天津市西青区杨柳青第三中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 估计的值在（ ）
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
【答案】C
【解析】
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解．
【详解】解：∵49＜57＜64，
∴7＜＜8．
故选C．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
3. 二次根式的值是（ ）
A. ﹣3B. 3或﹣3C. 9D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简， ．
【详解】．
故选D．
【点睛】本题考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式化简规律：当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a．
4. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次根式有意义的条件列不等式可得答案．
【详解】解：由式子在实数范围内有意义，


故选D．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
5. 如图，25和169分别是两个正方形的面积，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A. 12B. 13C. 144D. 194
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：根据勾股定理和正方形的面积公式可得：字母B所代表的正方形的面积是169－25=144
故选C．
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理和正方形的面积公式是解决此题的关键．
6. 已知四边形的对角线、交于点O，且，，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵四边形的对角线、交于点O，且，，
∴四边形是平行四边形
A、是指一组邻边相等，得出四边形是菱形，故该选项是不符合题意；
B、是指对角线互相垂直，得出四边形是菱形，故该选项是不符合题意；
C、由不能得到，不能证明四边形是矩形，故该选项是不符合题意；
D、是一个角为直角，得出四边形是矩形，故该选项是符合题意；
故选：D．
7. 下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
B. 相等的角是对顶角
C. 全等三角形的对应边相等
D. 同旁内角互补，两条直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题的逆命题，根据平方性质、对顶角性质、全等三角形的性质，平行线的性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、原命题的逆命题是如果它们的平方相等，那么两个实数相等，逆命题是错误的，也可能是互为相反数，故该选项是错误的；
B、原命题的逆命题是对顶角是相等的角，逆命题是正确的，故该选项是正确的；
C、原命题的逆命题是三角形的对应边相等的三角形是全等三角形，逆命题是正确的，故该选项是正确的；
D、原命题的逆命题是两条直线平行，同旁内角互补，逆命题是正确的，故该选项是正确的；
故选：A．
8. 如图，四边形是菱形，对角线，，于点H，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，结合勾股定理求出，再根据菱形的面积计算公式即可求出，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】∵四边形是菱形，
∴
∴，
∵菱形的面积
∴
故选：B．
9. 如图，每个小正方形的边长为，A，B，C是小正方形的顶点，小明沿图中的折线所走的路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了网格与勾股定理，利用网格中两点的位置，利用勾股定理分别求出的长度，即可得到答案．
【详解】∵，，
∴小明沿图中的折线所走的路程为，
故选：D．
10. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和以及正方形、等边三角形的性质，先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形
∴
∴
∴
故选：A．
11. 在平面直角坐标中，已知点、、，以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，中点坐标公式，利用平行四边形的对角线交点是对角线的中点，结合中点坐标公式分类计算即可，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
【详解】设，
①当为对角线时，中点坐标为，即，
根据平行四边形性质，得，
解得，
∴点D的坐标为；
②当为对角线时，中点坐标为，即，
根据平行四边形的性质，得，
解得，
∴点D的坐标为；
③当为对角线时，中点坐标为，即，
根据平行四边形性质，得，
解得，
∴点D的坐标为，
故选：D．
12. 如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交，于点E，O，则的长为（ ）
A. 3.5B. 3C. 2.8D. 2.5
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用矩形的性质得到，，根据线段垂直平分线的性质得到，在利用勾股定理列得，求出即可．
【详解】连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵对角线的垂直平分线分别交，于点E，O，
∴，
在中，，
∴，
解得，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
13. 化简：____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
14. 如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD中点，从而求得OH的长．
【详解】∵四边形菱形，
∴，
∵对角线,
∵O为对角线与的交点，
∴
在Rt，H为AD边中点，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查在直角三角形中，斜边中线等于斜边一半，还综合利用了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和直角三角形性质是解题的关键．
15. 如图,在底面周长为12,高为8的圆柱体上有A,B两点,则AB之间的最短距离是_____.
【答案】10
【解析】
【分析】立体图形转换成平面图形，利用两点之间线段最短，求解即可．
【详解】
如图，把圆柱侧面展开后，走AB的路线最短，
∵AC=12.底面周长=6，BC=8，
∴AB=.
【点睛】本题考查最短路径问题，关键是把立体图形转换到平面图形来做，运用勾股定理可求解．
16. 如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于______．
【答案】22.5°
【解析】
【详解】试题分析：先根据正方形对角线平分一组对角求出∠BAC的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求解.
解：∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC=×90°=45°，
∵AF是菱形AEFC的对角线，
∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．
考点：正方形、菱形的性质
点评：特殊四边形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
17. 如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为______
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到的最小值即为线段的长．连结，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案．
详解】连结，，，
正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点，
直线即为的垂直平分线，
，
，
当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长，
正方形的边长为8，且，
，，，
，
的最小值为10．
故答案为：10．
三、解答题（本题共7个小题，满分66分）
18. 如图，将矩形纸片放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C，点D均落在格点上．
（1）矩形的面积等于________；
（2）请用矩形纸片剪拼成一个面积最大的正方形．要求：请在如图所示的矩形中，用无刻度的直尺画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．
【答案】（1）20 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理和网格图，也考查了矩形的性质．
（1）根据长乘宽进行计算即可；
（2）由矩形面积为20可得正方形的边长为，据此剪拼即可．
【小问1详解】
解：由网格可得：矩形的长和宽分别为5和4，
∴面积为，
故答案为：20；
【小问2详解】
解：如图所示，图2即为所求．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）先化简括号内的二次根式，再计算除法；
（2）根据平方差公式去括号，再根据二次根式的乘法进行计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
20. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了求不规则图形面积，勾股定理及其逆定理；连接，由勾股定理得，求出，再由勾股定理的逆定理得，即可求解；掌握定理，将不规则图形转化为规则图形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
；
．
故四边形的面积为．
21. 如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，且．
求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．由四边形是平行四边形，可得，可证，于是得到，，进一步得到，于是，即得证．
【详解】证明： 四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，且，
四边形是平行四边形．
22. 中，，是的角平分线，点O为的中点，连接并延长到点E，使，连接、．
（1）如图，求证：四边形是矩形；
（2）当满足________条件时，矩形是正方形．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．
（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出，进而利用正方形的判定得出即可．
【小问1详解】
证明：点为的中点，连接并延长到点，使，
四边形是平行四边形，
，是的角平分线，
，
，
平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：当时，理由：
，，是的角平分线，
，
由（1）得四边形是矩形，
矩形是正方形．
23. 已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是________，证明你的结论．
（2）当四边形的对角线满足________条件时，四边形是菱形；
【答案】（1）平行四边形，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查对三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定．
（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，进而可求证结论；
（2）连接、，根据三角形的中位线定理得到，，再根据菱形的判定及性质即可求证结论．
【小问1详解】
解：四边形的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连接，

、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形．
【小问2详解】
当时，四边形是菱形．理由如下：
如图，连接、．

、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是菱形，
故答案为：．
24. 如图，四边形是正方形，G是上的任意一点，于点E，于点F，若，，求的长．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．证明，得，，进而可以解决问题．
【详解】解：四边形是正方形，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
25. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．
【解析】
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．