2024年江西省上饶市鄱阳县湖城学校中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值是（ ）
A. 2021B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
【详解】解：的绝对值是2021，
故选A．
2. 植物学家在厄瓜多尔意外地发现了一种兰花新物种，是兰花物种中最小的一种，花瓣直径仅2.1毫米，把2.1毫米用科学记数法表示为米，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于2.1毫米＝0.0021米，把它用科学记数法表示，则可确定n的值．
【详解】∵2.1毫米＝0.0021米＝2.1×10-3米
∴n=-3
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，把毫米化成米时，注意单位进率不要错了，同时这是绝对值小于1的数，用科学记数法a×10n表示时，正确确定n及a的值．
3. 如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看主视图为长方形，且长方形内有一条斜线．
故选：B．
【点睛】此题考查了三视图的知识，解题的关键是知道主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 如图，矩形纸片沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质．根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，根据平角的定义即可得出结论．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得出，
，
，
，
，
解得．
∴
故选：C．
5. 如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（ ）
A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：如图，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得轴对称图形．
把菱形B平移到③或④或⑤或⑦的位置可得轴对称图形．共有8种方法．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的定义，理解轴对称的定义和菱形是轴对称图形是解题关键．
6. 如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1，有以下四个结论：①ab＜0，②b＜，③a＝﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确的结论是（ ）

A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴即可判断①，将x=-1代入即可判断②，求出抛物线的顶点坐标，将其代入一次函数解析式中即可判断③，根据图象即可判断④．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，所以①正确，符合题意；
②∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+1＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣﹣b+1＜0，
∴b＞，所以②错误，不符合题意；
③当x＝1时，y＝a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a+1），
把（1，﹣a+1）代入y＝kx+1得﹣a+1＝k+1，
∴a＝﹣k，所以③正确，符合题意；
④当0＜x＜1时，ax2+bx+1＞kx+1，
即ax2+bx＞kx，
∴ax+b＞k，所以④正确，符合题意．
综上：正确的是①③④
故选：B．
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
7. 因式分解：______________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先提取公因式，再用平方差公式分解．
【详解】解：．
故答案为：．
8. 设m、n分别为方程的两个实数根，则__．
【答案】2019
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出、，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：∵m、n分别为方程的两个实数根，
∴、，
∴．
故答案为：2019．
9. 一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则x-y=______．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】由平均数和中位数都是7，即可列出关于x、y的二元一次方程组．解出x、y，再计算即可．
【详解】由题意可列方程组，
解得：，
∴．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查平均数、中位数的概念以及解二元一次方程组．掌握平均数、中位数的概念来列出方程组是解答本题的关键．
10. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是_____．
【答案】（32，4800）
【解析】
【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【详解】由题意可得，150t＝240（t﹣12），
解得，t＝32，
则150t＝150×32＝4800，
∴点P的坐标为（32，4800），
故答案为（32，4800）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程150t＝240（t﹣12）是解决问题的关键．
11. 如图，当半径为30cm的转动轮转过120角时，传送带上的物体A平移的距离为______cm ．
【答案】20π
【解析】
【详解】解：=20πcm．故答案为20πcm．
12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），四边形ABCO为矩形，点P为线段BC上的一动点，若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线y=上，则k值可以是_____．
【答案】10或12或8．
【解析】
【分析】当PA=PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP=OA=5时，由勾股定理求出CP即可；当AP=AO=5时，同理求出BP、CP，即可得出P的坐标，然后把P的坐标代入线y=，即可求得k的值．
【详解】∵点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），
∴当PA=PO时，P在OA的垂直平分线上，P的坐标是（2.5，4）；
当OP=OA=5时，由勾股定理得：CP==3，P的坐标是（3，4）；
当AP=AO=5时，同理BP=3，CP=5﹣3=2，P的坐标是（2，4）．
∵点P在双曲线y=上，
∴k=2.5×4=10或k=3×4=12或k=2×4=8，
故答案为10或12或8．
【点睛】本题考查了对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及反比例图象上点点坐标特征等知识点的理解和掌握，能求出所有符合条件的P的坐标是解题的关键．
三、计算题：本大题共2小题，共14分．
13. 先化简，再求值：，其中m=+1．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题．
【详解】
=
=
=，
当m=+1时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
14. 有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．
（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cs28°≈0.88，sin28°＝cs62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53）
（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．
【答案】（1）132cm
（2）100cm
【解析】
【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB=∠BOG=28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．
【小问1详解】
如图，过O作OG⊥BD于点G，
∵AE⊥BD，
∴OG∥AE，
∵BO＝DO，
∴OG平分∠BOD，
∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，
∴∠EAB＝∠BOG＝28°，
在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），
∴AE＝AB•cs∠EAB＝150×cs28°≈150×0.88＝132（cm），
答：点A离地面的高度AE约为132cm；
【小问2详解】
∵OG∥AE，
∴∠EAB＝∠BOG，
∵CF⊥BD，
∴CF∥OG，
∴∠DCF＝∠DOG，
∵∠BOG＝∠DOG，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△CFD，
∴＝，
∴CF＝＝＝100（cm），
答：C点离地面的高度CF为100cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是综合运用锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．
四、解答题：本题共10小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 不等式组的解集为_____．
【答案】x＞2．
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2，
故答案为x＞2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
16. 如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD．

【答案】见解析
【解析】
【分析】证明∠2=∠BCD，最后再利用内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】证明：∵BC平分∠ACD，
∴∠1＝∠BCD．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD．
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
17. 向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内．
（1）扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是______；
（2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由，并在图中涂黑．
【答案】（1）
（2）2个，画图见解析
【解析】
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
（1）由图中共有16个小等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得；
（2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，据此可得．
【小问1详解】
解：图中共有16个小等边三角形，其中阴影部分的小等边三角形有6个，
∴扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：涂黑2个；
∵图形中有16个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为，
∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到个，
又已经涂黑了6个，
∴还需要涂黑个；
如图所示：
（答案不唯一）．
18. 在中，，，E、F分别为边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）
（1）在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形．
（2）在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判断：
（1）连接，则四边形是菱形；
（2）根据菱形的中点四边形是矩形，画出图形即可．
【小问1详解】
解：如图，菱形即为所求．
【小问2详解】
解：如图，矩形即为所求．
19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
【答案】（1）k＝32；
（2）菱形ABCD平移的距离为．
【解析】
【分析】（1）由题意可得OD＝5，从而可得点A的坐标，从而可得ｋ的值；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，由题意可知D’的纵坐标为3，从而可得横坐标，从而可知平移的距离．
【详解】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵ 点D坐标为（4，3）， ∴ OF＝4，DF＝3，∴ OD＝5， ∴ AD＝5，∴ 点A坐标为（4，8）， ∴ k＝xy=4×8=32，∴ k＝32；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，过点D’做x轴的垂线，垂足为F’．
∵DF＝3，∴D’F’=3，∴点D’的纵坐标为3，∵点D’在的图象上，∴ 3 ＝，解得＝， 即∴菱形ABCD平移的距离为．
考点：1．勾股定理；2．反比例函数；3．菱形的性质；4．平移．
20. AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，过点D作DFAC交⊙O于点F，连接AF，CF，过点A作AG⊥DF延长线于点G．
（1）求证：CA＝CF．
（2）若tan∠ACF＝，CF﹣GF＝9，求△ACF的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）连接AD．想办法证明AC=AD，AD=CF，可得结论．
（2）过点A作AH⊥CF于H．证明△AFG≌△AFH（AAS），推出FG=FH，因为CF-FG=CF-FH=CH=9，求出AH，AC可得结论．
【详解】（1）如图所示，连接AD
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴EC=ED，
∴AC=AD，
∵AC∥DF，
∴
∴，
∴，
∴AD=CF，
∴AC=CF．
（2）如图所示，过点A作AH⊥CF于H．
∵∠AFG+∠AFD=180°，∠AFD+∠ACD=180°，
∴∠AFG=∠ACD，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ADC=∠AFC，
∴∠AFG=∠AFH，
∵AG⊥FG，AH⊥FH，
∴∠G=∠AHF=90°，
∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFH（AAS），
∴FG=FH，
∵CF-FG=CF-FH=CH=9，tan∠ACH==，
∴AH=6，
∴AC=CF=，
∴S△ACF=
故答案为
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
21. 为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：
（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）
b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78
c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中n的值；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ；
（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）72.5；（2）甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分；（3）320．
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；
（2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，
所以中位数n==72.5；
（2）甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，
所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．
故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分．
（3）在样本中，乙校成绩优秀学生人数为14+2=16．
假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为．
【点睛】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
22. 如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作，垂足为点N，设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）当时，有最大值，最大值为
【解析】
【分析】本题考查是抛物线与x轴的交点，一次函数的性质、等腰三角形的性质
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由题意可得，，再由，可得，当时，有最大值；
【小问1详解】
解：将，代入，得
，
解得
所以，抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵M点的坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值；
23. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径；
（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；
（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论．
【详解】解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，
∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，tanB==，
∴设AC=4x，BC=3x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴16x2+9x2=100，
∴x=2，
∴BC=6，
∵AC=AD=8，AB=10，
∴BD=2，
∵OB2=OD2+BD2，
∴（6-OC）2=OC2+4，
∴OC=，
故⊙O的半径为；
（3）连接OD，DE，
由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，
又∵CO=DO，OE=OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE=∠ODE，
∵OC=OE=OD，
∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，
∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB=90°，
∴CF=BF=AF，
∴∠FCB=∠FBC，
∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=CE，
∴AF=BF=DF+BD=CE+BD．
【点睛】本题是圆综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24. 如图（1）矩形中，，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或）于点，交边（或）于点，当旋转至处时，的旋转随即停止.

（1）特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时，__________（填“”或“∽”）；
（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设，当面积为4.2时，直接写出所对应的的值.
【答案】（1）∽ （2）是定值，定值为；理由见详解
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质找出，再通过角的计算得出，由此即可得出；
（2）过点作于点，根据矩形的性质以及角的计算找出、，由此即可得出，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；
（3）分点在和上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出与之间的函数关系式，令求出值，此题得解．
【小问1详解】
解：如图2中，

四边形为矩形，
，
．
，
，
，
，
故答案为：∽．
【小问2详解】
解：是定值．如图3，过点作于点，

矩形中，，
，，
．
，
，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：分两种情况：
①如图3，当点在上时，．
，，
．
由（2）可知：，
，即，
．
，
．
当时，，
解得：．
，
；
②如图4，当点在上时，，过点作于点，

，，
．
同理可证：，
，即，
．
，，
．
当时，，
解得：．
，
．
综上所述：当点在上时，，当时，；当点在上时，，当时，．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）熟练掌握相似三角形的判定定理；（2）根据相似三角形的性质找出；（3）分点在和上两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．
成绩x
学校
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
4
11
13
10
2
乙
6
3
15
14
2
学校
平均分
中位数
众数
甲
74.2
n
85
乙
73.5
76
84