2024年中考数学复习探究性试题---一次函数

这是一份2024年中考数学复习探究性试题---一次函数，共61页。试卷主要包含了如图，直线l1，如图1，直线AB，如图1，已知直线l1，【概念学习】，已知直线l1，预备知识等内容，欢迎下载使用。
1．如图，直线l1：y＝x+4与y轴，x轴交于点A，点B，直线l2与y轴，x轴交于点A，点C，OC＝2OA．
（1）求点A的坐标及直线l2的解析式；
（2）点在直线l3上．
①直接写出直线l3的解析式；
②若点D在△ABC内部（含边界），求m的取值范围；
③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线l3向上平移n个单位长度（n为整数），直线l3在第二象限恰有4个整点，直接写出n的值．
2．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣3x+b与x轴交于点D，与y＝x+2交于点E，点E的横坐标为4．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）已知P是坐标平面内一点，连接PA，PB，PD，PE所得的△PAB，△PDE的面积分别为S△PAB，S△PDE，设S△PAB＝kS△PDE；
①如图（2），若点P的坐标为（a﹣1，2a﹣4），且位于四边形BODE内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
②如图（3），若点F在x轴上，坐标为（﹣11，0），点Q是y轴上的一个动点，当k＝1时，求FQ+PQ的最小值．
3．如图1，直线AB：y＝﹣x+6分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C（﹣3，0）．
（1）请直接写出直线BC的关系式： ；
（2）在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD＝S△AOD？若存在，求出点D坐标：若不存请说明理由；
（3）如图2，D（11，0），P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA，QD．请直接写出QB﹣QD的最大值： ．
4．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，A（6，0），C（0，6），D为线段OC上一点，OD＝1．
（1）求直线DB的函数解析式；
（2）在正方形OABC的边上有一点E，若EB＝ED，求E点坐标；
（3）作点C关于x轴的对称点C'，点E为直线AB上一动点，在射线BD上是否存在点F，使△C′EF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出F点坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图1，已知直线l1：y＝ax+b与x轴、y轴分别交于B、A两点，将直线l1绕点A逆时针旋转60°得直线l：y＝cx+b与x轴交于点C．
（1）如图2，若∠BAO＝30°，OB＝2，D为线段AC的中点，连接OD，E为线段OD上的一动点，①求证：OC＝OB；②求的最小值；
（2）如图3，将直线l1：y＝ax+b绕点A逆时针旋转15°与x轴的负半轴相交于点F，试求点F的横坐标（用含b和c的代数式来表示）．
6．【概念学习】
对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2．
【理解概念】
（1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝ ．
【深入探索】
（2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标．
【拓展延伸】
（3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 ．
7．在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为．
（1）如图1，连接PA，将△AOP沿直线AP折叠，点O的对应点点C恰好落在AB上，则a＝ ；
（2）如图2，取线段AB的中点E，连接PE，过点E作EQ⊥EP，交x轴于点Q．将△BPE沿EP所在直线折叠，点B的对应点记作点D，连接PD、QD．
①猜想∠PDQ的度数，并证明；
②求证：S四边形PDQE；
（3）连接OD，请直接写出直线OD的解析式（用含有a的代数式表示）．
8．已知直线l1：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l2（图1），直线l2与y轴交于点C．
（1）求新函数的图象l2的解析式；
（2）在射线AC上一动点D（x，y），连接BD，试求△BAD的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）如图2，过点E（2，﹣6）画平行于y轴的直线EF，
①求证：△ABE是等腰直角三角形；
②将直线l1沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线l1与x轴交于点A1，与y轴交于点B1，在直线EF上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得△A1B1P是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
9．预备知识：（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点P（3t，2﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将点P（3t，2﹣t）代入得：2﹣t＝k•3t+b，整理得（3k+1）t+b﹣2＝0．
∵t为任意实数，等式恒成立；
∴3k+1＝0，b﹣2＝0．
∴k，b＝2．
∴这条直线的函数表达式为yx+2．
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点P（2t，3﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，9），且∠BAC＝90°，AB＝AC，则点C的坐标为 ．
结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（1，0），Q是直线yx+2上的一个动点，连接PQ，过点P作PQ′⊥PQ，且PQ′＝PQ，连接OQ′，求线段OQ′的最小值．
10．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线y＝kx+6（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当k＝2时，在第二象限构造等腰直角△ABC，∠CAB＝90°；
①直接写出OA＝ ，OB＝ ；
②点C的坐标是 ；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
11．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．
（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；
（2）连接BE，求△DBE的面积；
（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．
12．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA．
（1）求B点坐标为 ；线段OA的长为 ；
（2）确定直线CD解析式，求出点D坐标；
（3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．
①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，直接写出结论；
②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积．
13．如图，直线l1：y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C坐标为 （﹣5，﹣2），连接AC，BC，点D是线段AB上的一动点，直线l2过C，D两点．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点D的横坐标为1，直线l2上是否存在点E，使点E到直线l1的距离为，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）将△BCD沿直线CD翻折，点B的对应点为M，若△ADM为直角三角形，求线段BD的长．
14．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，作该图象在直线x＝m的右侧部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原图象在直线x＝m的右侧部分及与直线x＝m的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“V型函数”．例如：图1就是一次函数y＝x+2关于直线x＝﹣1的“V型函数”图象．
（1）请在图2中画出函数y＝x+2关于直线x＝0的“V型函数”图象．
（2）若函数y＝x+10关于直线x＝m的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则m＝ ．
（3）如图3，点C（﹣12，0），以OC为斜边在x轴上方作等腰Rt△OCB，当函数y＝x+10关于直线x＝m的“V型函数”图象与△OCB的边只有两个交点时，求m的取值范围．
15．【定义】如图1，在同一平面内，点P，Q在线段MN所在直线的两侧，若MP＝NQ，且∠PMN＝∠QNM＝90°，则称点P与Q是线段MN的等垂对称点．
【理解】
（1）如图2，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F均在格点上，连接AB，则下列各组点是线段AB的等垂对称点的是 ；（填序号）
①点C与点D；
②点C与点F；
③点D与点E；
④点E与点F．
（2）如图3，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，点B与D是线段AE的等垂对称点，
①求证：AD∥BC；
②若DE平分∠ADC，试探究∠BCD与∠B之间的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图4，已知直线y＝x+4与坐标轴交于点A，B，直线y＝x﹣2与坐标轴交于点C，D，当点A，B，C，D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF∥AB时，请直接写出线段EF的长．
2024年中考数学复习探究性试题汇编之一次函数
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．如图，直线l1：y＝x+4与y轴，x轴交于点A，点B，直线l2与y轴，x轴交于点A，点C，OC＝2OA．
（1）求点A的坐标及直线l2的解析式；
（2）点在直线l3上．
①直接写出直线l3的解析式；
②若点D在△ABC内部（含边界），求m的取值范围；
③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线l3向上平移n个单位长度（n为整数），直线l3在第二象限恰有4个整点，直接写出n的值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（0，4），；
（2）①；
②；
③3．
【分析】（1）令x＝0，y＝4，得到点A的坐标为（0，4），利用OC＝2OA，求得点C的坐标为（8，0），利用待定系数法即可求解；
（2）①直接写出直线l3的解析式即可；
②联立，分别求得直线l3与l1、l2的交点坐标，据此即可求解；
③求得﹣3﹣2n＜x＜0，当n＝0、1、2⋯，求得直线l3在第二象限整点个数，即可求解．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝x+4＝4，
∴点A的坐标为（0，4），则OA＝4．
∵OC＝2OA，
∴OC＝8，点C的坐标为（8，0），
设直线l2的解析式为y＝kx+4，把C（8，0）坐标代入y＝kx+4，得0＝8k+4，
∴，
∴直线l2的解析式为；
（2）①∵点在直线l3上，
∴直线l3的解析式为；
②令，则x＝﹣3，令y＝x+4＝0，则x＝﹣4．
解方程组，
解得：
解方程组，
解得，
∵点D在△ABC内部（含边界），
∴m的取值范围是；
③将直线l3向上平移n个单位长度，则平移后的直线解析式为，
直线l3在第二象限，则，
解得﹣3﹣2n＜x＜0，当x为奇数时，y为整数．
当n＝0时，，则﹣3＜x＜0，x可取﹣1一个点；
当n＝1时，，则﹣5＜x＜0，x可取﹣1，﹣3两个点；
当n＝2时，，则﹣7＜x＜0，x可取﹣1，﹣3，﹣5三个点；
当n＝3时，，则﹣9＜x＜0，x可取﹣1，﹣3，﹣5，﹣7四个点．
∴n的值为3．
【点评】本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式，已知点在直线上的求点的坐标等，需要有解决一次函数的综合能力．解题的关键是列出关于m，n的不等式解决问题．
2．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣3x+b与x轴交于点D，与y＝x+2交于点E，点E的横坐标为4．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）已知P是坐标平面内一点，连接PA，PB，PD，PE所得的△PAB，△PDE的面积分别为S△PAB，S△PDE，设S△PAB＝kS△PDE；
①如图（2），若点P的坐标为（a﹣1，2a﹣4），且位于四边形BODE内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
②如图（3），若点F在x轴上，坐标为（﹣11，0），点Q是y轴上的一个动点，当k＝1时，求FQ+PQ的最小值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）b＝18，D（6，0）；
（2）①，理由见解答过程；
②15．
【分析】（1）将点E代入y＝x+2中即可得点E的坐标，将点E代入y＝﹣3x+b即可求解；
（2）①过点P作PM∥x轴交直线y＝﹣3x+18于点M，PN∥y轴交直线y＝x+2于点N过点E作EQ⊥x轴，可得，由此即可得S△APEPN•|xE﹣xA|，S△PDEPM•|yE﹣yD|，将，|xE﹣xA|＝6，|yE﹣yD|＝6，代入即可求解；
②当k＝1时，S△PAB＝S△PDE，即可求得点P（4，0），然后利用两点之间线段最短即可求得FQ+PQ的最小值为PF．
【解答】解：（1）∵点E在直线y＝x+2上，点E的横坐标为4，
∴E（4，6），
∵点E在直线y＝﹣3x+b上，
∴b＝18，
∵直线y＝﹣3x+18与x轴交于点D，
∴D（6，0）；
（2）①k为定值，理由如下：
过点P作PM∥x轴交直线y＝﹣3x+18于点M，PN∥y轴交直线y＝x+2于点N过点E作EQ⊥x轴，如图2：
∴，
∵直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴，，
∴S△ABPS△PBE，S△ABPS△APE，
∴S△APEPN•|xE﹣xA|，S△PDEPM•|yE﹣yD|，
∵，|xE﹣xA|＝6，|yE﹣yD|＝6，
∴S△APE＝3（5﹣a），S△PDE＝5（5﹣a），S△ABPS△APE＝5﹣a，
∴S△PABS△PDE，
∴；
②如图3所示，
过点E作EC⊥x轴于点C，
则C（4，0），
∴S△ACE6×6＝18，S△ECD2×6＝6，
∴S△ACE＝3S△ECD，
由①可得，
∴P在EC上时，S△PAB＝S△PDE，
设P（4，b）且b≠6，
依题意，当P，C重合时，FQ+PQ最小，
此时Q在原点，点P（4，0），则FQ+PQ的最小值为15．
【点评】本题考查了一次函数—几何综合问题，求函数解析式，解答本题的关键是过动点向x轴，y轴作垂线．
3．如图1，直线AB：y＝﹣x+6分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C（﹣3，0）．
（1）请直接写出直线BC的关系式： y＝2x+6 ；
（2）在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD＝S△AOD？若存在，求出点D坐标：若不存请说明理由；
（3）如图2，D（11，0），P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA，QD．请直接写出QB﹣QD的最大值： ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝2x+6；
（2）当或时，S△ABD＝S△AOD；
（3）．
【分析】（1）根据直线AB与y轴的交点，可求出点B的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）设D（a，2a+6），分别用含a的式子表示出出S△AOD，S△ABD，由此即可求解；
（3）△BPQ是等腰直角三角形，设P（m，0）（m＞0），可表示出QB，再证Rt△BOP≌Rt△PTQ（AAS），如图所示，当点B，R，Q在一条直线上时，QB﹣QD的值最大，最大值为BR的值，可求得点R的坐标，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵直线AB：y＝﹣x+（6分）别与x，y轴交于A，B两点，
令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），且C（﹣3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得，，
∴直线BC的解析式为y＝2x+6，
故答案为：y＝2x+6；
（2）方法一：由（1）可知直线BC的解析式为y＝2x+6，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
∴A（6，0），B（0，6），C（﹣3，0），
∴OA＝6，BO＝6，OC＝3，
如图1所示，点D在直线BC上，过点D作DE⊥x轴于E，
∴设D（a，2a+6），E（a，0），
∴S△ABCAC•OB（6+3）×6＝27，S△ADCAC•DE（6+3）×|2a+6||2a+6|，S△AODOA•DE6×|2a+6|＝3|2a+6|；
①当0＜2a+6＜6，即﹣3＜a＜0时，S△ABD＝S△ABC﹣S△ADC＝27|2a+6|＝27（2a+6）＝﹣9a，
若S△ABD＝S△AOD，则﹣9a＝3（2a+6），
解得，
则E （，）；
②当2a+6＜0，即a＜﹣3时，S△ABD＝S△ABC+S△ADC＝27|2a+6|＝27（2a+6）＝﹣9a，
若S△ABD＝S△AOD，则﹣9a＝﹣3（2a+6），
解得a＝6（舍去）；
③当2a+6＞6，即a＞0时，S△ABD＝S△ADC﹣S△ABC|2a+6|﹣27（2a+6）﹣27＝9a，
若S△ABD＝S△AOD，则9a＝3（2a+6），
解得a＝6，
则 D2（6，18）；
综上所述，当D（，） 或D（6，18）时，S△ABD＝S△AOD；
方法二：M（0，3），A（6，0）
ADx+3，
联立得：，
解得：，
∴D点坐标为（，）；
联立得：，
解得：，
∴D点坐标为（6，18）；
（3）已知A（6，0），B（0，6），D（11，0），
设P（m，0）（m＞0），
在Rt△BOP中，OB＝6，OP＝m，
∵△BPQ是等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴BP＝QP；
如图2所示，过点Q作QT⊥x轴于T，
在Rt△BOR，△PTQ中，∠BOP＝∠PTQ＝90°，∠BPO+∠QPA＝∠QPA+∠PQT＝90°，
∴∠BPO＝∠PQT，
在Rt△BOP和Rt△PTQ中，
，
∴Rt△BOP≌Rt△PTQ（AAS），
∴OP＝TQ＝m，OB＝PT＝6，
∴AT＝OP+PT﹣OA＝m+6﹣6＝m，
∴AT＝QT，且QT⊥x轴，
∴△ATQ是等腰直角三角形，∠QAT＝45°，
则点Q的轨迹在射线AQ上，
如图3所示，作点D关于直线AQ的对称点R，
连接QR，BR，AR，A（6，0），B（0，6），D（11，0），
∵△ATQ是等腰直角三角形，即∠QAT＝45°，根据对称性质，
∴∠QAR＝45°，
∴RA⊥x轴，且△DQA≌△RQA，
∴AR＝AD＝11﹣6＝5，则R（6，5），
如图所示，当点B，R，Q在一条直线上时，QB﹣QD的值最大，最大值为BR的值；
∴由勾股定理得：，
故答案为：．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
4．在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，A（6，0），C（0，6），D为线段OC上一点，OD＝1．
（1）求直线DB的函数解析式；
（2）在正方形OABC的边上有一点E，若EB＝ED，求E点坐标；
（3）作点C关于x轴的对称点C'，点E为直线AB上一动点，在射线BD上是否存在点F，使△C′EF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出F点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题．
【答案】（1）直线DB的函数解析式为；
（2）点E的坐标为或；
（3）点F的坐标为或或或．
【分析】（1）求出点B和点D的坐标，得到直线DB的函数解析式；
（2）分点E在线段BC上和点E在线段OA上两种情况，利用勾股定理列方程，从而求出点E的坐标；
（3）设E（6，m），F（n，），分①∠EC′F＝90°，C′E＝C′F，其中点E和F可位于点C的上方和下方②若∠C′FE＝90°，C′F＝EF和③若∠C′EF＝90°，C′E＝EF三种情况，利用全等三角形的性质列方程求出点F的坐标．
【解答】解：（1）∵A（6，0），C（0，6），
∴OA＝OC＝6，
∵四边形OABC是正方形，
∴B（6，6），
∵OD＝1，
∴D（0，1），
设直线DB的函数解析式为y＝kx+b，代入B（6，6），D（0，1），
得，解得，
∴直线DB的函数解析式为；
（2）①若点E在线段BC上，设CE＝x，则EB＝ED＝6﹣x，
∵△CDE是直角三角形，
∴DE2＝CD2+CE2，即（6﹣x）2＝52+x2，
解得，
∴点E的坐标为；
②若点E在线段OA上，设OE＝x，则AE＝6﹣x，
∵△DOE，△ABE是直角三角形，
∴DE2＝OD2+OE2，BE2＝AE2+AB2，
∵DE＝BE，
∴OD2+OE2＝AE2+AB2，即12+x2＝（6﹣x）2+62，
解得，
∴点E的坐标为；
综上所述，点E的坐标为或；
（3）设E（6，m），F（n，），
①若∠EC′F＝90°，点E，F位于点C上方，
C′E＝C′F，
过点C′作直线平行于x轴，分别过点E、F作EN、FM垂直于该直线，垂足为点M、N，
∵∠MFC′+∠FC′M＝90°，∠N′CE+∠FC′M＝90°，
∴∠MFC′＝∠NC′E，
∵∠FMC′＝∠C′NE＝90°，C′F＝C′E，
∴△FMC′≌△C′NE（AAS），
∴FM＝C′N，即，
解得，
∴点F的坐标为，
点E，F位于点C下方，
同理易证点F的坐标为；
②若∠C′FE＝90°，C′F＝EF，
过点F作直线平行于y轴，分别过点E、F作EN、C′M垂直于该直线，垂足为点M、N，
同理证明△ENF≌△FMC′（AAS），
∴EN＝FM，即，
解得，
∴点F的坐标为；
③若∠C′EF＝90°，C′E＝EF，
过点E作直线平行于y轴，分别过点C′、F作C′N、FM垂直于该直线，垂足为点M、N，
同理证明△C′NE≌△EMF（AAS），
∴FM＝EN，EM＝C′N，
∴，
解得，
∴点F的坐标为；
综上所述，点F的坐标为或或或．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，本题的关键在于分类讨论画出图，构造全等三角形列方程求出点F的坐标．
5．如图1，已知直线l1：y＝ax+b与x轴、y轴分别交于B、A两点，将直线l1绕点A逆时针旋转60°得直线l：y＝cx+b与x轴交于点C．
（1）如图2，若∠BAO＝30°，OB＝2，D为线段AC的中点，连接OD，E为线段OD上的一动点，①求证：OC＝OB；②求的最小值；
（2）如图3，将直线l1：y＝ax+b绕点A逆时针旋转15°与x轴的负半轴相交于点F，试求点F的横坐标（用含b和c的代数式来表示）．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①证明见解析；
②AEOE的最小值为：3；
（2）F的横坐标为：m．
【分析】（1）①由∠BAC＝60°，可得∠BAO＝30°，OB＝2，可得AB＝2OB＝4，∠CAO＝30°，求解OC＝2，可得OB＝OC；
②如图，作A关于直线OD的对称点H，作直线AH，连接OH，EH，过E作EG⊥y轴于G，则OA＝OH，AE＝EH，∠AOD＝∠HOD，证明△AOH为等边三角形，当G，E．H三点共线时，AEOE＝GH，此时最小，如图，此时GH为等边三角形AOH的高，再利用勾股定理可得答案；
（2）如图，当F落在负半轴时，由题意可得：∠BAF＝15°，∠BAC＝60°，过F作FQ⊥AF交AC于Q，过Q作QT⊥OB于T，而∠FAQ＝45°，证明△QFT≌△FAO，可得FT＝OA＝b，OF＝QT，设F（m，0），可得Q（m+b，m），则c（m+b）+b＝m，可得m的值，如图，当F落在正半轴时，由题意可得：∠BAF＝15°，∠BAC＝60°，同理可得可得m的值．
【解答】（1）①证明：∵将直线l1绕点A逆时针旋转60°得直线l：y＝cx+b，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAO＝30°，OB＝2，∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴AB＝2OB＝4，AO2，∠CAO＝30°，
∴AC＝2OC，
∵OC2+OA2＝AC2，
∴3OC2＝12，
∴OC＝2，
∴OB＝OC；
②解：如图，作A关于直线OD的对称点H，作直线AH，连接OH，EH，过E作EG⊥y轴于G，则OA＝OH，AE＝EH，∠AOD＝∠HOD．
∵D为AC中点，OB＝OC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∴∠AOD＝∠OAB＝30°，GEOE，
∴△AOH为等边三角形，
∴AO＝AH＝OH＝2，
∴AEOE＝AE+GE＝EH+GE．
当G，E，H三点共线时，AEOE＝GH，此时最小，如图，
此时GH为等边三角形AOH的高，
∴OGOH，
GH3，
∴AEOE的最小值为：3；
（2）解：如图，当F落在负半轴时，由题意可得：∠BAF＝15°，∠BAC＝60°，
过F作FQ⊥AF交AC于Q，过Q作QT⊥OB于T，而∠FAQ＝45°，
∴AF＝FQ．∠QFC+∠AFO＝90°＝∠AFO+∠FAO，
∴∠QFT＝∠FAO，
而∠QTF＝∠AOF＝90°，
∴△QFT≌△FAO，
∴FT＝OA＝b，OF＝QT，
设F（m，0），
∴OF＝QT＝﹣m，OT＝﹣m﹣b，
∴Q（m+b，m），
∴c（m+b）+b＝m，
解得：m；
如图，当F落在正半轴时，由题意可得：∠BAF＝15°，∠BAC＝60°，
过F作FQ⊥AF交AC于Q，过Q作QT⊥OB于T，而∠FAQ＝45°，
同理可得：△QFT≌△FAO，
∴FT＝OA＝b，OF＝QT，
设F（m，0），
∴OF＝QT＝m，
∴OT＝b+m，
∴Q（m+b，m），
∴c（m+b）+b＝m，
解得：m，
∴F的横坐标为：m．
【点评】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，一次函数的几何应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键．
6．【概念学习】
对于平面直角坐标系xOy中的图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作d（T，W）．例如，如图①，点P（1，2）与x轴之间的“关联距离”d（P，x轴）＝2．
【理解概念】
（1）如图②，已知点P（1，2）在边长为3的正方形OABC内，则d（P，正方形OABC）＝ 1 ．
【深入探索】
（2）如图③，在等边△ABC中，点A的坐标是（0，3），点B，C在x轴上，点Q是y轴上一点，若d（Q，△ABC）＝1，求点Q的坐标．
【拓展延伸】
（3）已知D（m，﹣2），E（m+2，﹣4），当﹣5≤m≤2时，对于每一个m，若线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，则k的取值范围是 k且k≠0 ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】数形结合；分类讨论；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；应用意识．
【答案】（1）1；
（2）Q的坐标为（0，4）或（0，1）或（0，﹣1）；
（3）k且k≠0．
【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：d（P，正方形OABC）＝1；
（2）分三种情况画出图形：当Q在A上方时，Q的坐标是（0，4）；当Q在线段OA上时，过Q作QH⊥AC于H，可得AQ＝2QH＝2，Q（0，1）；当Q在BC下方时，Q（0，﹣1）；
（3）求出直线y＝kx﹣k过定点（1，0），当m＝﹣5时，D（﹣5，﹣2），E（﹣3，﹣4），当m＝2时，D'（2，﹣2），E'（4，﹣4），直线y＝kx﹣k过D（﹣5，﹣2）时﹣2＝﹣5k﹣k，k，把E'（4，﹣4）代入y＝kx﹣k得k，根据线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，可得直线y＝kx﹣k与平行四边形DEE'D'无公共点，画出图形可得答案．
【解答】解：（1）∵P（1，2）与边长为3的正方形OABC的边上的点的最小距离为1，
∴根据“关联距离”的定义得：d（P，正方形OABC）＝1，
故答案为：1；
（2）当Q在A上方时，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴AQ＝1，
∵A的坐标是（0，3），
∴Q的坐标是（0，4）；
当Q在线段OA上时，过Q作QH⊥AC于H，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴QH＝1，
∵△ABC是等边三角形，OA⊥BC，
∴∠QAH＝30°，
∴AQ＝2QH＝2，
∵A的坐标是（0，3），
∴OQ＝1，
∴Q（0，1）；
当Q在BC下方时，如图：
∵d（Q，△ABC）＝1，
∴OQ＝1，
∴Q（0，﹣1）；
综上所述，Q的坐标为（0，4）或（0，1）或（0，﹣1）；
（3）如图：
当x＝1时，y＝k×1﹣k＝0，
∴直线y＝kx﹣k过定点（1，0），
当m＝﹣5时，D（﹣5，﹣2），E（﹣3，﹣4），
当m＝2时，D'（2，﹣2），E'（4，﹣4），
把D（﹣5，﹣2）代入y＝kx﹣k得：﹣2＝﹣5k﹣k，
解得k，
把E'（4，﹣4）代入y＝kx﹣k得：﹣4＝4k﹣k，
解得k，
∵线段DE和一次函数y＝kx﹣k（k是常数，k≠0）的图象之间的“关联距离”d（DE，直线y＝kx﹣k）＞0，
∴直线y＝kx﹣k与平行四边形DEE'D'无公共点，
由图可知，此时k且k≠0．
故答案为：k且k≠0．
【点评】本题考查一英寸函数的综合应用，涉及新定义，等边三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．
7．在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为．
（1）如图1，连接PA，将△AOP沿直线AP折叠，点O的对应点点C恰好落在AB上，则a＝ ；
（2）如图2，取线段AB的中点E，连接PE，过点E作EQ⊥EP，交x轴于点Q．将△BPE沿EP所在直线折叠，点B的对应点记作点D，连接PD、QD．
①猜想∠PDQ的度数，并证明；
②求证：S四边形PDQE；
（3）连接OD，请直接写出直线OD的解析式（用含有a的代数式表示）．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）①猜想∠PDE＝90°；理由见解答过程；
②证明见解答过程；
（3）直线OD解析式为yx．
【分析】（1）求出直线与两坐标轴的交点，易得△OAB是等腰直角三角形，由折叠的性质可得△PBC是等腰直角三角形，进而得CB＝PC＝OP＝a，则由勾股定理建立方程即可求得a的值；
（2）①由折叠性质得∠PDE＝∠OBA＝45°，∠BEP＝∠DEP，BE＝DE；由EQ⊥EP则可得∠AEQ＝∠DEQ；由E是中点，则得DE＝AE，从而可证△AEQ≌△DEQ，则∠EDQ＝∠OAB＝45°，最后可得∠PDQ＝90°；
②连接OE，证明△BPE≌△OQE，则这两个三角形面积相等，从而可求证；
（3）过点D作y轴的垂线，垂足为H，证明△POD≌△QDO，则其面积相等，设D（m，n），由面积关系求得m与n的关系，再设OD解析式，即可求得解析式．
【解答】（1）解：在AB：y＝﹣x+1中，令y＝0，得x＝1；令x＝0，得y＝1；
∴A（1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，
∵OA⊥OB
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°；
由折叠的性质：OP＝PC，∠PCA＝∠PCB＝∠AOB＝90°，
∴∠CPB＝∠OBA＝45°，
∴△PBC是等腰直角三角形，
∴CB＝PC＝OP＝a；
在Rt△BPC中，由勾股定理得：（1﹣a）2＝2a2，
解得：或（不合题意，舍去），
故答案为：；
（2）①解：猜想∠PDE＝90°；理由如下：
由折叠性质得∠PDE＝∠OBA＝45°，∠BEP＝∠DEP，BE＝DE；
∵EQ⊥EP，
∴∠DEP+∠QED＝90°，∠BEP+∠AEQ＝90°，
∴∠AEQ＝∠DEQ；
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴DE＝AE，
∵EQ＝EQ，
∴△AEQ≌△DEQ（SAS），
∴∠EDQ＝∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠PDE+∠EDQ＝90°；
②证明：如图2，连接OE，
∵E是AB的中点，OA＝OB，
∴OE＝BE＝AEAB，∠EOQ＝∠BOE＝45°，OE⊥AB；
∴∠OBA＝∠EOQ＝45°，∠BEP+∠PEO＝90°；
∵EQ⊥EP，
∴∠PEO+∠OEQ＝90°，
∴∠BEP＝∠OEQ，
∴△BPE≌△OQE（ASA），
∴S△BPE＝S△OQE；
∵S四边形PDQE＝S△PDE+S△QDE
＝S△PBE+S△QEA
＝S△OQE+S△QEA
＝S△OEA
S△OAB
1×1
；
（3）解：如图3，过点D作y轴的垂线，垂足为H，
由折叠知，PD＝PB，由（2）△BPE≌△OQE知，PB＝OQ，
∴PD＝OQ＝PB，
∵OA＝OB＝1，
∴AQ＝OP，
∵△AEQ≌△DEQ，
∴AQ＝DQ，
∴AQ＝OP＝DQ，
∵OD＝OD，
∴△POD≌△QDO（SSS），
∴S△POD＝S△QDO；
设D（m，n），
则OQ•（﹣n）OP×m，即﹣（1﹣a）n＝am，
即nm；
设直线OD解析式为y＝kx，则mk＝n，
∴k，
∴直线OD解析式为yx．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求函数解析式等知识，证明三角形全等是解题的关键．
8．已知直线l1：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l2（图1），直线l2与y轴交于点C．
（1）求新函数的图象l2的解析式；
（2）在射线AC上一动点D（x，y），连接BD，试求△BAD的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）如图2，过点E（2，﹣6）画平行于y轴的直线EF，
①求证：△ABE是等腰直角三角形；
②将直线l1沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线l1与x轴交于点A1，与y轴交于点B1，在直线EF上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得△A1B1P是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）yx+2；
（2）S＝8﹣2x（x＜4）；
（3）①证明见解析过程；
②存在；满足条件的点P为P（2，2）或P（2，﹣2）或P（2，4）．
【分析】（1）求出A，B的坐标，根据对称性，求出C点坐标，待定系数法，求出l2的解析式即可；
（2）分点D在线段AC上和点D在线段AC的延长线上，两种情况进行讨论求解即可；
（3）①求出AB，AE，BE的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可；
②分点P，点B1，点A1分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可．
【解答】（1）解：∵yx﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝4，
∴A（4，0），B（0，﹣2），
∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象l2（图1），直线l2与y轴交于点C，
∴C与B关于x轴对称，l2过点A，
∴C（0，2），
设l2：y＝kx+2，将A（4，0），代入得：，
∴l2：yx+2；
（2）解：∵A（4，0），B（0，﹣2），C（0，2），
∴BC＝4，OA＝4，
∴S△ABC4×4＝8，
①当点D在线段AC上，如图1.1：即：0≤x＜4时，
S＝S△ABC﹣S△DBC＝84x＝8﹣2x；
②当点D在线段AC的延长线上，如图1.2，即：x＜0时，
S＝S△ABC+S△DBC＝84（﹣x）＝8﹣2x，
综上：S＝8﹣2x（x＜4）；
（3）①证明：∵A（4，0），B（0，﹣2），E（2，﹣6），
∴AB22，BE2，
∴AB＝BE，AB2+BE2＝40＝AE2，
∴△ABE是等腰直角三角形；
②存在，理由如下：
当点P为直角顶点时，设P（2，n），如图2：
由平移的性质，设直线A1B1的解析式为，
当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝﹣2b，
∴A1（﹣2b，0），B（0，b），
过点B1作B1G⊥EF，设EF交x轴于点H，
∵△A1B1P为等腰直角三角形，EF∥y轴，
∴∠A1PB1＝∠B1GP＝∠PHA1＝90°，PB1＝PA1，B1G＝2，
∴∠B1PG＝∠PA1H＝90°﹣∠APH，
∴△PA1H≌△B1PG（AAS），
∴PH＝B1G＝2，A1H＝PG，
∴|n|＝2，|b﹣n|＝|﹣2b﹣2|，
∴当n＝2时，b＝﹣4或b＝0，当n＝﹣2时，或b＝0；
∴P（2，2）或P（2，﹣2）；
当点B1为直角顶点时，如图3：
过点P作PH⊥y轴，则PH＝2，
同上法可得：△B1OA1≌△PHB1，
∴OB1＝PH＝2，B1H＝OA1，
∴B1（0，2）或B1（0，﹣2）（舍去）；
∴直线AB向上平移了4个单位，
∴直线A1B1的解析式为：，
∴当y＝0时，x＝﹣4，
∴A1（﹣4，0），
∴B1H＝OA1＝4，
∴OH＝2，
∴P（2，﹣2）；
当点A1为直角顶点时：此时A1在x轴正半轴上，B1在y轴负半轴上，
设平移后的解析式为：，
当x＝0时，y＝m，当y＝0时，x＝﹣2m，
∴A1（﹣2m，0），B（0，m），
当A1在EF的右侧时，如图4：
同法可得：△A1OB1≌△PHA1，
∴PH＝OA1＝﹣2m，A1H＝OB1＝﹣m，
∴OH＝﹣2m﹣（﹣m）＝2，
解得：m＝﹣2，
∴PH＝OA1＝4，
∴P（2，4）；
当A1在EF的左侧时，如图5：
同法可得：△A1OB1≌△PHA1，
∴PH＝OA1＝﹣2m，A1H＝OB1＝﹣m，
∴OH＝﹣2m﹣m＝2，
∴m，
∴PH＝OA1（不合题意，舍去）；
综上：P（2，2）或P（2，﹣2）或P（2，4）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，难度大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
9．预备知识：（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点P（3t，2﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将点P（3t，2﹣t）代入得：2﹣t＝k•3t+b，整理得（3k+1）t+b﹣2＝0．
∵t为任意实数，等式恒成立；
∴3k+1＝0，b﹣2＝0．
∴k，b＝2．
∴这条直线的函数表达式为yx+2．
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点P（2t，3﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，9），且∠BAC＝90°，AB＝AC，则点C的坐标为 （﹣7，3） ．
结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（1，0），Q是直线yx+2上的一个动点，连接PQ，过点P作PQ′⊥PQ，且PQ′＝PQ，连接OQ′，求线段OQ′的最小值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）yx+3；
（2）C（﹣7，3）；
（3）．
【分析】（1）仿照给出例题的步骤进行求解即可；
（2）作CD⊥x轴于D，作BE⊥x轴于E，证明△ACD≌△BAE，进而求得结果；
（3）作CP⊥OA，截取CP＝AP，连接CQ′，直线CQ′交OA于D，作OE⊥CD于E，△APQ≌△CPQ′，从而∠PCQ′＝∠BAO，从而确定点Q′在定直线上运动，进而Rt△PCD和Rt△ODE，进一步求得结果．
【解答】解：（1）设直线的函数表达式是：y＝kx+b，
将x＝2t，y＝3﹣t代入得，
3﹣t＝k•2t+b，
∴（2k+1）•t+（b﹣3）＝0，
∵t任何实数，等式恒成立，
∴2k+1＝0，b﹣3＝0，
∴k，b＝3，
∴直线的函数关系式是：y3；
（2）如图1，
作CD⊥x轴于D，作BE⊥x轴于E，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠BAE＝90°，
∴∠ACD＝∠BAE，
在△ACD和△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE（AAS），
∴AD＝BE，CD＝AE，
∵A（2，0），B（5，9），
∴AE＝3，BE＝9，
∴AD＝9，CD＝3，
∴OD＝AD﹣OA＝9﹣2＝7，
∴C（﹣7，3）；
故答案是（﹣7，3）．
（3）如图2，
作CP⊥OA，截取CP＝AP，连接CQ′，直线CQ′交OA于D，作OE⊥CD于E，
∴∠APC＝∠QPQ′＝90°，
∴∠APC﹣∠APQ′＝∠QPQ′﹣∠APQ′，
即：∠APQ＝∠CPQ′，
在△APQ和△CPQ′中，
，
∴△APQ≌△CPQ′（SAS），
∴∠PCQ′＝∠BAO，
由题意得：A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴tan∠BAO，
∴tan∠PCQ′，
∴点Q′在定直线CH上运动，
在Rt△PCD中，CP＝AP＝3，tan，
∴PD＝3，
∴OD＝OP+PD，
∵∠PCD+∠CPD＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∠PCD＝∠BAO，
∴∠PCD＝∠ABO，
在Rt△AOB中，
AB2，
∴sin∠ABO，
在△ODE中，OD，sin∠ODE＝sin∠ABO，
∴OE，
∴OQ′的最小值是．
【点评】本题考查了求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
10．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D．过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线y＝kx+6（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当k＝2时，在第二象限构造等腰直角△ABC，∠CAB＝90°；
①直接写出OA＝ 3 ，OB＝ 6 ；
②点C的坐标是 （﹣9，3） ；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB，并且BN＝AB，连接ON，问△OBN的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点B（6，4），过点B作AB⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P为线段BC上的一个动点，点Q（a，2a﹣4）位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①3，6；
②（﹣9，3）；
（2）△OBN的面积是定值，定值为18，理由见解析；
（3）2或．
【分析】（1）①若k＝2，则直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于A（﹣3，0），B（0，6）两点，即可求解；
②作CD⊥OA于D，则△ACD≌△BAO．由全等三角形的性质得CD＝OA＝3，AD＝OB＝6，即可求解；
（2）由点A随之在x轴负半轴上运动时，可知k＞0，过点N作NM⊥OB于M，则△BMN≌△AOB．由全等三角形的性质得MN＝OB＝3，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）过点Q作QE⊥OA于E，交BC于F，分两种情况：当点Q在AP下方时；当点Q在AP上方时，分别 求出a值即可．
【解答】解：（1）①若k＝2，则直线为y＝2x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴B（0，6），
当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝3，OB＝6；
②作CD⊥OA于D，如图2，
∴∠ADC＝∠AOB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠CAB＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，
∴∠ACD＝∠BAO，
∴△ACD≌△BAO（AAS），
∴CD＝OA＝3，AD＝OB＝6，
∴OD＝OA+AD＝3+6＝9，
∴点C的坐标为（﹣9，3）；
（2）当k变化时，△OBN的面积是定值，S△OBN＝18，
理由如下：
∵当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时，
∴k＞0，
过点N作NM⊥OB于M，如图3，
∴∠NMB＝∠AOB＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∵BN⊥AB，
∴∠ABN＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵BN＝BA，∠NMB＝∠AOB＝90°，
∴△BMN≌△AOB（AAS）．
∴MN＝OB＝6，
∴．
∴k变化时，△OBN的面积是定值，定值为18．
（3）能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形APQ，∠AQP＝90°，AQ＝PQ，
过点Q作QE⊥OA于E，交BC于F，
分两种情况：当点Q在AP下方时，如图4，
∵BC⊥x，QE⊥OA，
∴EF⊥BC，
由“k型全等”可得△AEQ≌△QFP，
∴AE＝QF，
∵B（6，4），Q（a，2a﹣4），
∴AE＝4﹣（2a﹣4）＝8﹣2a，QF＝6﹣a，
∴8﹣2a＝6﹣a
解得：a＝2；
当点Q在AP上方时，如图5，
同理得：△AEQ≌△QFP，
∴AE＝QF，
∵B（6，4），Q（a，2a﹣4），
∴AE＝（2a﹣4）﹣4＝2a﹣8，QF＝6﹣a，
∴2a﹣8＝6﹣a
解得：；
综上，当a＝2或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，一次函数图象性质，坐标与图形，掌握“k型全等”模型是解题的关键．
11．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．
（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；
（2）连接BE，求△DBE的面积；
（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据一次函数y＝﹣x+4，求得A（0，4），B（4，0），依据D是AB的中点，可得D（2，2），运用待定系数法即可得到直线CD的函数表达式；
（2）先求得C（﹣2，0），BC＝2＝4＝6，再根据△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积，进行计算即可；
（3）在四个象限内分别找到点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等．
【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝4，
∴A（0，4），B（4，0），
∵D是AB的中点，
∴D（2，2），
设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，则
，解得，
∴直线CD的函数表达式为yx+1；
（2）yx+1，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝2＝4＝6，
∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积6×（4﹣2）＝6；
（3）如图所示，当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）；
当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；
当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；
当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
12．如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA．
（1）求B点坐标为 （0，4） ；线段OA的长为 3 ；
（2）确定直线CD解析式，求出点D坐标；
（3）如图2，点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON⊥OM交AB于点N，连接MN．
①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，直接写出结论；
②当△OMN面积最小时，求点M的坐标和△OMN面积．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（0，4），3；
（2）直线CE的解析式为yx+3，D的坐标为（，）；
（3）①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，证明见解答过程；
②当△OMN面积最小时，点M的坐标是（，）和△OMN面积是．
【分析】（1）根据直线yx+4交坐标轴于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，可以求得点B的坐标和OA的长；
（2）根据△COE≌△BOA，可以得到OE＝OA，再根据点A的坐标可以的大点E的坐标即可求得直线CE的解析式，然后与直线yx+4联立方程组，即可求得点D的坐标；
（3）①根据题目中的条件，可以证明△OME≌△ONA，即可得到OM和ON的数量关系；
②要求△OMN面积最小值，由OM＝ON，OM⊥ON，可知当OM取得最小值时即可，当OM⊥CE时，OM取得最小值，然后根据勾股定理和等积法可以求得OM的长，即可求得点M的坐标，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵直线yx+4交坐标轴于A、B两点，
∴当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝4，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），
∴OA＝3；
故答案为：（0，4），3；
（2）∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E．且△COE≌△BOA（已知），
∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA，
∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∴OE＝3，
∴点E的坐标为（0，3），
设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得，
∴直线CE的解析式为yx+3，
即直线CD的解析式为yx+3，
由，得，
即点D的坐标为（，）；
（3）①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，
证明：∵△COE≌△BOA，
∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，
∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，
∴∠MON＝∠BOA＝90°，
∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，
∴∠MOE＝∠NOA，
在△MOE和△NOA中，
，
∴△MOE≌△NOA（ASA），
∴OM＝ON，
即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；
②由①知OM＝ON，
∵OM⊥ON，
∴△OMN面积是：，
∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，
∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°，
∴CE＝5，
∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，
∴，
∴，
解得，OM，
∴△OMN面积取得最小值是：，
当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为（a，a+3），
∴a2+（a+3）2＝（）2
解得，a，
∴a+3，
∴点M的坐标为（，），
由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是（，）和△OMN面积是．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
13．如图，直线l1：y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C坐标为 （﹣5，﹣2），连接AC，BC，点D是线段AB上的一动点，直线l2过C，D两点．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点D的横坐标为1，直线l2上是否存在点E，使点E到直线l1的距离为，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）将△BCD沿直线CD翻折，点B的对应点为M，若△ADM为直角三角形，求线段BD的长．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）S△ABC＝15；
（2）存在，点E的坐标为（，）或；
（3）BD的长为或．
【分析】（1）利用勾股定理判断出△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，再求面积即可；
（2）先求出直线l2的解析式为，再分两种情况讨论：①当E点的横坐标小于1时，直线EF∥直线l1，直线EF的解析式为y＝﹣x﹣3，直线EF与直线直线l1的交点为E1点坐标为；②当E点的横坐标大于1时，E与E关于点D对称，E2的坐标为（，）；
（3）分两种情况讨论：①当∠DMA＝90°时，先确定C、M、A三点共线，设BD＝a，AD＝3a，由a2+（25）2＝（3a）2，求出BD；②当∠DAM＝90°时，过点M作MQ⊥BC交于Q点，设BD＝a，AD＝3a，由a2＝（3a）2+（）2，求出BD；
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝﹣x+3，得x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
把x＝0代入y＝﹣x+3，得y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣5，﹣2），
∴AB，AC，BC，
∵AB2+BC2＝68，AC2＝68，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
∴；
（2）存在点E，使得点E到直线l1的距离为，
把x＝1代入y＝﹣x+3，得y＝2，
∴点D的坐标为（1，2），
设直线l2：y＝kx+b，代入D（1，2），C（﹣5，﹣2），
得，解得，
∴直线l2的解析式为，
①当E点的横坐标小于1时，直线EF∥直线l1，
∴直线EF的解析式为y＝﹣x﹣3，
当﹣x﹣3x时，解得x，
∴E1点坐标为；
②当E点的横坐标大于1时，E与E关于点D对称，
∴E2的坐标为（，）；
综上所述：点E的坐标为（，）或；
（3）①当∠DMA＝90°时，
∵∠CMD＝90°，
∴∠DMA+∠CMD＝180°，
∴C、M、A三点共线，
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣5，﹣2），
∴BC＝5，AB＝3，AC＝2，
设BD＝a，AD＝3a，
∵CM＝5，
∴AM＝25，
∴a2+（25）2＝（3a）2，
解得a，
即BD；
②当∠DAM＝90°时，过点M作MQ⊥BC交于Q点，
∵∠CBD＝90°，
∴AM∥BC，
∴AM＝AB＝3，
∵CM＝5，
∴CQ＝4，
∴AM＝BQ，
设BD＝a，AD＝3a，
∴a2＝（3a）2+（）2，
解得a，
即BD；
综上所述：BD的长为或．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理及逆定理的应用，直角三角形的性质是解题的关键．
14．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，作该图象在直线x＝m的右侧部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原图象在直线x＝m的右侧部分及与直线x＝m的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“V型函数”．例如：图1就是一次函数y＝x+2关于直线x＝﹣1的“V型函数”图象．
（1）请在图2中画出函数y＝x+2关于直线x＝0的“V型函数”图象．
（2）若函数y＝x+10关于直线x＝m的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，则m＝ ﹣10 ．
（3）如图3，点C（﹣12，0），以OC为斜边在x轴上方作等腰Rt△OCB，当函数y＝x+10关于直线x＝m的“V型函数”图象与△OCB的边只有两个交点时，求m的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）﹣10；
（3）﹣10＜m＜﹣5或m＜﹣11．
【分析】（1）根据题意作出图象即可；
（2）求得直线y＝x+10与x轴的交点坐标即可求解；
（3）分两种情况求解，直线y＝x+10在OC、OB，以及“V型函数”图象在直线y＝x+10与x轴的交点的左侧，据此求解即可．
【解答】解：（1）函数y＝x+2关于直线x＝0的“V型函数”图象如图1所示，
；
（2）令y＝0，则0＝x+10，
解得x＝﹣10，
∵函数y＝x+10关于直线x＝m的“V型函数”图象与x轴只有一个交点，
∴m＝﹣10，
故答案为：﹣10；
（3）在等腰Rt△OCB中，点C（﹣12，0），
∴OC＝12，
∴点B（﹣6，6），
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，
解方程x+10＝﹣x得x＝﹣5，
由（2）知直线y＝x+10与x轴的交点为（﹣10，0），
当﹣10＜m＜﹣5时，函数y＝x+10关于直线x＝m的“V型函数”图象与△OCB的边只有两个交点，如图2，
∵直线y＝x+10与△OCB的边已经有两个交点，
∴函数y＝x+10关于直线x＝m的“V型函数”图象与△OCB的边不能再有交点，即在点C（﹣12，0）的左侧，
；
∴C（﹣12，0）与点（﹣10，0）关于x＝m对称，
∴m＝﹣11时，函数y＝x+10关于直线x＝m的“V型函数”图象经过点C（﹣12，0），
∴当函数y＝x+10关于直线x＝m的“V型函数”图象与△OCB的边只有两个交点时，m的取值范围为﹣10＜m＜﹣5或m＜﹣11．
【点评】本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“V型函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
15．【定义】如图1，在同一平面内，点P，Q在线段MN所在直线的两侧，若MP＝NQ，且∠PMN＝∠QNM＝90°，则称点P与Q是线段MN的等垂对称点．
【理解】
（1）如图2，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F均在格点上，连接AB，则下列各组点是线段AB的等垂对称点的是 ②③ ；（填序号）
①点C与点D；
②点C与点F；
③点D与点E；
④点E与点F．
（2）如图3，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，点B与D是线段AE的等垂对称点，
①求证：AD∥BC；
②若DE平分∠ADC，试探究∠BCD与∠B之间的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图4，已知直线y＝x+4与坐标轴交于点A，B，直线y＝x﹣2与坐标轴交于点C，D，当点A，B，C，D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF∥AB时，请直接写出线段EF的长．
【考点】一次函数综合题．
【专题】几何综合题．
【答案】（1）②③；
（2）①如解答所示；
②2∠B+∠BCD＝180°；
（3）线段EF的长为．
【分析】（1）由等垂对称点定义即可判断；
（2）①证明△ABE≌△EDA，通过平行线的判定证明平行；
②通过平行的性质得∠ADC+∠BCD＝180°，利用角平分线的定义得∠ADC＝2∠ADE，由全等三角形的性质证明∠B＝∠ADE从而得到结论；
（3）分点A，C是线段EF的等垂对称点，点A，D是线段EF的等垂对称点，点B，D是线段EF的等垂对称点，点B，C是线段EF的等垂对称点四种情况讨论，通过全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质得到EF的长度．
【解答】解：（1）连接AC，BF，
根据等垂对称点得定义，易得AC＝BF，且∠CAB＝∠FBA＝90°，
∴点C和点F是线段AB的等垂对称点，
连接AE，BD，
根据等垂对称点得定义，易得AE＝BD，且∠EAB＝∠DBA＝90°，
∴点D和点E是线段AB的等垂对称点，
故答案为：②点C与点F；③点D与点E；
（2）①∵点B与D是线段AE的等垂对称点，
∴AB＝DE，∠BAE＝∠DEA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△EDA（SAS），
∴∠BEA＝∠DAE，
∴AD∥BC；
②2∠B+∠BCD＝180°，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∴2∠ADE+∠BCD＝180°，
∵△ABE≌△EDA，
∴∠B＝∠ADE，
∴2∠B+∠BCD＝180°；
（3）由直线y＝x+4和直线y＝x﹣2，可得A（0，4），B（﹣4，0），C（0，﹣2），D（2，0），
①若点A，C是线段EF的等垂对称点，过AC中点G作直线平行于AB，分别过点A、C作AE、CF垂直于该直线，垂足为E、F，
∵点G是AC的中点，
∴点G的坐标为（0，1）
∴AG＝3，
∵A（0，4），B（﹣4，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵AB∥EF，AE⊥EF，
∴∠BAE＝90°，
∴∠GAE＝45°，
∴△GAE是等腰直角三角形，
∵AG＝3，
∴GE，
∵点A，C是线段EF的等垂对称点，
∴AE＝CF，∠AEG＝∠CFG＝90°，
∵∠AGE＝∠CGF，
∴△AGE≌△CGF（AAS），
∴GE＝GF，
∴EF；
②若点A，D是线段EF的等垂对称点，过AD中点G作直线平行于AB，分别过点A、B作AE、CF垂直于该直线，垂足为E、F，
∵点G是AD的中点，
∴点G的坐标为（1，2），
∵EF∥AB，
∴直线EF的解析式为y＝x+1，
∴直线EF于x轴的交点H的坐标为（﹣1，0），
∵G（1，2），
∴GH，
同理易证△DFH是等腰直角三角形，
∵DH＝3，
∴FH，
∴GF，
同理易证△DGF≌△AGE，
∴GE＝GF，
∴EF；
③若点B，D是线段EF的等垂对称点，过BD中点G作直线平行于AB，分别过点B、D作DE、BF垂直于该直线，垂足为E、F，
∵点G是BD中点，
∴点G的坐标为（﹣1，0），
∴GD＝3，
易证△DEG是等腰直角三角形，
∴GE，
易证△BGF≌△DGE，
∴GE＝GF，
∴EF；
④若点B，C是线段EF的等垂对称点，过BC中点G作直线平行于AB，分别过点B、C作CE、BF垂直于该直线，垂足为E、F，
同②得GE，
易证△BGF≌△CGE，
∴GE＝GF，
∴EF；
综上所述，线段EF的长为．
【点评】本题考查新定义的概念，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，本题的关键是利用分类讨论思想画出图从而根据全等三角形的判定和性质解题．
考点卡片
1．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/10 14:10:56；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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