江苏省南京市第五十中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）
1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 圆C. 矩形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，A不合题意；
圆是中心对称图形，也是轴对称图形，B不合题意；
矩形是中心对称图形，是轴对称图形，C不合题意；
平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，D符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 打开电视机，正在播广告
B. 367人中至少有2人的生日相同
C. 小明到达公交车站时，赶上想要乘坐的汽车
D. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件的定义，直接利用随机事件、必然事件的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、打开电视机，有可能正在播广告，也有可能播放其他节目，这是随机事件，故此选项不合题意；
B、367人中至少有2人的生日相同属于必然事件，故此选项符合题意；
C. 小明到达公交车站时，赶上想要乘坐的汽车，这是随机事件，故此选项不合题意；
D. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到绿灯，这是随机事件，故此选项不合题意；
故选：B．
3. 下列分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简分式，直接判断分子和分母在因式分解后有没有公因式即可．
【详解】解：A选项中分子和分母有公因式，所以A选项不符合题意；
B选项中分子和分母有公因式，所以B选项不符合题意；
C选项中的分子和分母没有公因式，所以C选项符合题意；
D 选项中分子和分母有公因式，所以D选项不符合题意；
故选：C．
4. 为了解某校初二年级800名学生的体重，抽取了200名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A. 该校初二年级每一名学生的体重是个体B. 从中抽取的200名学生是样本
C. 该校初二年级800名学生是总体D. 样本容量是200名学生
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是正确记忆各自的概念．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A．该校初二年级每一名学生的体重是个体，故A符合题意；
B．从中抽取的200名学生的体重是样本，故B不符合题意；
C．该校初二年级800名学生的体重是总体，故C不符合题意；
D．样本容量是200，说法错误，故D不符合题意．
故选：A．
5. 对于分式，下列说法错误是（ ）
A. 当时，分式的值为0B. 当时，分式无意义
C. 当时，分式的值为正数D. 当时，分式的值为1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答．直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可．
【详解】解：A．当时，，，分式的值为，故此项选项不符合题意；
B．当时，，分式无意义，故此选项不符合题意；
C 当时，当时，，，分式的值为，故此选项符合题意；
D．当时，，故此选项不符合题意．
故选：C．
6. 如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（ ）
A. 1B. 1.5C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长，，相交于点F，证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：延长，，相交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
【答案】3
【解析】
【详解】根据分式的有意义的条件，分母不能为0，可知x-3≠0，解得x≠3，
因此符合题意的x的取值范围为x≠3．
故答案为：x≠3．
【点睛】本题考查分式的意义条件，熟练掌握分母不为0是分式有意义的条件是解题的关键．
8. 分式的最简公分母是___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是最简公分母的确定，根据最简公分母的含义可得答案．
【详解】解：分式的最简公分母是，
故答案为：
9. 已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组．若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为，则第四组的频数为_____．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了频率、频数及总数间关系，掌握频率=频数总数，各频数之和等于总数，各频率之和等于1是解决本题的关键．先计算出第五组的频数，再计算第四组的频数．
【详解】解：第五组的频数为：，
所以第四组的频数为：，
故答案为：15．
10. 一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的可能性大，则红球至多有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了可能性大小知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．根据哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可．
【详解】解：一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到白球的可能性大，
∴白球的数量多于红球的数量，
∴红球至多有4个，
故答案为：4．
11. 不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
12. 已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是_____．（写出一个正确的答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的定义以及分式的值的含义，只需要构建一个分子与分母同号且分子不为0的分式即可．
【详解】解：∵一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，
∴这个分式可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，某校根据学生上学方式进行了一次抽样调查，绘制出了一个未完成的扇形统计图，若该校骑车的学生有350人，则步行的学生有_____人．
【答案】400
【解析】
【分析】本题考查的是从扇形统计图中获取信息，先求解总人数与步行人数的百分比，再进一步可得答案．
【详解】解： ∵该校共有学生是：（人）
∴步行的学生所占的百分比是，
∴估计步行的有（人）．
故答案为400．
14. 如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为_____．
【答案】52
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理．由旋转的性质可知，从而得到，再由旋转角，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即旋转角的度数为，
故答案为：52．
15. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．当对角线、满足_____条件时，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查四边形的中点四边形，根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．
【详解】如图，，分别是线段、、、的中点，
则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，
∴，，
∴当，有，
则四边形是菱形，
∴，
故添加：．
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则_____．
【答案】21
【解析】
【分析】本题考查矩形性质，过作并延长交于T，过作并延长交于N，结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案．
【详解】过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接，，，，
∵四边形是矩形，，，，，
∴，，，，，
，
∵，，
∴，，
∴
．
故答案为：21．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算与求证：
（1）计算：；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握混合运算的运算顺序是解本题的关键；
（1）直接利用分母不变，把分子相减，再约分即可；
（2）先计算左边，先计算括号内分式的减法，再计算除法，再与右边比较即可得到结论．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
∵
，
∴
18. 先化简，再求值：，请在1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法，再计算除法，最后结合分式有意义的条件确定，再代入计算即可．
【详解】解：
；
∵且．
∴当时，原式．
19. 某商场开业期间为了吸引顾客，推出了有奖销售的促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．下表是此次促销活动中的一组统计数据：
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）转动该转盘一次，估计指针落在“红色”区域的概率约是 ；（结果精确到0.1）
（3）在该转盘中，估计“黄色”区域的扇形的圆心角约是多少度？（结果精确到）
【答案】（1）；
（2）0.6 （3）“黄色”区域的扇形的圆心角约是
【解析】
【分析】（1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数；
（2）从表中频率的变化，估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6，
（3）可根据“黄色”区域的的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可估计“黄色”区域的扇形的圆心角．
本题考查了，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【小问1详解】
解：，，
故答案为：0.595；472
【小问2详解】
解：估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6，
故答案为：0.6，
【小问3详解】
解：，
故答案为：“黄色”区域的扇形的圆心角约是．
20. 已知：如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，．求证：四边形为平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先证明，再结合平行四边形的性质可得答案．
【详解】证明：∵四边形为平行四边形
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
21. 如图，的顶点坐标分别为．
（1）画出， 使 与关于原点O对称．
（2）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键．
（1）分别作出三角形三顶点原点O对称的对应点，再顺次连接可得；
（2）分别作出三角形三顶点原点O顺时针方向旋转得到的对应点，再顺次连接可得．
【小问1详解】
如图所示即为所求；
【小问2详解】
如图所示即为所求，．
22. 为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师抽测了该校八年级（1）班50名学生一分钟的跳绳次数，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部 分频数分布直方图，图表如下所示：请结合图表完成下列问题：
（1）本次调查的方式是 （填“普查”或“抽样调查”），样本容量是 ；
（2）m＝ ，并把频数分布直方图补充完整；
（3）若该校八年级学生共500人，规定在一分钟内跳绳次数少于120次时测试不合格，则该校一分钟跳绳不合格的人数大约有多少人？
【答案】（1）抽样调查；50
（2），补全图见解析
（3）一分钟跳绳不合格的人数大约有140人
【解析】
【分析】本题主要考查频数分布直方图，关键是考查学生读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．
（1）根据题意及表格得本次调查为抽样调查，样本容量为50，即可求出答案；
（2）根据样本容量即可求出m，并根据m的值，即可将直方图补充完整；
（3）从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组，共人，然后除以总人数即可求出该校八年级（1）班学生进行一分钟跳绳不合格的概率，然后即可得出人数．
【小问1详解】
解：由题意，得：本次调查的方式是抽样调查，样本容量是50，
故答案为：抽样调查；50；
【小问2详解】
解： ，
补图如下：
；
【小问3详解】
解：，
∴一分钟跳绳不合格的人数大约有140人．
23. 如图，在中，．
（1）求作：菱形，使菱形的顶点D落在边上；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，，，求（1）中的菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题考查了作图−复杂作图，菱形的判定与性质，勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
（1）作的垂直平分线交于，然后以点为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于，则四边形满足条件；
（2）根据菱形的性质得到，设，则，利用勾股定理得到，解方程得到菱形的边长，从而得到菱形的面积．
【小问1详解】
如图所示，菱形即为所求；
．
【小问2详解】
由（1）得四边形是菱形，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得，
，
解得，
，
∴菱形的面积．
24. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握平行四边形和矩形的性质是解题的关键．
（1）先根据一组对边平行且相等证明四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证明四边形为矩形；
（2）先根据矩形的性质通过导角证明，再用勾股定理解求出，最后根据求出即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
25. 已知甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地．
（1）若该汽车先以的速度行驶了，再以的速度行驶了剩下的路程，求该汽车从甲地到乙地的时间；
（2）若该汽车采用以下两种不同方式行驶：
方式1：前的路程以速度行驶，后的路程以速度行驶；
方式2：前的时间以速度行驶，后的时间以速度行驶．
①设该汽车以方式1、方式2行驶到达目的地的时间分别为、．请用含a、b的代数式分别表示，；
②当时，哪种方式先到达目的地？请说明理由；
【答案】（1）
（2）①t1＝，t2＝；②方式2先到达目的地，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是分式的应用，列代数式，分式的值的大小比较，分式的加减运算，理解题意是解题关键．
（1）利用路程除以速度等于时间列式计算即可；
（2）①利用路程除以速度等于时间分别列式计算，即可；②利用作差的方法比较两个分式的值的大小即可得到结论．
【小问1详解】
解：
答：该汽车从甲地到乙地的时间为．
【小问2详解】
①由题意可得：，
，
②∵
∵，，，
∴，
即，所以．
答：方式2先到达目的地．
26. 【教材重现】以下是苏科版八（下）数学教材第94页第19题第（1）（2）问．
在正方形中：
（1）如图1，如果点E、F分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论；
（2）如图2，如果点E、F、G分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论；
（1）直接判断教材中的第（1）问的与是否相等？不必说明理由；
（2）完成教材中的第（2）问的解答；
【变式探究】
（3）如图3，当M点恰好是的中点时，对角线交于点H，判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）相等；（2）见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键．
（1）证明即可证明；
（2）作，证明即可证明结论；
（3）作，连接，根据直角三角形性质得出，进一步证出结论即可；
【详解】（1）证明：相等；
正方形中，，
，
，
，
；
（2）证明：作，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）作，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵在中，M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又由（2）得：，
∴．转动转盘的次数n
100
200
400
600
800
1000
落在“红色”区域的次数m
60
122
240
357
b
603
落在“红色”区域的频率
0.6
0.61
0.6
a
0.59
0.603
组别
次数x
频数（人数）
第1组
6
第2组
8
第3组
12
第4组
m
第5组
6