广东省珠海市斗门区第二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. x≥2C. x≤2D. x≠2
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；
B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；
故选：A
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
3. 三角形边长分别为下列各数，其中不能围成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 1，2，C. 5，12，13D. 6，7，8
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理的内容是解题的关键．根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：A、，即以，，为边能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
B、，即以1，2，为边能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
C、，即以5，12，13为边能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
D、，即以，，为边不能组成直角三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
4. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
B、3与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
C、正确，此选项符合题意；
D、原计算错误，，此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
5. 在二次根式，，，，中，能与合并的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．先将各二次根式进行化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．
【详解】解：∵；；；．
，
∴能与合并的是、，
故选：B．
6. 在ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A. AB=BCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB⊥BD
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形的判定可知：
添加条件AC=BD，即可推出ABCD是矩形.
故选：B.
7. 如图，矩形沿着E进行折叠，已知使点B落在边上的点处，点A落在点处．，的度数是（ ）
A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，由折叠的性质可得，再由平行线的性质即可求的度数．
【详解】解：由折叠可得：，
，
，
四边形是矩形，
，
．
故选：B．
8. 如图，在□ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据在□ABCD中，AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠AEB，即AB=BE，即可求出EC的长度.
【详解】∵在□ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AD=8cm，AB=5cm，
∴BE=5cm，BC=8cm，
∴CE=8-5=3cm，
故选C.
【点睛】本题是对平行四边形知识的考查，熟练掌握平行四边形性质及角平分线知识是解决本题的关键.
9. 如图，在一个高为5m，斜面长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是（ ）
A. 12mB. 13mC. 17mD. 18m
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据平移的性质可知需要的地毯的长度至少即为．
【详解】解：如图所示，在中，，
∴，
∴由平移的性质可知地毯的长度至少是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平移的性质，正确用勾股定理求出的长是解题的关键．
10. 如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 4.5
【答案】C
【解析】
【分析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD= AC•BD=AB•E′M求得E′M的长即可得答案．
【详解】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P
则点P、M即为使PE+PM取得最小值点
则有PE+PM=PE′+PM=E′M
∵四边形ABCD是菱形
∴点E′在CD上
∵AC=6，BD=6
∴AB=
由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M
解得：E′M=2
即PE+PM的最小值是2
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，确定出点P的位置是解题的关键．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）．
【答案】＜
【解析】
【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
【详解】解：∵，，
而24＜25，
∴＜5．
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
12. 在实数范围内分解因式a2﹣6＝_____．
【答案】（a+）（a﹣）
【解析】
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：a2﹣6＝（a+）（a﹣）．
故答案为：（a+）（a﹣）．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
13. 菱形有一个内角是，边长为，则它的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求菱形的面积，直角三角形的性质．，过点A作于点E，根据直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：如图，，过点A作于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴它的面积是．
故答案为：．
14. 如图，矩形中，、交于点，、分别为、中点．若，则的长为__．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理．根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题．
【详解】解：、分别为、的中点，
，
四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积，
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：24．
三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键；
（1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再合并即可；
（2）先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再合并即可；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后因式分解，约分化简，代入求值，再将结果化为最简二次根式即可．
【详解】解：原式=

，
将代入，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解，分式的通分，约分，二次根式的化简是解题的关键．
18. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，中点．求证：四边形是平行四边形．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．在中，根据平行四边形的性质可得，，根据中点的定义得出，根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形．
【详解】证明：在中，，．
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
19. 如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接，测出m，m，m，m，，求需要绿化部分的面积．
【答案】24
【解析】
【分析】先根据勾股定理计算出的长，再证明是直角三角形，最后用的面积减去的面积即可求出阴影部分的面积.
【详解】
在Rt中，，
中，

是直角三角形，且
∴需要绿化部分的面积为24
【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理.解题的关键是要判定是直角三角形，然后再计算阴影部分的面积.
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）．
20. 在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，E、F 分别在 AD 及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF ≌△CDE；
（2）若 DE =BC，试判断四边形 BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论．
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）由已知条件易得∠CED=∠BFD，BD=CD，结合∠BDF=∠CDE即可证得：△BDF≌△CDE；
（2）由△BDF≌△CDE易得DE=DF，结合BD=CD可得四边形BFCE是平行四边形，结合DE=BC可得EF=BC，由此即可证得平行四边形BFCE是矩形．
【详解】解：（1）∵CE∥BF，
∴∠CED=∠BFD．
∵D是BC边的中点，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDE中， ，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
（2）四边形BFCE是矩形．理由如下：
∵△BDF≌△CDE，
∴DE=DF，
又∵BD=DC，
∴四边形BFCE是平行四边形．
∵DE=BC，DE=EF，
∴BC=EF，
∴平行四边形BFCE是矩形．
【点睛】熟悉“平行四边形和矩形的判定方法”是解答本题的关键．
21. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别搂下列要求画图：
（1）在甲图中，画出一个平行四边形，使其面积为3；
（2）在乙图中，画出一个正方形，使其面积为5；
（3）在丙图中，画出一个菱形，使其面积为6．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，解此类题目首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
（1）平行四边形面积为3，则可以为底边长为3，高为1；
（2）要使正方形面积为5，则正方形的边长为；
（3）菱形面积为6，则对角线长度为2和6，据此可画出菱形．
【小问1详解】
解：图形如下：
；
【小问2详解】
解：图形如下：
；
【小问3详解】
解：图形如下：
．
22. 阅读下列材料，然后回答问题．
；
；
．
（1）请你直接写出结果：______，______；
（2）根据你的猜想、归纳，运用规律计算．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，正确理解题意得到计算的规律并应用规律解决问题是解题的关键．
（1）根据已知，将式子的分子分母都乘以两个数的差，再化简即可；
（2）应用规律将加法算式化简，合并同类二次根式，再根据平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：；；
【小问2详解】
．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23. 如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求证：CE⊥BG；
（3）求：∠AME的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得；
（2）设、相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，根据垂直的定义可得；
（3）过作，的垂线段交于点，，证明是角平分线可得答案．
【小问1详解】
解：证明：在正方形和中，，，，
，
即，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：证明：设、相交于点，
，
，
，
，
；
小问3详解】
解：过作，的垂线段交于点，，
，
，
，
，
，
是角平分线，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解题的关键是作辅助线，的垂线段是难点，运用全等三角形的性质也是关键．
24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（s）
（1）直接写出：QD=______cm，PC=_______cm；（用含t式子表示）
（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？
（3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？
【答案】（1）=，=；（2）；（3）当或时是等腰三角形．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据AD、BC的值和点Q的速度是1cm/s，点P的速度是2cm/s，直接用t表示出QD、CP的值；（2）四边形是平行四边形，则需，可得方程8-t=10-2t，再解方程即可；（3）分两种情况讨论：①，②，根据这两种情况分别求出t值即可．
试题解析：解：（1）=，=；
（2）若四边形是平行四边形，则需
∴
解得
（3）①若，如图1， 过作于
则，
∵
∴解得
②若，如图2，过作于
则，
即解得
综上所述，当或时是等腰三角形
考点：四边形、三角形综合题；几何动点问题．