了解某市九年级学生完成家庭作业时间的情况，随机抽取了部分九年级学生某一天完成家庭作业所用的大致时间（时间记为整数，单位：分钟），并把调查得到的所有数据（时间）进行整理分成五个时间段（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），绘制成如图所示的统计图．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）C组的学生人数为______人，B组在扇形统计图的圆心角为______°；
（2）某市九年级学生大约有8500名，请估计全市九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过90分钟的约有多少人？
（3）根据统计图，下面关于该市抽取的九年级学生完成家庭作业时间的三个推断，正确的是______（填序号）
①中位数一定在C组；②众数一定在C组；③平均数不超过75分钟．
19．（本题满分8分）
清明前夕，某学校举行了扫墓活动，小聪同学收集了A、B、C、D四种纪念卡片（A：杨根思烈士陵园纪念馆；B：泰兴市革命烈士纪念馆；C：新四军黄桥战役纪念馆；D：中安轮遇难烈士纪念馆），这些卡片的背面完全相同．
（1）把这四张卡片背面朝上洗匀后，小聪从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率为______；
（2）把这四张卡片背面朝上洗匀后，小聪从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，小明再随机抽取一张．求两人抽到同一张卡片的概率．
20．（本题满分8分）
小颖同学在用描点法画二次函数图象时，列出了下面表格：
（1）表格中的“■”数据被污染了，求被污染的数据；
（2）张老师针对上面的二次函数提出了这样一个问题：
当时，求函数值y的取值范围．
如下是小颖同学的解答过程：
小颖的解答正确吗？如果正确，请说明理由；如果错误，请直接写出正确的结果．
21．（本题满分10分）
如图，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，它们之间依次相距30km、270km，甲、乙两辆汽车分别在A站和B站，两车同时向终点站C出发，甲、乙两车的速度之和为140km/h，它们与A站的距离分别为、，设两车运动的时间为．
（1）若甲车的速度为80km/h，分别求、与x之间的函数表达式；
（2）若甲车的速度为，甲、乙两车同时到达终点站C，求a的值．
22．（本题满分10分）
如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，，，两个反光镜，直线MN、GA之间的距离为5cm，．与MN平行的一束光线经两个反光镜反射后沿射出，其中．（参考值：，，，，，）
（1）当G、A、I三点共线时，求反光镜KI的长度；（结果保留一位小数）
（2）已知米，求点A到直线BH的距离．
23．（本题满分10分）
如图，内接于，，，垂足为D．
（1）请用无刻度的直尺在上找一点P，使得CP平分，保留作图痕迹，并说明理由；
（2）若，，求OD的长．
24．（本题满分10分）
如图1，是一张等腰三角形纸片，，小明用该等腰三角形纸片进行折纸探究活动．将过点B所在直线折叠，使得翻折至处，折痕为BD，BE交AC于点F．
操作发现：经过若干次操作尝试，小明发现折叠后的DE可以与BC平行，如图2；
质疑探究：是否存在一种等腰三角形纸片使得DE与BC既平行又相等，小明运用所学过的数学知识通过探究发现这样的等腰三角形是存在的，如图3．
（1）请在操作发现的情形下，证明：；
（2）请在质疑探究的情形下，求的值．
25．（本题满分12分）
如图1，在平面直角坐标系xy中，O为坐标原点，点A、C在反比例函数的图像上，点B、D在反比例函数的图像上，顺次连接这四个点得到四边形ABCD．
（1）若对角线AC、BD交于点O，直线AC的表达式为，直线BD的表达式为．
①求证：四边形ABCD为平行四边形；
②求的面积；
（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，AB平行于x轴，求AC、BD的交点坐标；
（3）如图3，四边形ABCD为平行四边形，求证：AC、BD相交于点O．
26．（本题满分14分）
【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形ABCD中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形ABCD是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形BDEC是倍对角四边形，且，是倍角，延长BD、CE交于点A．在BC下方作等边三角形，延长FC、DE交于点G．若，，，四边形BDEC的周长记为l．
（1）用k的代数式表示l；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．
2024年春学期九年级第一次学情调查数学试题
参考答案
一、选择题
第6题解法：
方法一：
．
方法二：设三角形①的两直角边分别为a、b（），三角形②的两直角边分别为c、d（），
由拼图可知：，，
∴．
二、填空题
7． 8． 9． 10．假 11．－4
12．乙 13． 14． 15． 16．11
第15题解法：
方法一：数形结合法
一次函数的图像恒过点，点A在直线上，点B在直线上，
当时，如图1所示，，不合题意；
当时，，如图2所示，由数形结合，，易知，
∴，易得：．
方法二：代数推理法
将代入得，∴，∴，
将代入得，∴，
∵，∴（可结合反比例函数图像解得，如图3）
∴，即．
第16题解法：
方法一：函数思想
以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系
设，过F作，易知，∴，，
∴，∴点F在线段上，
当时，，当时，，
过D作，求得，又易求，，
当F在与H之间时，，DF为整数有5、6；
当F在与H之间时，，DF为整数有5、6、7、8、9、10、11、12、13，
∴满足条件的点F共有11个．
方法二：图形的变换
取AD的中点Q，易求，易得，
∴，∴，
∴点F在的角平分线上，
参考方法一，得到满足条件的点F．
方法三：数学猜想（小题小做原则）
由点E在线段AD上运动，点F由点B逆时针旋转90°而得，猜想点F也在某一条线段上运动，取点E的起点和终点两种情形，得到点F的路径，参考方法一，得到满足条件的点F．
三、解答题
17．（本题满分12分）
（1）解：原式．
（2）解：不等式①的解集为：，不等式②的解集为：，
不等式组的解集为：．
18．（本题满分8分）
解：（1）105 108
（2）解：
答：全市九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过90分钟的约有7225人．
（3）③
19．（本题满分8分）
解：（1）
（2）树状图或列表（略）
由列表或树状图可知，共有16种等可能结果，其中两人抽到同一张卡片的情况共4种，
∴两人抽到同一张卡片的概率．
20．（本题满分8分）
解：（1）方法一：由表格可知，抛物线的顶点坐标为，
∴二次函数的表达式可写为，
把代入得：，
∴二次函数的表达式为，
当时，，∴被污染的数据为12．
方法二：将三个点代入中，求得、、，
∴二次函数的表达式为．
（2）不正确
21．（本题满分10分）
解：（1）
（2）由题意得：，解得：，
经检验：是原方程的解，∴a的值为．
22．（本题满分10分）
解：（1）过K作，垂足为S，
∵，，∴，，
由题意：，∴，
∵，，
在中，，，∴．
答：反光镜KI的长度约为10.2cm．
（2）过A作，垂足为T，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．
在中，，，
∴．
答：点A到直线BH的距离为3.4m．
23．（本题满分10分）
解：（1）连接DO并延长交于点P，则点P即为所求作的点．作图正确．
理由：连接OA、OB，
方法一：证明是等腰直角三角形，∴，
又∵，∴PD垂直平分AB，
由垂径定理：点P是的中点，∴CP平分．
方法二：证明，∴，
证明是等腰直角三角形，根据三线合一，∴PD垂直平分AB，
由垂径定理：点P是的中点，∴CP平分．
（2）方法一：连接OC，
证明是等腰直角三角形，∴，
证明是等腰直角三角形，
∴，，
∴．
方法二：连接OC，过点O作，垂足为H，
证明是等腰直角三角形，∴，
由勾股定理求得，∴，
由垂径定理得，同方法一求得，
由勾股定理求得，
又，∴．
方法三：过点O作，
参考方法一证明是等腰直角三角形，参考方法二求得，
∴．
24．（本题满分10分）
（1）证明：由折叠可知：，
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴，即．
（2）解：过点A作，垂足为H，
∵，，∴四边形DBCE是平行四边形，∴，
设，，则，
由（1）得：，
解得：（舍去），，∴，，
∵，，∴，∴．
25．（本题满分12分）
解：（1）①将函数与联立方程组求得，，
∴，，同法求得：，．
证明四边形ABCD为平行四边形提供两种解法：
方法一：过点A作轴，过点B作轴，垂足分别为M、N，
证明，∴，同理：，
∴四边形ABCD为平行四边形．
方法二：用勾股定理求出：，，
∴四边形ABCD为平行四边形．
②，
∴．
（2）设，，，．
方法一：∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，，，，
设AC的表达式为：，将，代入得：，，
∴AC的表达式为：，其函数图像经过原点，
同理：BD的表达式为：，其函数图像也经过原点．
∴AC、BD的交点坐标为．
方法二：设AC的表达式为：，将，代入得：，，
∴AC的表达式为：，同理：BD的表达式为：，
联立方程组得：，由，，∴，
同方法一求得：，∴AC、BD的交点坐标为．
（3）设，，，．
方法一：∵，，∴，，
∴变形得：，变形得：，
∴，∴，
∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，，
∴，，，，
求得：AC：，其函数图像经过原点，BD：，其函数图像经过原点．
∴AC、BD的交点坐标为．
方法二：参考（2）中方法二．
26．（本题满分14分）
【定义理解】解：∵，
又∵，，∴，
∴，∴．
（1）方法一：∵，∴，
又∵四边形BDEC是倍对角四边形，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，
∵，是倍角，∴，
∴，
∴是等边三角形，∴，∴，
∵等边三角形，∴，，，
∴是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，
∴．
方法二：延长GD、FB交于点H，易证、是等边三角形，
∴，，∴也是等边三角形，∴，
∴．
（2）①∵四边形BDEC是倍对角四边形，，，
∵等边三角形，∴，∴，
∴，，
又∵，，∴．
②延长GD、FB交于点H，同①可证：，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
…
7
4
3
4
7
■
…
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
C
D
B
C
D