四川省成都市石室中学2024届高三下期三诊模拟考试文科数学试卷（原卷版+解析版）

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（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 满足且的集合的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 在中，“是钝角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 乙的成绩的中位数为D. 乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差
4. 用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A. 1项B. 项C. 项D. 项
5. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的周期为
C. 是一个对称中心D. 在区间上单调递增
6. 物理学家本·福特提出定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若，则k的值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
7. 已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（ ）
A. B. 1C. 2D.
8. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（ ）

A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直
9. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，点，向量，且.若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和（点在轴上方），双曲线右焦点为，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，射线与圆，当射线从开始在平面上按逆时针方向绕着原点匀速旋转（、分别为和上的点，转动角度不超过）时，它被圆截得的线段长度为，则函数的解析式为（ ）
A B.
C. D.
12. 若存在满足，且使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 若复数（为虚数单位），则________________.
14. 已知a是1，2的等差中项， b是 1， 16的等比中项， 则ab等于_________ ；
15. 已知函数的定义域为，对于任意实数均满足，若，，则________________.
16. 某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于__________.
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17. 成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

（1）求的值；
（2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在内的概率.
18. 如图，在四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．

（1）求的值；
（2）设AC=3，求．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，且是的极值点，证明：.
20. 已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且，和的夹角为.
（1）证明：四面体体积为定值；
（2）已知异于、两点的动点，且、、、、均在半径为的球面上.求点到直线的距离的取值范围.
21. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）我们称圆心在椭圆上运动且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.过原点作椭圆的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，若直线的斜率存在，并记为，求的取值范围.
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数) ，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程和曲线的参数方程；
（2）若将曲线上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上任意一点，求点到直线距离的最小值.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数．
解不等式；
若a、，，，证明：．