2024年中考数学复习训练---第5天 二次函数

这是一份2024年中考数学复习训练---第5天 二次函数，共59页。试卷主要包含了已知二次函数，下列说法正确的是，二次函数图象的顶点所在的象限是等内容，欢迎下载使用。

eq \\ac(◇,以) eq \\ac(◇,练) eq \\ac(◇,带) eq \\ac(◇,学)
真题回顾
1．（2023•阜新）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是
A．B．
C．D．点在函数图象上
2．（2023•岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数，为常数，总有两个不同的倍值点，则的取值范围是
A．B．C．D．
3．（2023•邵阳）已知，，，是抛物线是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则，其中，正确结论的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为
A．B．C．D．
5．（2023•宁波）已知二次函数，下列说法正确的是
A．点在该函数的图象上
B．当且时，
C．该函数的图象与轴一定有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
6．（2023•凉山州）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是
A．B．
C．D．为实数）
7．（2023•沈阳）二次函数图象的顶点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2023•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：
①；
②；
③；
④若，为方程的两个根，则；
其中正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
9．（2023•湖州）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点坐标为，图象的顶点为．矩形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为．
（1）求的值及顶点的坐标．
（2）如图2，将矩形沿轴正方向平移个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点，，连接，过点作于点．
①当时，求的长；
②当点与点不重合时，是否存在这样的，使得的面积为1？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
10．（2023•金昌）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
区域模拟
1．（2024•津市市一模）将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为
A．B．C．D．
2．（2024•秦都区一模）已知抛物线，抛物线与关于直线轴对称，两抛物线的顶点相距5，则的值为
A．B．C．或D．或
3．（2024•鞍山模拟）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．下列叙述正确的是
A．小球的飞行高度不能达到
B．小球的飞行高度可以达到
C．小球从飞出到落地要用时
D．小球飞出时的飞行高度为
4．（2024•灞桥区校级一模）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：
若点，，都在该函数图象上，则和的大小关系是
A．B．C．D．
5．（2024•市北区一模）已知：平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的有
（1）；（2）；（3）将抛物线向左平移1个单位时，它会过原点；（4）直线不过第四象限．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2024•金平区校级一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为，对称轴是直线．下列结论中正确的个数是
①；
②；
③；
④若三点，，均在函数图象上，则；
⑤若，则是等边三角形．
A．2B．3C．4D．5
7．（2024•苏州一模）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是
A．2B．3C．4D．5
二．解答题（共3小题）
8．（2024•雁塔区校级模拟）如图①：是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图②：所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点处），石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙，已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，；
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的表达式；
（2）请判断石块能否飞越城墙，并说明理由．
9．（2024•金平区校级一模）如图，二次函数交轴于点和交轴于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，在第一象限有一点，到点距离为2，线段与的夹角为，且，连接，求的长度；
（3）对称轴交抛物线于点，交交于点，在对称轴的右侧有一动直线垂直于轴，交线段于点，交抛物线手点，动直线在沿轴正方向移动到点的过程中，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．（2024•新沂市模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．
（1） ， ；
（2）在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考前押题
1．已知抛物线不经过第三象限，与轴交于，两点，其顶点．这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为，若四边形是正方形，则的值为
A．B．C．D．
2．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象有下列结论：①且；②；③关于的一元二次方程的两根分别为和1；④若点，，均在二次函数图象上，则，其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过，且有最小值，则该二次函数的图象与轴交点的个数为
A．0个B．1个C．2个D．不确定
4．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④．其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．要得到抛物线，可以将抛物线
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
6．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，二次函数的最小值为，最大值为4，则的取值范围是
A．B．C．D．
7．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论个数为
A．1B．2C．3D．4
8．小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；
（3）若小明在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．
9．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）且，抛物线与轴交于点，点为第二象限抛物线上一点，且点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若是轴上一动点，当值最小时，求点的坐标．
（3）点为抛物线上一动点，且横坐标为，过点作轴交直线于点，过点作轴，交抛物线于点，求的最大值．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，，，其中，且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求面积的最大值；
（3）当时，是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
真题回顾
1．【答案】
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，、、的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与0的关系；由抛物线与轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标．
【解答】解：：由二次函数的图形可知：，，，所以．故错误．
：因为二次函数的对称轴是直线，则，即．故正确．
：因为抛物线与轴有两个交点，所以，即．故错误．
：因为抛物线与轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与轴的另一个交点的坐标为．故错误．
故选：．
2．【答案】
【分析】将代入二次函数，得，是关于的二次方程．若它总有两个不同的实根，必有△．是关于的一元二次方程，其图象开口向上，若它恒大于0，则与轴无交点，故有△，解此一元二次不等式即可．
【解答】解：将代入二次函数，得，整理得．
是关于的一元二次方程，总有两个不同的实根，
△．
令
，
△，
即△，解得．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
①正确；
当时，，则点在抛物线上，
②正确；
当时，，则；
当时，，则；
③错误；
当，则，
④错误；
故正确的有2个，
故选：．
4．【答案】
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，即．
故选：．
5．【答案】
【分析】将点代入抛物线的解析式即可对选项进行判断；将代入抛物线的解析式求出顶点坐标为，据此可对选项进行判断；令，则，然后判断该方程判别式的符号即可对选项进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据得，据此可对选项进行判断．
【解答】解：①对于，当时，
，
，
点不在该函数的图象上，
故选项不正确；
②当时，抛物线的解析式为：，
抛物线的顶点坐标为，
即当时，，
故得选项不正确；
③令，则，
△，
该函数的图象与轴一定有交点，
故选项正确；
④该抛物线的对称轴为直线：，
又，
，
该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，
故选项不正确．
故选：．
6．【答案】
【分析】由抛物线开口向上知，由抛物线的对称轴为直线，知，，由抛物线与轴交于负半轴，知，可判断错误；由在第一象限，知在第二象限，判断错误；由，，可得，判断正确；由，可判断错误．
【解答】解：由抛物线开口向上知，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，且，
抛物线上的点与关于对称轴对称，
由图可知，在第一象限，
在第二象限，
，故错误，不符合题意；
时，
，
，
，
，故正确，符合题意；
，
，
，，
，
，故错误，不符合题意；
故选：．
7．【答案】
【分析】首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．
【解答】解：，
顶点坐标为，
顶点在第二象限．
故选：．
8．【答案】
【分析】根据抛物线的对称轴为直线，可得，，判断①错误；由图象可得，，，知，判断②错误；而时，知时，，即，可得，，判断③正确；由，，可得，判断④正确．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故①错误；
抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，，
，故②错误；
抛物线的对称轴为直线，时，
时，，即，
，
，故③正确；
若，为方程的两个根，由函数图象与轴交点可知，，
，故④正确，
正确的有：③④，共2个，
故选：．
9．【答案】（1），顶点的坐标是．
（2）①．
②存在，使得的面积为1，此时的值为或．
【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求得的值，再利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式或运用顶点公式即可求得答案；
（2）①当时，，的坐标分别是，．进而可求得点、的纵坐标，利用，即可求得答案；
②根据题意，得：，，，分两种情况：当点在点的上方时，当点在点的下方时，分别求得的值即可．
【解答】解 （1）二次函数的图象与轴的交点坐标为，
，
，
顶点的坐标是．
（2）①如图1，在轴上，的坐标为，
点的坐标是．
当时，，的坐标分别是，．
当时，，即点的纵坐标是2．
当时，，即点的纵坐标是1．
，
点的纵坐标是1，
．
②存在．理由如下：
的面积为1，，
．
根据题意，得：，，
，
如图2，当点在点的上方时，
，
此时（在的范围内）．
如图3，当点在点的下方时，
，
此时（在的范围内）．
综上所述，存在，使得的面积为1，此时的值为或．
10．
【分析】（1）利用待定系数法将点坐标代入抛物线中，即可求解．
（2）作辅助线，根据题意，求出的长，，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
（3）作出图，证明，的最小值为，根据勾股定理求出即可解答．
【解答】解：（1）抛物线过点，
，
，
．
答：抛物线的表达式为．
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
如图1，作交轴于点，连接、，
点在上，
，，
连接，
，
．
，
，
，
当时，，
，
，
，
，
轴，轴，
，
四边形是平行四边形．
（3）如图2，由题意得，，连接，
在上方作，使得，，
，，
，
，
，，，
，
，
（当，，三点共线时最短），
的最小值为，
，
，
即的最小值为．
答：的最小值为．
区域模拟
1．【答案】
【分析】根据平移原则：上加，下减，左加，右减写出解析式．
【解答】解：根据题意可得解析式为：．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据抛物线可以求得抛物线的顶点，，根据轴对称的性质得到抛物线的顶点为，．由题意知，解方程即可求得．
【解答】解：抛物线，
抛物线的顶点，，
抛物线与关于直线轴对称，
抛物线的顶点为，．
两抛物线的顶点相距5，
，
解得或，
故选：．
3．【答案】
【分析】直接利用以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【解答】解：、当时，，
解得：，，
故小球的飞行高度能达到，故此选项错误；
、，
故时，小球的飞行高度最大为：，故此选项错误；
、时，，
解得：，，
小球从飞出到落地要用时，故此选项正确；
、当时，，
故小球飞出时的飞行高度为，故此选项错误；
故选：．
4．【答案】
【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．
【解答】解：时，；时，，
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上，
点，，在抛物线上，
，
，
，
故选：．
5．【答案】
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则时，，即，于是可对（1）进行判断；
根据抛物线与轴有2个交点得到，利用抛物线的对称轴为直线，则，于是可对（2）进行判断；
根据抛物线与轴的一个交点为，则可对（3）进行判断；
根据，，则可对（4）进行判断．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线，且图象经过点，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
时，，即，故正确；
（2）抛物线与轴有2个交点，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，故正确；
（3）抛物线与轴的交点为、，
将抛物线向左平移1个单位时，它会过原点；故正确；
（4）抛物线开口向上，
，
抛物线与轴的交点为、，
抛物线与轴的交点在轴的下方，
，
，
直线经过第一、二、三象限，不过第四象限，故正确．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断①；根据图象与轴的解得即可判断②；与对称轴得出，进而得出，令，解方程求得较小的一个根为，解不等式即可判断③；由各点到对称轴的距离即可判断④；当时，抛物线的解析式为，求得，再求得与轴的交点，即可判断⑤．
【解答】解：图象的开口向下，
，
图象与轴的交点为，
，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
①符合题意，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
，
②不符合题意，
由题意得：，
当时，较小的一个根为，
，
解得，
③不合题意，
点，，中，到对称轴直线距离最大的是，到在对称轴上，
；
④不合题意，
当时，抛物线的解析式为，
，
取，得，
解得，，
，，，，
，
是等边三角形，
⑤符合题意，
符合题意的有①⑤，
故选：．
7．【答案】
【分析】利用图象的信息与已知条件求得，的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：抛物线的开口方向向下，
．
抛物线的对称轴为直线，
，
，．
，，
，
①的结论正确；
抛物线经过点，
，
，
．
，
②的结论正确；
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线对称的对称点为，
，
当时，随的增大而减小．
，
．
③的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，
抛物线一定经过点，
抛物线与轴的交点的横坐标为，1，
方程的两根为，，
④的结论正确；
直线经过点，
，
．
，
，
，
．
函数
，
，
当时，函数有最大值，
⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：．
二．解答题（共3小题）
8．【答案】（1）；
（2）石块不能飞越城墙，理由见解析．
【分析】（1）根据可得点，根据抛物线的顶点坐标，设表达式为，代入点的坐标求解即可；
（2）先求出的长度，再求出，最后求出当时的函数值，于的长度进行比较即可．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的表达式为：，
将点代入得：，解得：，
石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：．
（2）当时，，
当到城墙时，石块高度为，，
，
石块不能飞越城墙．
9．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）把和代入抛物线解析式得出二元一次方程组，解方程组得出、的值，即可得出二次函数的解析式；
（2）证明，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）由平行线的性质得出，当时，，则，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）二次函数交轴于点和，
把、代入，得：，
解得：，
二次函数的表达式为：；
（2）二次函数交交轴于点，
对于，当，则，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
在和中，
，，
，
，
，
；
（3）存在，如图：
，
点，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
所在直线的表达式为：，
将代入得：，
点，
由题意得：，
，
与有共同的顶点，且在的内部，
，
只有时，，
，
、，
，
设点为，则为，
，
，，
，
解得：，
当，时，，
点的坐标为：．
10．【答案】（1）1，；
（2）或；
（3）存在，点的坐标为：，或．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）当，
由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：，则直线，即可求解；当时，则点、关于抛物线的对称轴对称，即可求解；
（3）由，得到，则，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，
则，
则，
故抛物线的表达式为：，
即，，
故答案为：1，；
（2）由抛物线的表达式知，点，
点、的坐标的得，直线的表达式知：，
当，
由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：，
则直线的表达式为：，
则直线，
即当点和抛物线的顶点重合时，是直角三角形，
即点；
当时，
则点、关于抛物线的对称轴对称，
则点；
综上，或；
（3）存在，理由：
设点，则点，点，
则，
由点、的坐标得，，
当以点、、、为顶点的四边形为菱形时，如下图，
则，
即，
解得：，
则，
则点的坐标为：，或．
考前押题
1．【答案】
【分析】依据题意，由抛物线不经过第三象限，又抛物线，从而，且、两点分别为，，故抛物线的对称轴是直线，再结合四边形是正方形，进而可得与相等且互相平分，则可得，代入计算可以得解．
【解答】解：由题意，抛物线不经过第三象限，
又抛物线，
，且、两点分别为，．
抛物线的对称轴是直线．
四边形是正方形，
与相等且互相平分．
，
．
．
将的坐标代入，
．
．
故选：．
2．【答案】
【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与轴的交点可判断①；由抛物线过点，即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得，由抛物线过点可判断⑤．
【解答】解：抛物线对称轴在轴的左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，①正确；
抛物线经过，
，②正确．
抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
另一个交点为，
关于的一元二次方程的两根分别为和1，③正确；
，抛物线开口向下，
，④错误．
抛物线与轴的一个交点坐标为，
，
，
，
，⑤错误．
故选：．
3．【答案】
【分析】由二次函数为常数）的图象经过，且有最小值，得，即或（舍，当时，，故该二次函数的图象与轴交点的个数为0．
【解答】解：由二次函数为常数）的图象经过，且有最小值，
得，即或（舍，
当时，，
故该二次函数的图象与轴交点的个数为0，
故选：．
4．【答案】
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴以及与轴的交点即可判断①；利用抛物线的对称轴即可判断②；由抛物线与轴的交点在的下方，即可判断③；由对称轴方程得到，由时，得到即，则，所以，则可判断③．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线交轴于负半轴，
，
，
，
，故①正确．
抛物线的对称轴是直线，
，
，故②正确．
抛物线与轴的交点在的下方，
抛物线与直线一定有两个交点，
关于的方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
，
，
时，，即，
，即，
而，
，
，故④正确．
故选：．
5．【答案】
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，
将抛物线向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据二次函数的图象上有且只有一个完美点可求出的值，再根据函数的解析式可求的取值范围．
【解答】解：二次函数的图象上有且只有一个完美点，
设完美点的坐标为，
方程即有两个相等的实数根，
△，
，
二次函数的解析式为：，
当时，函数有最大值为4，
又当时，函数最小值为，
令，
则或6，
要使函数最小值为，最大值为4，
则，
故选：．
7．【答案】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与轴轴的交点，综合判断即可．
【解答】解：①由抛物线的开口向上知，
对称轴位于轴的右侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，
故正确；
②对称轴为直线，得，即，
故错误；
③由图可知：当时，，
，
故正确；
④当时，，
，
即，
故错误．
综上所述，有2个结论正确．
故选：．
8．【答案】（1）抛物线的表达式为：；
（2）点坐标为；
（3）符合条件的的整数值为7，8．
【分析】（1）利用待定系数法即可得到抛物线的函数表达式；
（2）首先确定直线与轴的交点就是所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点的坐标即可解决问题；
（3）设接球点为点，点的坐标为，求出的范围，将点可能的两个端点坐标代入，求出的值即可解决问题．
【解答】解：（1）点在抛物线上，
，
，
抛物线的表达式为：；
（2）直线与轴的交点就是所求的点．
的顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为：，
直线与轴的交点从标为，
点坐标为；
（3）小明在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到球．
设接球点为点，点的坐标为，则．
把代入，
得：，
解得：，
把代入，
得：，
解得：，
，
符合条件的的整数值为7，8．
9．【答案】（1）；
（2）点的坐标为；
（3）．
【分析】（1）用待定系数法求出表达式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，求出直线的表达式，进而求出结论；
（3）先求直线解析式，设点坐标为，点坐标，表示出，再利用二次函数性质求最大值即可．
【解答】解：（1）把代入中，
，
得，
；
（2）在中，
当时：，
点的坐标为，
当时：，，
点的坐标为，
作点关于轴的对称点，
点坐标为，
点坐标为，
连接交轴于点，
此时最小，
设直线为，
解得：，
直线的表达式为
点的坐标为；
（3）如下图：
在中，
当时：，
点的坐标为，
设直线解析式为，则
解得，
直线表达式：，
设点坐标为，
点坐标，
，
和关于对称轴对称，对称轴为直线，
，
，
，
当时有最大值．
10．【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，或或．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由面积，即可求解；
（3）以、、为顶点的三角形与相似时，或3，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
，
则点、的坐标分别为：、；
则抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设交于点，
设点，则点，
则面积，
，故面积有最大值，
当时，面积最大值为：；
（3）存在，理由：
设点，则点，
在中，，
则以、、为顶点的三角形与相似时，
或3，
即或，
解得：（舍去）或14或或常识必背
1．二次函数的定义
一般地，形如（ QUOTE a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．
注意：二次项系数，而 QUOTE b，c可以为零．
2．二次函数的基本表现形式
①；②；③；
④；⑤．
3．二次函数的图象和性质
（1）二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
函数
y=a（x-h）2+k（a>0）
y=a（x-h）2+k（a h时，y随x的增大而增大；
x h时，y随x的增大而减小；
x0）
y=ax2+bx+c（a时，y随x的增大而增大；
x时，y随x的增大而减小；
x0）
平移后
y=a（x﹣h）²+k
向左平移m（m>0）个单位长度
y=a（x+m﹣h）²+k
向右平移m（m>0）个单位长度
y=a（x﹣m﹣h）²+k
向上平移m（m>0）个单位长度
y=a（x﹣h）²+k+m
向下平移m（m>0）个单位长度
y=a（x﹣h）²+k﹣m
平移前
平移方向（h>0，k>0）
平移后
y=ax²
向左平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度
y=a（x+h）²+k
向右平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度
y=a（x﹣h）²+k
向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度
y=a（x+h）²﹣k
向右平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度
y=a（x﹣h）²﹣k
易错易混
（1）上下平移
若原函数为
①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可．
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负．
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形．
注意：
（1）抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．
（2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式．
（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2+k的顶点是（0，k），y=a（x-h）2的顶点是（h，0），y=a（x-h）2+k的顶点是（h，k）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．
（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．
【上加下减，左加右减】
方法必知
1．二次函数图象与系数a，b，c的关系
二次项系数a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当时，抛物线开口向上
当时，抛物线开口向下
一次项系数b
决定对称轴的位置
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为对称轴为y轴）
常数项系数c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当时，抛物线与轴的交点在轴上方
当时，抛物线与轴的交点为坐标原点
当时，抛物线与轴的交点在轴下方
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点
b2－4ac