湖北省知名中小学教联体联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 满分：120分）
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1.答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置．
2.请保持卷面的整洁，书写工整、美观．
3.请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 要使分式有意义，的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即被开方数大于等于0，分式的分母不为零可求出答案．
【详解】解：∵且，
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2. 下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ）
A. 1，，B. 4，5，6C. 3，4，5D. 9，12，15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴A能组成直角三角形，不符合题意；
B、∵，
∴B不能组成直角三角形，符合题意；
C、∵，
∴C能组成直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴D能组成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
3. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用积的乘方得到原式•，然后利用平方差公式计算即可．
【详解】解：原式
故选D．
【点睛】本题考查了积的乘方运算的应用，二次根式的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
4. 在中，，，则（ ）
A. 3B. 1C. D. 或3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题关键．在中，分两种情况：当时，当时，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：当时，，，
由勾股定理得：，
当时，，，
由勾股定理得：，
∴或3，
故选：D．
5. 如图，在菱形中，，过点D作，交的延长线于点E，则线段的长为（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．
【详解】解：如图，设与的交点为O，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故选：B．
8. 如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图，延长交的延长线于．证明，利用直角三角形斜边中线的性质，可得，再求出，证明，即可求出，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交的延长线于．
∵四边形是菱形，点E是的中点，
和中，
是的中点，
故选：C．
9. 已知、满足，则（ ）
A. 4B. 8C. 2024D. 4048
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件，非负数的性质，几个非负数的和为0，根据二次根式有意义的条件以及非负数的性质可得、、的值，然后代入可得答案．
【详解】解：、满足，
，
，
，
，，
，，
则，
故选：A．
10. 如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC−CF=2HE．其中正确的结论有( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF=BC-（CD-DF）=2HE，判断出④正确．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，
∵AD=AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵AB=AH，
∵∠AHB=（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵HE=AE-AH=BC-CD，
∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 计算结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的减法，直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：
故答案为： ．
12. 已知，则的算术平方根是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据与同时成立，被开方数为非负数，列不等式组先求得x的值，再求y的值，从而求得x＋y的值．
【详解】∵与同时成立，
∴，
解得x＝3，
故y＝1，x＋y＝4，
∴x＋y的算术平方根是2．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，根据与同时成立，得到x的值是解答问题的关键．
13. 如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE中点，，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点F是AE的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
14. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米）．
在中，由勾股定理得到（米），

故答案为：．
15. 如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，当时，最小为6，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可．
【详解】解：连接，
∵，分别为，的中点，
∴，且，
要使最小，只要最小，
当时，最小，
∵的最小值为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．
三、解答题（共9题，共75分，提示应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简绝对值和二次根式，再计算加减法即可得；
（2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算加减法即可得．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
17. 已知最简二次根式与可以合并，b是的立方根，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，立方根定义，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先根据同类二次根式的定义得到，从而可确定a的值，再根据立方根定义确定b的值，最后求出平方根即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∵b是的立方根，
∴，
∴，
∴的平方根为．
18. 已知在中，点分别是边的中点，过点的直线交的延长线于点，连接．求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行性四边形的判定与性质、三角形中位线等知识．根据平行四边形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，然后根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明结论即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∵点分别是边的中点，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
19. 如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积．
【答案】四边形的面积为18
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
是直角三角形，且，
．
答：四边形的面积为18．
20. 已知，，求下列代数式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）49
【解析】
【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
则．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
则．
21. 如图，已知等腰中，，，D是边上一点，且．

（1）求的长；
（2）求中边上的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出是解此题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理求出，求出，再根据勾股定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
∵，且，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
【小问2详解】
，
过A作于E，则是的高，

∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即中边上的高是．
22. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质．
（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论；
（2）由求出，进而，，在中，根据勾股定理构造方程，即可求得的长，根据面积公式即可解答．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
23. 规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
；（S1是△OA1A2的面积）
；（S2是△OA2A3的面积）
；（S3是△OA3A4的面积）……
（1）请用含有n（n为正整数）的等式 ；
（2）推算出 ；
（3）求出的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）通过观察规律可得；（Sn是△OAnAn+1的面积）；
（2）根据求解即可得到答案；
（3）先分别算出，，，，，即可得到
，然后进行分母有理化即可.
【详解】解：（1）；（S1是△OA1A2的面积）
；（S2是△OA2A3的面积）
；（S3是△OA3A4的面积）……
∴可得；（Sn是△OAnAn+1的面积）,
故答案为：；
（2）由（1）得，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，，，，
∴
，
.
【点睛】本题主要考查了规律，分母有理化，解题的关键在于能够根据题意准确找到规律进行求解.
24. 将一张矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合）．沿折叠该纸片，点的对应点为，设．
（1）如图①，当时，求的度数及点的坐标；
（2）如图②，若点在第四象限，与交于点，试用含有的式子表示折叠后与矩形重叠部分的面积，并直接写出的取值范围；
【答案】（1）30°；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了对称性、矩形性质、含的直角三角形性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理
（1）由，得到，根据含的直角三角形性质解即可得结果；
（2）先证明折叠部分的三角形是等腰三角形，设，在△中用勾股定理列出方程，表示出，进而得出结论；
【小问1详解】
解：过作于，如图所示：
四边形是矩形，
，，
，沿折叠该纸片，点的对应点为，
，，
，
在中，，，则，
，
；
【小问2详解】
解：如图所示：
四边形是矩形，
，，
由折叠可得，，，
，
在等腰中，，
由折叠可得，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，解得，
重合部分，
当在轴上，则，此时；
当与重合时，此时；
点在边上（点不与点，重合），
，
重合部分；