江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024学七年级下学期期中数学试题（A卷）（A卷+A卷）

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一．选择题（每题3分，共18分．）
1. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 14，4，9D. 7，2，4
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形三边关系进行判定即可．
【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
B、，成立，符合题意；
C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键．
2. 已知△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5，则此三角形是（ ）三角形．
A. 锐角B. 钝角C. 直角D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】设三角的度数分别为：3x°4x°5x°，根据三角形内角和定理得3x＋4x＋5x＝180，即可判断．
【详解】解：∵△ABC的三个内角度数之比为3∶4∶5，
∴设三角的度数分别为：3x°4x°5x°，
∴3x＋4x＋5x＝180，
解得：x＝15，
∴三个内角的度数分别为：45°，60°，75°，
∴此三角形为锐角三角形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及一元一次方程的应用，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角
B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等
D. 三角形三条中线和三条高的交点一定在三角形内部
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是判断真命题的题目，需明确真命题就是正确的命题．
A、找出相等的角可作出判断；B、根据平行线的性质可作出判断；C、可利用全等三角形的判定与性质作出判断；D、三角形中线和高定义作出判断；
【详解】A．相等的角也可能是内错角，故不合题意；
B．两直线平行，同旁内角互补，故合题意：
C．两条边相等及一个角相等的两个三角形不一定全等，两条边相等及夹角相等的两个三角形全等，故不合题意；
D．三角形三条中线和三条高的交点不一定在三角形内部，不符合题意；
故选：B．
4. 如图，等腰中，点D，E分别在腰，上，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】解：∵，
∴，
A、若添加，由于，可得，由公共边，则可根据判定，故本选项不符合题意；
B、若添加，不能判定，故本选项符合题意；
C、若添加，可得，由公共边，则可根据AAS判定，故本选项不符合题意；
D、若添加，由公共边，则可根据ASA判定，故本选项不符合题意．
故选：B．
5. 中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A. 总体是中学生B. 样本容量是360
C. 估计该校约有90%的家长持反对态度D. 该校只有360个家长持反对态度
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和总体、样本、样本容量的定义可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：由题意可得，
总体是某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故选项不符合题意；
样本容量是400，故选项错误；
估计该校约有的家长持反对态度，故选项符合题意；
该校抽取的样本中有360个家长持反对态度，并不是全校持反对家长态度的家长，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查用样本估计总体、总体、样本、样本容量，解题的关键是明确题意，理解总体、样本、样本容量．
6. 如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（ ）
A. 以点C为圆心，为半径的弧B. 以点C为圆心，为半径的弧
C. 以点G为圆心，为半径的弧D. 以点G为圆心，为半径的弧
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，根据利用边边边判定原理作等角判断即可得到答案；
【详解】解：由图可得，
∵用尺规作出了，
∴弧是以点G为圆心，为半径的弧，
故选：D．
二．填空题（每空3分，共18分）
7. 已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为______________．
【答案】6或8##8或6
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论：①当腰长为6时；②当底边长为6时，分别进行求解即可．
【详解】解：设底边长为x，腰长为y，
则，
①当腰长时，
，
；
三边长分别为6，6，8能构成三角形，符合题意；
故；
②当底边长时，
，
；
三边长分别为7，7，6能构成三角形，符合题意；
故；
综上所述，或；
故答案为：6或8．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的构成与一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形三边的关系与分类讨论是解答此题的关键．
8. 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝_____°．

【答案】30
【解析】
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
9. △ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，点C落在△ABC内，如图，若∠CDA=20°，则∠CEB=________．
【答案】80°
【解析】
【分析】如图延长AD、BE交于点F，连接CF．首先证明∠1+∠2=2∠AFB，求出∠AFB即可解决问题．
【详解】解：如图延长AD、BE交于点F，连接CF．

在△ABF中，∠AFB=180°-55°-75°=50°，
∵∠ECD=∠AFB=50°，∠1=∠ECF+∠EFC，∠2=∠DCF+∠DFC，
∴∠1+∠2=∠ECF+∠EFC +∠DCF+∠DFC =2∠AFB=100°，
∵∠1=∠CDA=20°，
∴∠2=∠CEB=80°，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10. 已知，如图，在中，点是上一点，平分，，，，则的长为____．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明，在边上取点，使，连接，证明，再根据已知条件证得，即可得解．
【详解】解：如图，在边上取点，使，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
11. 如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，其中，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，利用勾股定理求解是关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在长方形中，，，现有一动点P从点A出发，以1cm/s速度沿长方形的边运动，到达点A时停止；点Q在边上，，连接．设点P的运动时间为，则当_______s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．（不考虑两个三角形重合的情况）
【答案】1或2或7
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和长方形的性质，掌握全等三角形的判定和恰当分类是解题的关键．
先确定是等腰直角三角形，再分三种情况：点在边上，或，点在边上，，利用动点运动的路径求解即可．
【详解】解：在长方形中，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
分三种情况：
当点在边上，时，，
则，
∴；
当点在边上，时，，
则
点在边上，时，，
则，
综上，当或或时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．
故答案为：1或2或7．
三．基础题（每题6分，总共30分）
13. 小玉同学在进行多边形内角和的计算时，求得一个多边形的内角和为，当她发现算错之后进行检查，原来多加了一个外角，你知道她多加的这个外角是多少度吗？
【答案】
【解析】
【分析】设多边形的边数为，由题意可得，求出的值即可得到答案．
【详解】解：设多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
，
多加外角的度数．
【点睛】本题考查了对变形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
14. 如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据角平分线的性质与外角的性质表示即可．
【详解】解：的内角平分线与外角平分线交于点，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，外角性质的运用是解题关键．
15. 如图，在四边形中，，在上取两点，使，连接．若，试说明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由“”可证．
【详解】解：，
，
，
，
在和中，
，
．
16. 如图，直线与直线相交于点，点是直线上一点，尺规作图：作直线，并标明作图理论依据（不写作法，保留作图痕迹）；
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图以及平行线的性质的运用，直接利用作一角等于已知角的作法，结合点D的位置作出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图，作，
∴由同位角相等，两直线平行可知，
∴直线即为所求．
17. 如图，于，于，若、，
（1）求证：平分；
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：，，
，
在和中，
，
∴，
，
，，
平分；
【小问2详解】
解：，，，
∴
，
，，
，
．
四．能力题（每题8分，总共24分）
18. 如图，在中，，分别是，平分线，，分别是，的平分线．
（1）若，直接写出，的度数；
（2）当变化时，的值是否变化?请说明理由．
【答案】（1），
（2）的值不变．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和定理用表示出，再根据角平分线的定义表示出，然后在中利用三角形的内角和定理可得出的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义即可得出的度数；
（2）根据（1）中与的式子即可得出结论．
【小问1详解】
解：在中，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
在中，
；
、分别是与的外角平分线，
，，
，
．
【小问2详解】
值不变．理由如下：
，分别平分，，
，．
．
同理．
．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质、角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
19. 已知：如图，在四边形中，，点E在直线上，点F在直线上，且.
（1）如图①，若平分，求证：；
（2）如图②，若平分四边形的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）仍成立，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角，三角形、四边形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线、垂直的定义，理清各角之间的关系，得出是解题的关键．
（1）如图1，先根据三角形内角和定理得出，，由，得到，再由角平分线定义得出，等量代换得到．由平角的定义得出，那么，再根据四边形内角和定理求出，进而得到，由垂直的定义证明出；
（2）如图2，先根据三角形外角的性质得出，，由，得到，再由角平分线定义得出，等量代换得到．由平角的定义得出，那么，再根据四边形内角和定理求出，进而得到，由垂直的定义得出．
【小问1详解】
证明：如图1，∵，，
，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图2，若平分的外角，其余条件不变，（1）中结论没有变化．
理由如下：
∵，
，
∴，
∵平分的外角，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 如图所示，在中，，，，D为的中点，点P在线段上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向点A运动，设运动时间为．
（1）若点P与点Q的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由．
（2）若点P的速度比点Q的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度．
【答案】（1）2s，理由见解答过程
（2）经过1s，点P的速度是9，则点Q的速度是12时，与全等
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用；
（1）根据等腰三角形的性质可得出，由点、同速同时出发可得出，结合全等三角形的判定定理可得出当时与全等，进而即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设点的速度为，则点的速度为，由、结合全等三角形的性质可得出、，进而即可得出关于、的方程组，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：点与点的速度都是，
，
，，，
要使与全等，则需，
即，
，
即经过的时间与全等；
【小问2详解】
解：设点的速度是，则点的速度是，
，，
，
，要使与全等，则需，，
，
解得：，
经过，点的速度是，则点的速度是时，与全等．
五．提高题（每题9分，总共18分）
21. 已知在四边形中，，．
（1）如图1，连接，若，，则=______．
（2）如图2，点P、Q分别在线段、上，且，求证：
（3）若点Q在的延长线上，点P在的延长线上，如图3所示，若满足，请直接写出与∠D的数量关系．
【答案】（1）7 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，再根据全等三角形的性质可以得到解答；
（2）如图2，延长，在上面找一点K，使得，连接，通过证得到：，，然后结合已知可以得到，根据全等三角形的性质可以得到要证结论；
（3）如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，构建全等三角形：，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是360度可以推得：．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴都是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为7；
【小问2详解】
证明：如图，延长，在上面找一点K，使得，连接，
∵，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵和中，
∴，
∴即；
【小问3详解】
解：，理由如下：
如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，
∵，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
22. 小颖同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）小颖同学共调查了多少名居民的年龄，扇形统计图中a，b各等于多少？
（2）补全条形统计图；
（3）若该辖区年龄在0～14岁的居民约有1500人，请估计年龄在15～59岁的居民的人数．
【答案】（1）300，a=20%，b=12%；（2）答案见解析；（3）5100．
【解析】
【分析】（1）根据15——40岁的居民所占百分比求出总人数,再得各段的百分比,从而求出a,b的值,
（2）见下图,
（3）根据年龄在0～14岁的居民所占比重求出总人数,乘以年龄在15～59岁的居民的占比即可.
【详解】解：（1）根据题意得：
144÷48%=300（名），a=60÷300×100%=20%，b=36÷300×100%=12%，（2）41～59岁的居民有300×20%=60（人），补图如下：
（3）根据题意得：
总人数：1500÷20%=7500（人），7500×（20%+48%）=5100（人）．
【点睛】本题考查了统计图的实际应用,用样本估计总体,中等难度,从统计图中得到有用信息是解题关键.
六．思维发展（12分）
23. 已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，点A、B分别是x轴和y轴上的动点．
（1）如图1，若点C的横坐标为-4，求点B的坐标；
（2）如图2，BC交x轴于D，AD平分∠BAC，若点C的纵坐标为3，A（5，0），过C点作CN垂直于x轴，垂足为N，延长CN交AB的延长线于点M，问：
①△CBM和△AOB是否全等?并说明．
②求点D的坐标．
【答案】（1）（，）；（2）不全等；见解析；（，）
【解析】
【分析】（1）作于点，则，求出，，证明，求出即可解答
（2）根据和中对应角相等，但对应边不相等，故可得和不全等；
先证明，得，，再证明，求出，即可求解
【详解】如图：作于点，则
，
在和中
（，）
（2）如图：
由题意得：，轴
，
，
为的直角边，为的斜边
在和中，只有对应的角相等，但对应角所对的边不相等，故与不全等
由题可得：，
平分
在和中
，
，，
在和中
（，）
（，）
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识，能熟练综合运用性质进行推理和计算是解题关键．