广东省深圳市福田区外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．
1. 考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．
2. 全卷共 4 页，考试时间 90 分钟，满分 100 分．
一．选择题（第题 3 分，共 10 小题）
1. 下列计算，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别计算，进而得出答案．
【详解】解：A．，无法合并，故此选项不合题意；
B．，故此选项计算错误，不合题意；
C．，故此选项计算正确，符合题意；
D．，故此选项计算错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、单项式乘单项式运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2. 禽流感病毒形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
3. 如图所示，直线，点C，A分别在直线a，b上，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质，余角的性质计算即可，本题考查了平行线的性质，余角，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
【详解】如图所示，
∵直线，
∴，
，
故选：A．
4. 某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超过1千米就加收2元，若某人乘出租车行驶的距离为千米，则需付费用y元与x（千米）之间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是对关系式进行化简，得到y与x的函数关系式．根据题意把x千米分成3千米和千米两部分，再根据单价乘里程表示出关系式，再化简即可．
【详解】解：当时，
，
故选：B．
5. 下列每组数分别表示3根小木棒长度（单位：），其中能搭成三角形的是（ ）
A. 3，7，10B. 6，7，8C. 7，7，14D. 5，7，13
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、，能构成三角形，故此选项符合题意；
C、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：B．
6. 如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形判定方法进行判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
【详解】A. 添加，根据能判定，故本选项不符合题意；
B. 添加时，根据不能判定，故本选项不符合题意；
C. 添加，根据不能判定，故本选项不符合题意；
D. 添加，根据不能判定，故本选项符合题意；
故选：D.
7. 下列说法：①两点之间线段最短；②同位角相等；③相等的角是对顶角；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段、平行线的性质，对顶角以及垂线段最短定理，根据相关知识点逐一判断即可．
【详解】解：①两点之间线段最短，说法正确；
②两直线平行，同位角相等，说法错误；
③相等的角不一定是对顶角，说法错误；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，说法正确；
即正确的有2个，
故选：B．
8. 如图，是一张长方形纸片（其中AB∥CD），点E，F分别在边AB，AD上．把这张长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H．若∠BEH＝4∠AEF，则∠CHG的度数为（ ）
A. 108°B. 120°C. 136°D. 144°
【答案】B
【解析】
【分析】由折叠的性质及平角等于180°可求出∠BEH的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠DHE的度数，再利用对顶角相等可求出∠CHG的度数．
【详解】由折叠的性质，可知：∠AEF＝∠FEH．
∵∠BEH＝4∠AEF，∠AEF+∠FEH+∠BEH＝180°，
∴∠AEF＝×180°＝30°，∠BEH＝4∠AEF＝120°．
∵AB∥CD，
∴∠DHE＝∠BEH＝120°，
∴∠CHG＝∠DHE＝120°．
故选：B．
【点睛】本题考查了四边形的折叠问题，掌握折叠的性质以及平行的性质是解题的关键．
9. 如图，点B、C、E在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的混合运算的应用，正方形的性质及三角形面积，关键是正确运用算式表示出阴影部分的面积．
设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，然后表示出阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，
根据题意得：，
则阴影部分的面积为：
．
故选：B．
10. 三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（我们规定）．①的度数为；②是“灵动三角形”；③若，则是“灵动三角形”；④当为“灵动三角形”时，为或．结论正确的有（ ）个．

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据定义，计算判定即可．
【详解】∵，，
∴，
故①正确；
∵，
∴是“灵动三角形”，
故②正确；
∵，
∴，，
∵，
∴是“灵动三角形”，
故③正确；
∵为“灵动三角形”， ，
∴或或，
∵，
∴，舍去；
时，
∴，
∴；
时，
根据题意，得，
解得，
故，
故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查了新定义问题，正确分类，灵活计算是解题的关键．
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
11. 计算：（﹣a2）3÷a2＝_____．
【答案】﹣a4．
【解析】
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】解：（﹣a2）3÷a2＝﹣a6÷a2＝﹣a4．
故答案为：﹣a4．
【点睛】本题考查幂的乘方以及同底数幂的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，那么这个角的度数是________．
【答案】45
【解析】
【分析】设这个角为，表示出其余角，补角，列式计算即可．本题考查了余角即两个角的和为，补角即两个角的和为，熟练掌握余角，补角表示方法是解题的关键．
【详解】解：设这个角为，则，
∴，
故这个角为，
故答案为：45．
13. 若是完全平方式，则n的值为________
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方式的结构特点求解．
【详解】解：，
是完全平方式，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求完全平方式中的字母值，解题的关键是牢记．
14. 将一块含 角的直角三角板放置在平行线 和之间，其中直角顶点在上，若
，则 的度数为_______．
【答案】##27度
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线，建立∠1、∠2、∠3之间的关系便于求解．
延长交直线于点E，利用平行线的性质与三角形外角的性质可以得出，然后再结合平角的定义得出，最后再联立已知条件从而得解．
【详解】如图，设含角的直角三角板，其顶点C在直线上，延长交直线于点E，与直线相交于点D．
由，得，
∵，
∴，①
∵，，
∴，②
①+②得，，又，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在中，分别是的角平分线和高线，点 P在 的延长线上，交于点 Q，交于点 N，交于点 M，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是___（填序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和、全等三角形的判定和性质、垂线的定义等知识点，解题的关键熟知相关的定理和定义．
由高线的定义及对顶角相等可判断①正确；由角平分线定义、三角形内角和、高线可判断②错误；由三角形外角的性质可判断③正确；由全等三角形的判定和性质可推导④正确．
【详解】∵是高线，，
∴，又，
∴（同角的余角相等），故①正确；
由平分知，，
由是高线知，，
∴，
即，故②错误；
，故③正确；
∵，
∴
∴，
∴
故④正确．
因此正确的选项有①③④．
故答案为：①③④．
三．解答题（共 7 小题，第 16 题 8 分，第 17，18 题 6 分，第 19 题 7 分，第 20，21 题 9 分，第 22 题 10 分）
16. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据有理数乘方的运算法则，先算乘方和绝对值，即可求解，
（2）根据多项式乘多项式的运算法则，即可求解，
本题考查了有理数的乘方，多项式乘多项式，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
．
17. 先化简，再求值： 其中.
【答案】4
【解析】
【分析】先化简，再将a、b的值代入计算即可．
【详解】解：原式
；
，
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键．
18. 如图，点分别在上，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理，解题的关键是得到．
（1）利用即可证明；
（2）根据三角形内角和定理求出，然后利用，得，进而利用角和差即可解决问题．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
19. 如图，在中，平分，过点 D作交于点 E，过点 E作 交 于点F，则可推得 平分，其推导过程和推理依据如下：
解： ∵，(已知)
∴ ．( )
∵，(已知)
∴，
．( )
∴．( )
又∵平分，(已知)
∴．( )
∴ ．(等量代换)
∴平分．(角平分线定义)
【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义；
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟记相关结论即可完成推理过程．
【详解】解：∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
．（等量代换）
又∵平分（已知）
∴．（角平分线的定义）
∴．（等量代换）
∴ 平分．（角平分线定义）
20.
【答案】
任务1：
任务2：b；
任务3：392；320
任务4：V的最大值是
【解析】
【分析】本题考查了列代数式及其求值，还涉及到函数的初步概念，解题的关键是熟悉用字母表示几何图形的量．
任务1：根据大正方形减去四个小正方形面积即可得到答案；
任务2：根据长方体的体积等于底面积乘以高即可得到答案；
任务3：各自分别代入求值即可；
任务4：先计算出b，然后代入长方体的体积公式即可计算出结果．
【详解】任务1：用图1大正方形的面积减去四个边角上的小正方形的面积，即为围成长方体纸盒所用纸张的面积，
故答案为：．
任务2：体积V随着小正方形的边长b的变化而变化，因此，自变量是b．
因长方体形的底面积是一个边长为的正方形，高为小正方形的边长b，
所以无盖长方体形纸盒的体积等于底面积乘以高，即．
故答案为：b；
任务3：将代入得：，
将代入得：．
故答案为：392；320．
任务4：∵，
∴，
故答案为：432．
21. 【感知】如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案）
（2）【探究】如图2，，点P射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由．
①点P在线段上；
②点P在射线上．
【答案】（1）110 （2），见解析
（3）选①，，见解析选，②，，见解析
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，即可得到答案；
（2）利用两直线平行内错角相等得到，，由即可得到结论；
（3）①过点P作，则．再证得到．由即可得到结论．
②过点P作，．则．由即可得到．
【小问1详解】
解：过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：
【小问2详解】
，理由如下：
如图1，过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问3详解】
①如图2，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
②如图3，，理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
22. 【初步感知】
（1）如图 1，已知 为等边三角形，点D 为边 上一动点（点D 不与点B ，点 C 重合）．以 为边向右侧作等边，连接 ．求证：；
【类比探究】
（2）如图 2，若点D 在边 延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明：
① 与 的位置关系为： ；
②线段 、 、 之间的数量关系为： ．
【拓展应用】
（3）如图 3，在等边 中，，点P 是边 上一定点且 ，若点D 为射线 上动点，以 为边向右侧作等边 ，连接 、 ．请问： 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）平行；
（3）有最小值，5
【解析】
【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明；
（2）①由（1）得，得出，，，则；
②因为，，所以；
（3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴
即
在和中，
，
∴；
（2）平行，，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）有最小值，理由如下：
如图，在射线上取一点，使得，连接，

∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
由三角形内角和为，可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
即点E在的角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
，
∴，
则，
由三角形三边关系可知，，
即当点E与点C重合，时，有最小值，
∵，
∴，
∴最小值为5．
【点睛】本题考查三角形综合，平行线的判定、三角形内角和定理、全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
制作一个体积尽可能大的无盖长方体形纸盒
素材 1
小鸣和小天想利用一块边长为a 的大正方 形纸片制作一个无盖的长方体形纸盒.在 正方形的四个角都剪去一个边长为b的小 正方形（图 1），将剩下的图形折叠粘合， 就能得到无盖的长方体形纸盒（图 2）.

素材 2
几何体的表面积为所有面的面积之和其 表面积即为围成几何体所用材料的面积.
任务 1
请分别依据素材 1 和素材 2 表示围成长方体形纸盒所用纸张的面积， 可以得到等式 （用a，b表示）．
素材 3
小鸣量得正方形纸片的边长a为 ，并且通过计算发现当小正方形的边长b 从小到大变化时，无盖长方体形纸盒的体积V也随之发生变化．
任务 2
在这个变化过程中， 自变量是 ，
无盖长方体形纸盒的体积 （用含b的关系式表示,不需 要化简）．
任务 3
小鸣和小天将b的多种情况带入关系式，发现当 时， ，当 时， ．
素材 4
老师帮忙绘制出了V与b的关系图像 （图 3），小鸣发现，在一定范围内V随b的增大而增大，在一定范围内V随b的增大而减小，并且最终发现当 时，V有最大值．
任务 4
请帮小天计算制作得到的无盖长方体形纸盒的体积V的最大值.