北京市第三十一中学2023-2024年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间100分钟 试卷满分100分）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1. 4平方根是( )
A. 2B. ±2C. 16D. ±16
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的意义求解即可，正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【详解】∵(±2)2=4，
∴4的平方根是±2，即
故选：B
【点睛】本题考查了平方根的意义，如果个一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根
2. 在实数：，，，中，无理数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在实数：，，，中，
是有理数，，，是无理数，共个，
故选：C
【点睛】本题考查了无理数，求一个数的立方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
3. 如图，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．
【详解】解：A．，
∴，故符合题意；
B．由不能判定，故B不符合题意；
C．∵，
∴，故C不符合题意；
D．，
∴，故D不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4. 下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根的定义即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了求算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的定义是解题的关键．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 和为的两个角是邻补角
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 点到直线的距离是指这点到直线的垂线段
D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角的定义，垂线的性质，点到直线的距离，平行线的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．如果两个角有一条公共边，其余两边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角，故原命题是假命题；
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是真命题；
C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，故原命题是假命题；
D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题．
故选B．
【点睛】本题考查了命题的真假，邻补角的定义，垂线的性质，点到直线的距离，平行线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
6. 如图，把矩形 ABCD沿EF折叠，若∠1=40°，则∠AEF=( )
A. 110°B. 115°C. 120°D. 130°
【答案】A
【解析】
【分析】如图设B的对应点为K．由AD∥BC，推出∠AEF+∠BFE=180°，求出∠BFE即可解决问题．
【详解】解：如图设B的对应点为K．
∵∠BFE=∠EFK，∠1=40°，
∴∠BFK=180°-40°=140°，
∴∠BFE=70°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=110°，
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条长多少尺？设木条长为尺，绳子长为尺，依题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺”可知：绳子木条，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子木条，据此列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：
，
故选：B．
8. 在下列方程：①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】先把分别代入四个方程里面看看是不是方程的解即可
【详解】把代入①得，等式左边不等于右边，不成立；
把代入②得，等式左边等于右边，成立；
把代入③得，等式左边不等于右边，不成立；
把代入④得，等式左边等于右边，成立；
∴只能由②和④组合
故选C
【点睛】此题考查的是方程的公共解，也就是方程组的解，掌握找公共解的技巧是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 8的立方根为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴8的立方根是2，
故答案为：2．
10. 把两块形状、大小相同的三角板按照如图所示摆放，那么ED∥BC的依据是______．
【答案】内错角相等，两条直线平行
【解析】
【分析】直接利用平行线的判定定理得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠DEF=∠ACB，
则ED∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定定理是解题关键．
11. 如图，直线 AB ，CD 相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分∠EOC ，则∠BOE=___________．

【答案】140°
【解析】
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE=80°，∠EOD=100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC=∠BOD，进而得出答案．
详解】∵∠EOC：∠EOD=4：5，
∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x，
故4x+5x=180°，
解得：x=20°，
可得：∠COE=80°，∠EOD=100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=40°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=140°．
故答案为140°.
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键.
12. 数轴上点A，B对应的数分别为，1，点C在线段上运动．请你写出点C可能对应的一个无理数是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键，由点C对应的无理数在之间，从而可得答案．
【详解】解：∵点C在线段上运动，
∴点C对应的无理数在之间，
∴可以是，
故答案为：．（答案不唯一）．
13. 如图，在三角形ABC中，∠B=90°，AB=8．将三角形ABC沿着BC的方向平移至三角形DEF，若平移的距离是4，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】32
【解析】
【分析】先根据平移的性质得AC=DF，AD=CF=4，于是可判断四边形ACFD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵直角△ABC沿BC边平移4个单位得到直角△DEF，
∴AC=DF，AD=CF=4，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴S平行四边形ACFD=CF•AB=4×8=32，
即阴影部分的面积为32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的面积公式，解题的关键是掌握平移的性质.
14. 如果方程组的解是二元一次方程的一个解，那么m的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的解，把m看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出m的值．
【详解】解：，
得：，
解得：，
得：，
解得：，
代入得：，
解得：，
故答案为：2．
15. 有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为729时，输出的y是______________．
【答案】
【解析】
【分析】先求729的立方根是9，再求9的算术平方根是3，由于3是有理数，再次求3的算术平方根是，由于是无理数，则可直接输出．
【详解】解：输入时，
的立方根是9，
的算术平方根是3，是有理数，
的算术平方根是，是无理数，
输出为，
故答案为．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根的运算，熟练掌握立方根、算术平方根的求法，能看懂数值转换机的运算流程是解题的关键．
16. 埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．如图，处是塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距离约为800km，于是地球周长可近似为，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角为7.2°．根据可以推导出的大小，依据是_____________________；埃拉托斯特尼估算得到的地球周长约为___________km．
【答案】 ①. 两直线平行，同位角相等 ②. 40000
【解析】
【分析】根据太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，利用两直线平行，同位角相等求出，再代入计算求解．
【详解】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，
则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为=7.2°，
理由是两直线平行，同位角相等．
因为亚历山大城、赛尼城间距离为800km，
所以地球周长为km．
故答案为：两直线平行，同位角相等；40000．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有理数的乘除运算，确定出=7.2°是解答关键．
三、解答题（本题共60分，17题10分，18题10分，19题4分，20题5分，21-24题每题6分，25题7分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算，解此题的关键在于熟练掌握算术平方根与立方根的计算法则．
（1）先计算算术平方根，再计算加减即可；
（2）先去绝对值、括号和开立方，再计算加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 解下列方程组：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）（2）用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
，
，得
，
∴，
把代入②，得
∴，
∴；
【小问2详解】
，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∴．
19. 已知∠AOB及∠AOB内部一点P.
（1）过点P画交OB于点C；
（2）过点P画线段PD⊥OB于点D；
（3）比较线段PC与PD的大小是 ，其依据是 .
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析； （3），直角三角形的斜边大于直角边．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的画法作图即可；
（2）根据垂线的画法作图即可；
（3）根据直角三角形的斜边大于直角边可得：．
【小问1详解】
解：根据平行线的画法：
一落：用三角板的一边落在已知直线OA上；二靠：用直尺紧靠三角板的另一边；三移：沿直尺移动三角板，使三角板中与已知直线OA重合的边过已知点P；四画：沿过已知点P的三角板的边画直线；
作图如下：
【小问2详解】
解：根据垂线的画法：
一落：将直角三角板的一条直角边落在已知直线OB上；二移：沿已知直线OB移动三角板，使其另一个直角边经过已知点P；三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，该直线就是已知直线的垂线；
作图如下：
【小问3详解】
解：如图所示：
PC是斜边，PD是直角边，
根据直角三角形的斜边大于直角边可得：．
【点睛】本题考查作平行线，作垂线，三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握平行线的画法，垂线的画法，直角三角形的斜边大于直角边．
20. 如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和直尺，完成下列各题：
（1）补全△A′B'C’；
（2）连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）在BB′上画出一点Q，使得△BCQ与△ABC的面积相等.
【答案】（1）见解析；（2）平行且相等；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的方向和距离，即可得到；
（2）根据平移的性质可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
（3）根据同底等高的三角形面积相等，即可得到满足要求的Q点．
【详解】解：（1）如图所示，连接，过点C作的平行线m，在m上截取，则点就是点的对应点；过点A作的平行线n，在n上截取，点就是A的对应点，顺次连接得；
（2）由平移可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）如图所示，根据同底等高的三角形面积相等，过A作BC平行线k与BB′的交点即为点Q．
【点晴】本题主要考查了利用平移变换作图和平移的性质，解题的关键是要掌握平移作图的方法和熟记平移的性质．
21. 完成下面推理填空：
如图，E，F分别在AB和CD上，，与互余，于G．
求证：．
证明：∵，∴（______），
∵（已知），∴____________（______），
∴（______），
∵（平角的定义），∴．
∵与互余（已知），∴（互余的定义），
∴（______），∴（______）．
【答案】垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据垂直定义可知，通过证明内错角相等，得到两直线平行．
【详解】证明：∵
∴（垂直的定义）
∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义）
∴．
∵与互余（已知）
∴（互余的定义），
∴（同角的余角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定以及角的计算，解题的关键在于根据角的计算找出相等的内错角，证明出两直线平行．
22. 如图，已知，于点，．

（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）连接，设，则，再根据建立方程，解方程可得，然后根据平行线的性质即可得．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：如图，连接，

设，
，
，
，
由（1）已得：，
，
，
解得，
即，
由（1）已证：，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
23. 已知正实数a的两个平方根分别是x和．
（1）若，求y的值；
（2）若，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，是解答此题的关键．
（1）先根据平方根的定义，得，再化简即可；
（2）联立，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可．
【小问1详解】
实数a的两个平方根分别是x和，
，
即，
当时，；
【小问2详解】
由（1）得
，
联立得，
解得：，
．
24. 某居民在新房装修后，购买了家居用品的清单如表，部分信息因污迹无法识别，请根据下表解决问题．
（1）直接写出______，______；
（2）该居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？（用方程解答这个问题）
（3）若干天后，该居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品（两种物品至少各买1个），共花费105元，则有哪几种不同的购买方案？直接将方案列举出来．
【答案】（1）45，35
（2）该居民购买了1个垃圾桶，2个塑料鞋架
（3）共有2种购买方案，方案1：购买1个艺术饰品，4个垃圾桶；方案2：购买2个艺术饰品，1个垃圾桶
【解析】
【分析】（1）利用单价=总价÷数量，总价=单价×数量，即可分别求出a，b的值；
（2）设该居民购买了x个垃圾桶，y个塑料鞋架，根据该居民购买各家居用品的数量及所花费的总金额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设该居民购买了m个艺术饰品，n个垃圾桶，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【小问1详解】
．
故答案为：45，35；
【小问2详解】
设该居民购买了x个垃圾桶，y个塑料鞋架，
依题意得：，
解得：．
答：该居民购买了1个垃圾桶，2个塑料鞋架；
【小问3详解】
设该居民购买了m个艺术饰品，n个垃圾桶，
依题意得：，
∴．
又∵m，n均为正整数，
∴或，
∴共有2种购买方案，如下，
方案1：购买1个艺术饰品，4个垃圾桶；
方案2：购买2个艺术饰品，1个垃圾桶．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
25. 如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．

（1）依题意在图1中补全图形，并证明：；
（2）过点C作直线．在直线上取点，使．
①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；
②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②．
【解析】
【分析】（1）作，根据平行线的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：补全图形如图所示，作，
∵将线段沿平移得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
即
【小问2详解】
解：①分两种情况：
点在直线的上方时，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得；
点在直线的下方时，如图所示：

，
∴，
整理，得；
②作，如图所示：

∵，
∴点到直线的距离就是线段的长，
∵，
∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示：

由平移的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．
四、附加题（本题共10分，第1题2分，第2题4分，第3题4分，计入总分，但总分不超过100分）
26. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，七年级举办了“古诗词”大赛，现有小刚、小强、小敏三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第 1，2，3 名（没有并列），对应名次的得分都分别为 a，b，c（a＞b＞c 且 a，b，c 均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和， 得分最高者为冠军．如下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小敏同 学第三轮的得分为______分．
【答案】1
【解析】
【分析】根据三位同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合a＞b＞c且a，b，c均为正整数确定a，b，c的值，从而确定小敏同学第三轮的得分．
【详解】解：由题意可得：（a+b+c）×6=24+13+11=48，
∴a+b+c=8，
∵a，b，c均为正整数，
若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为4×6=24，
∴a>4，
又∵a＞b＞c，
∴b+c最小取3，
∴a=5，b=2，c=1，
∴小刚同学最后得分24分，他4轮第一，2轮第二；
小强同学最后得分13分，他1轮第一，3轮第二，2轮第三；
又∵表格中第二轮比赛，小强第一，小敏第三，
∴第二轮比赛中小刚第二，
∴第三轮中小刚第一，小强第二，小敏第三，
∴小奕的第三轮比赛得1分，
故答案为：1．
【点睛】本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．
27. 如图1是一个的灯泡方阵，规定：每盏灯只有“开”，“关”两种状态；按其中任意一个开关一次，将导致自身和所有相邻灯的开关状态发生改变．例如，如图2，若初始状态为全部开灯，按将导致灯，，，，均变为关的状态．
（1）若灯泡方阵的初始状态为图3，请补全如下操作过程．
（2）若初始状态为全部开灯，要求只把灯变为关的状态，则需要按开关的最少次数为_________．
【答案】（1）图见解析；；
（2）5
【解析】
【分析】本题考查的是图形的变化规律，根据题目所给出的灯泡变化规律求解是解题的关键．
（1）根据题目的规定和例子找出灯泡变化的规律，再据此画图即可；
（2）根据题意可知，如果要求只改变的状态，只有在以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少，利用图形即可分析求出．
【小问1详解】
当按（2，1）时，灯泡方阵的状态如下图：
∴对比第3个灯泡方阵的状态，发现第3个灯泡方阵的状态只改变了，和，
∴①是按，
∵将第3个灯泡方阵的状态与第4个灯泡方阵的状态对比，发现第4个灯泡方阵的状态改变了，，和，
∴②是按．
【小问2详解】
根据题意可知，只有在以及周边按动开关才可以使按开关的次数最少．
具体原因如下：假设开始按动前所有开关闭合，要只改变的状态，
在按动后，，也改变，
下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边的，也改变，
∴会有更多按动开关的次数，
∴接下来逐一恢复，则至少按开关3次，这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动5次可以满足要求，
如下图所示：
28. 一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为．例如∶时，．
（1）对于“相异数”n，若，请你写出一个n的值；
（2）若a，b都是“相异数”，其中，，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值．
【答案】（1）答案不唯一，只要是1、2、3组合的三位数都对
（2）k的最小值为
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的运用，解题的关键是读懂题意，学会求二元一次方程的正整数解．
（1）由定义可得；
（2）根据题意先求出，，，代入可得二元一次方程，求出x，y的解代入可得k的值．
【小问1详解】
任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且不为零，那么称这个数为“相异数”，如果，
∴（也可为213或321等）；
【小问2详解】
，，，
，
，
，，
或或或或或，
a是“相异数”，
，．
b是“相异数”，，．
或或，
或或
，，，
k的最小值为．家居用品名称
单价（元）
数量（个）
金额（元）
挂钟
30
2
60
垃圾桶
15
塑料鞋架
40
艺术饰品
a
2
90
电热水壶
35
1
b
合计
8
280
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小刚
a
a
24
小强
a
b
c
13
小敏
c
b
11