重庆市第八中学校2023-2024学年高三下学期高考模拟(三）数学试题（原卷版+解析版）

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1. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知等边三角形一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的面积是（ ）
A. B. C. D. 24
5. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余.记为.若，，则的值可以是（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
6. 如图，已知圆柱斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）

A. B. 1C. D. 2
7. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）

A. B.
C D.
8. 若圆内接四边形满足，，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. 3D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，是平面上的三个非零向量，那么（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与的夹角为
D. 若，则，在方向上的投影向量相同
10. 已知直线：与圆：交于，两点，线段的中点为，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 的最小值为
C. 面积的最大值为2
D. 点的轨迹所包围的图形面积为
11. 已知函数，.下列选项正确是（ ）
A.
B. ，使得
C. 对任意，都有
D. 对任意，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，则满足B的集合的个数为______.
13. 若正实数，满足，，则______.
14. 在三棱锥中，为正三角形，为等腰直角三角形，且，，则三棱锥的外接球的体积为______；若点满足，过点作球的截面，当截面圆面积最小时，其半径为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）证明平面，并求直线到平面的距离.
16. 已知数列的前项和为，满足，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若数列的公差不为0，数列中的部分项组成数列，，，…，恰为等比数列，其中，，，求数列的通项公式.
17 已知函数．
（1）若直线与函数和均相切，试讨论直线的条数；
（2）设，求证：．
18. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量，，表示前局中乙当裁判的次数.
（1）求事件“且”的概率；
（2）求；
（3）求，并根据你的理解，说明当充分大时的实际含义.
附：设，都是离散型随机变量，则.
19. 已知，曲线上任意一点到点的距离是到直线的距离的两倍.
（1）求曲线的方程；
（2）已知曲线的左顶点为，直线过点且与曲线在第一、四象限分别交于，两点，直线、分别与直线交于，两点，为的中点.
（i）证明：；
（ii）记，，的面积分别为，，，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.