陕西省安康市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列各组数分别是三条线段的长度，其中能围成直角三角形的是（ ）
A. 1，1，2B. 1，2，3C. 2，2，D. 2，3，4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，故是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ）
A. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
B. 两个角互余的三角形是等腰三角形
C. 在同一个三角形中，等边对等角
D. 如果一个三角形有两个边相等，那么这个三角形是等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据命题的题设与结论解答．
交换命题的题设与结论，写出逆命题即可．
【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故选：A．
3. 矩形和菱形都具有的性质是（ ）
A. 邻边相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质；
根据菱形和矩形的性质即可判断；
【详解】解：A、矩形邻边不一定相等，不符合题意，
B、矩形和菱形对边相等，符合题意，
C、矩形对角线不一定互相垂直，不符合题意，
D、菱形对角线不一定相等，不符合题意，
故选：B．
4. 如图，湖的两岸有A，B两点，在与成直角的方向上的点C处测得米（即），米，则A，B两点间的距离为（ ）
A. 40米B. 30米C. 50米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据与的长即可直接求得的长即A，B两点间的距离．
【详解】解：由题可知：为直角三角形，，
米，米，
A，B两点间的距离即米，
故选：B．
5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）

A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形D. 当时，它是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定等知识点，根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
【详解】A、∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 下列计算正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法法则计算判断A，B，再根据二次根式的乘法法则计算判断C，D．
【详解】因为和不是同类二次根式，不能合并，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为，所以C不正确；
因为，所以D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
7. 如图，在A村与村之间有一座大山，原来从A村到村，需沿道路（）绕过村庄间的大山，打通A，间的隧道后，就可直接从A村到村．已知，，那么打通隧道后从A村到村比原来减少的路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，线段和差．利用勾股定理求出的长，再利用线段和差即可计算本题结果．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，点E，F分别是，的中点，连接，，，分别与，相交于点M，N，连接，，下列结论：（1）是等边三角形；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的性质得出、是等边三角形，得出，，得出，再证明是的中位线，得出，得出，得出（1）正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出，，得出，得出（2）正确；由菱形的性质得出，再由，得出（3）正确；证明，同理：，再证出，得出（4）正确；即可得出结论．
【详解】解：四边形菱形，
，，，，，
、是等边三角形，
是等边三角形ABC的高，
点E是的中点，
是等边三角形的高，
，
同理：，
，
点E，F分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，即是等边三角形，
（1）正确；
点E，F分别是，的中点，，
，，
，
四边形是菱形，
（2）正确；
四边形是菱形，
，
，
，
（3）正确；
是等边三角形的中线，
，
同理：，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
（4）正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若二次根式有意义，则x的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式的性质即可解题．根据二次根式被开方数大于等于0列式求解，即可解题．
【详解】解：二次根式有意义，
，
，
的值可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
10. 在中，斜边，则的值为________．
【答案】72
【解析】
【分析】】
本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．
利用勾股定理将转化为，再求值．
【详解】解：中，为斜边，
，
．
故答案为：72．
11. 在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，，，若点D，E，F分别是，，的中点，则水渠的总长为________米．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线的的应用，根据“三角形中位线等于第三边的一半”即可求解．
【详解】解：点D，E，F分别是，，的中点，
、、为三边的中位线，
（米），
故答案为：．
12. 若与最简二次根式可以合并，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
【详解】解∶，
与最简二次根式可以合并，
，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13. 如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，连接，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定，求出的最小值是解本题的关键．连接，，，由勾股定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当，，三点共线时，最小，进而得解的最小值．
【详解】解：连接，，，如图所示，
四边形是矩形，，，
，，，
，
P是线段的中点，，
，
，，G，H为垂足，
，
四边形是矩形，
，
当，，三点共线时，最小，
此时，，
的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法和加减法法则是解决问题的关键．
先进行二次根式的乘除法运算，然后化简二次根式后合并即可；
【详解】解：原式
．
15. 在中，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，如图，
所以．
16. 如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD边上的高，证明：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由菱形的性质可知，，，可知，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵AE，AF分别是BC，CD边上的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质．
17. 如图，在平行四边形中，，，于点．求：的度数．
【答案】
【解析】
【分析】先根据垂直定义可得，再根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18. 已知，，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，以及求代数式的值、二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式和二次根式的运算法则是正确解决本题的关键．
将所求式子变形，再将和的值代入计算即可．
【详解】解：
．
19. 如图，在中，，垂足为E，点F在上，且．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与选择、矩形的判定等知识点．熟记定理内容是解题关键．先证四边形是矩形．再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证 ．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
20. 如图，正方形的顶点B与正方形的顶点B重合，顶点E、G分别在边、上，连接、，正方形的面积为4，正方形的面积为2，求的面积（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、以及求三角形的面积，根据正方形的面积得到边长、、，从而得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：正方形的面积为4，
，
正方形的面积为2，
，
，
的面积为：．
21. 如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两点，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．
（1）通过全等三角形的对应边相等证得；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【小问1详解】
证明：如图：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
；
【小问2详解】
证明：，
，
∴．
由（1）知，
，
四边形是平行四边形．
22. 如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积．
【答案】四边形的面积为18
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
是直角三角形，且，
．
答：四边形的面积为18．
23. 甲、乙两个城市之间计划修建一条城际铁路，其中一段长为的路基的横断面设计为一个梯形，梯形的上底宽，高为，这段路基的土石方（体积）为，求横断面梯形的下底宽．

【答案】横断面梯形的下底宽为．
【解析】
【分析】利用梯形的面积公式列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设下底宽为m，则：
，
整理得，
解得：，
答：横断面梯形的下底宽为．
【点睛】本题考查了梯形的面积公式，二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
24. 定义：如图，点M，N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段分割成、、，若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗?请说明理由．
（2）已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，为斜边，若，，求的长．
【答案】（1）是，理由见详解
（2）10
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理应用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论．
（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M，N是线段的勾股分割点．
（2）当为最大线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
是，理由如下：
∵，，
∴，
∴、、为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
【小问2详解】
设，则，
依题意，
即，
解得，
∴．
25. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据平行性质判断出，再根据角平分线的性质进而判断出，得出，从而得到四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
26. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若F恰为的中点，求正方形的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）6； （3）．
【解析】
【分析】（1）作于M，于N，通过证明，得到，即可求证；
（2）通过证明得到，即，求解即可；
（3）连接，根据勾股定理求得，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，作于M，于N．
∵四边形是正方形，
∴，
∵于M，于N，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵F是中点，
∴，
∴，
∴正方形的面积．
【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法与性质，做辅助线，构造出全等三角形．