2024年中考数学复习探究性试题---三角形

这是一份2024年中考数学复习探究性试题---三角形，共73页。试卷主要包含了综合与实践等内容，欢迎下载使用。
1．如图1，在四边形ABFE中，∠F＝90°，点C为线段EF上一点，使得AC⊥BC，AC＝2BC＝4，此时BF＝CF，连接BE，BE⊥AE，且AE＝BE．
（1）求CE的长度；
（2）如图2，点D为线段AC上一动点（点D不与A，C重合），连接BD，以BD为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD．
①当DG∥AB时，试求AD的长度；
②如图3，点H为AB的中点，连接HG，试问HG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC且∠ACB＝90°，D为AB上一动点，连接CD，把CD绕点D旋转90°得到ED，连接CE；
（1）如图1，CE交AB于点Q，若BC=62，DQ＝5，求AQ的长；
（2）如图2，连接BE、AE，点F为BE中点，求证：AE＝2DF；
（3）如图3，连接BE，以BE为斜边在BE右侧作以点H为直角顶点的等腰Rt△HEB，点Q为BC上一点且CQ＝3BQ，点N为AB上一动点，把△BQN沿着QN翻折到△BQN的同一平面得△MQN，连接HM，若AC＝4，当HM取最小值时，请直接写出S△HMN的值．
3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线A→B→C→A运动；同时动点E以每秒2个单位长度的速度从C出发，沿折线C→A→B→C方向运动、当两点重合时停止运动，设运动的时间为t秒，记AD+AE的长度为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y≥4时t的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．
（1）画出对称中心E，并写出点E的坐标 ；
（2）画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）画出与△A1B1C1关于点O成中心对称的△A3B3C3；
（4）y轴上存在一点P，使△ACP周长最小，则点P坐标是 ．
5．已知，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，以AB为边向下作一个△ABD且∠ADB＝60°，连接CD．
（1）如图1，若DA⊥AB，当AB＝3时，求线段CD的长度；
（2）如图2，若点E是线段CD的中点，连接BE，猜想线段BD，AD，BE之间的数量关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，当7AE+CE取得最小值时，请直接写出sin∠CAE的值．
6．如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．
（1）探究：AF与BF的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出m的值．
7．综合与实践
【问题情境】
数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究．小智同学首先制作了一个正方形纸片ABCD，然后将等腰直角三角板AEF的锐角顶点和正方形的顶点A重合，当三角板AEF绕着正方形的顶点A顺时针旋转α（0≤α＜90°）时，直线AE，AF分别交射线DB，DC于点M，N，探究线段AM和AN的数量关系：
【特例猜想】
（1）如图1，小智发现，当三角板旋转到点N和点D重合时，线段AM和AN的数量关系为 ．
【数学思考】
（2）小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论：线段AM和AN的数量关系恒成立．小智的结论是否正确？若正确，请你仅就图2的情形进行证明；若不正确，请说明理由．
【拓展探究】
（3）在△AEF旋转过程中，当正方形ABCD的边长为6，△ABM的面积也为6时，请直接写出△ADN的面积．
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是斜边AB的中点．
（1）如图1，连接CD，求证：△ACD为等边三角形；
（2）如图2，E为边BC上的一动点，连接DE，以DE为边向左侧作等边三角形DEF，连接AF．随着点E位置的变化，∠DAF的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠DAF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在线段AF上，点Q在CB的延长线上，且AP＝BQ，连接PQ交AB于点M，过点P作PN⊥AB于点N，试探究线段MN与AC之间的数量关系，并说明理由．
9．（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，以BE为直角边，点E为直角顶点作等腰直角三角形EBD，连接CE并延长交AD于点F，则∠CFA的度数为 ，CEAD= ．
（2）如图2，在（1）的条件下，若点E为平面内任意一点，以BE为直角边，点E为直角顶点作等腰直角三角形EBD，连接CE并延长交直线AD于点F，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若CE＝2，请直接写出BD的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．
（1）求点B的坐标；
（2）点P为AC延长线上一点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d；
（3）在（2）的条件下，E为线段CQ上一点，连接OE、BP，当AP=56d时，若OE＝BP，求∠APB﹣∠OEB的度数．
11．已知，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上任意一点，点E在BC延长线上，连接DB，使得BD＝DE．
（1）如图1，求证：∠ABD＝∠EDC；
（2）若△ABC是等边三角形，求证：AD＝CE；
（3）在（2）的条件下，如图2，取BD的中点F，连接AE，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH＝2，求EH的长．
12．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．
（1）如图1，在△ABC中，AB=5，AD⊥BC，D为垂足，AD为△ABC的“妙分线”．若BD＝1，则CD长为 ；
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是CB延长线上一点，E为AB上一点，BE＝BD，连接CE并延长交AD于点F，BH平分∠ABC，分别交CF，AC于点G，H，连接AG．求证：AG是△AFC的“妙分线”；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝310．若AC为△BCD的“妙分线”，直接写出CD的长．
13．游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为Mi（i＝1、2……16），△AOB表示的是摩天轮的支架，且∠AOB＝60°．
（1）摩天轮每分钟转动 °，∠M1OM3＝ °；
（2）如图2，在某一时刻，连接点M1转动到∠AOB的内部，此时∠AOM1＝18°．
①求此时的∠BOM3的度数；
②求当OM3第一次平分∠AOB时，摩天轮的转动时间以及此时∠AOM1的度数；
③设摩天轮转动的时间为t，在连接点M1到达到最高处前，是否存在∠BOM3＝2∠AOM1的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
14．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长．
15．在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是边BC一点，连接AD，∠ABD的角平分线交AD于点E．
（1）如图1所示，∠BAD＝30°，若CD＝2，求边DE的长；
（2）如图2所示，点F为AC上一点，过点F作FO⊥AD于点O，若点O恰好平分线段AD，求证：CF＝BE+22CD；
（3）如图3所示，点P为边AC上一点，且满足AP＝BE，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接BQ，当BQ最短时，请直接写出S△ABQS△BED的值．
2024年中考数学复习探究性试题---三角形
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．如图1，在四边形ABFE中，∠F＝90°，点C为线段EF上一点，使得AC⊥BC，AC＝2BC＝4，此时BF＝CF，连接BE，BE⊥AE，且AE＝BE．
（1）求CE的长度；
（2）如图2，点D为线段AC上一动点（点D不与A，C重合），连接BD，以BD为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD．
①当DG∥AB时，试求AD的长度；
②如图3，点H为AB的中点，连接HG，试问HG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）①103；②HG存在最小值，最小值为322．
【分析】（1）取AB的中点为H，连接EH、HC，证明△BCF是等腰直角三角形，∠BCF＝45°，得BF＝CF=2，再证明△AEB是等腰直角三角形，得∠ABE＝45°，然后证明∠BAC＝∠BEF，即可解决问题；
（2）①过点D作DM⊥EF于点M，DK⊥AB于点K，证明△CMD是等腰直角三角形，得CD=2DM，再证明△DBC∽△GBF，得∠BCD＝∠BFG＝90°，CDFG=BDBG=2，进而证明△BKD是等腰直角三角形，得DK＝BK，然后证明DK=13AB，求出DK=253，即可解决问题；
②过点H作HP⊥EF于点P，连接EH，由①得点G在EF上运动，当G、P重合时，HG值最小，HP的长即为HG的最小值，设AC交BE于点N，即N与①中的D重合，由等腰直角三角形的性质得AE=10，再由锐角三角函数定义得sin∠ENA=31010，设∠BEF＝∠BAC＝α，则∠HEF＝α+45°，然后证明∠HEF＝∠EAN，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，取AB的中点为H，连接EH、HC，设AC交BE于点N，
∵AC＝2BC＝4，
∴BC＝2，
∵∠F＝90°，BF＝CF，
∴△BCF是等腰直角三角形，∠BCF＝45°，
∴BF＝CF=22BC=22×2=2，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵BE⊥AE，AE＝BE，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABN＝∠NCE，
∵∠ANB＝∠CNE，
∴∠BAC＝∠BEF，
∴tan∠BAC＝tan∠BEF，
∵tan∠BAC=BCAC=BC2BC=12，
∴tan∠BEF=BFEF=12，
∴EF＝2BF＝22，
∴CE＝EF﹣CF＝22-2=2；
（2）①如图2，过点D作DM⊥EF于点M，DK⊥AB于点K，
则∠DMG＝90°，
由（1）得：∠ACE＝45°，
∴△CMD是等腰直角三角形，
∴CD=2DM，
∵△BCF、△BGD都是等腰直角三角形，
∴DG＝BG，∠BGD＝90°，∠DBG＝∠CBF＝45°，BCBF=BDBG=2，
∴∠DBG﹣∠CBG＝∠CBF﹣∠CBG，
即∠DBC＝∠GBF，BDBC=BGBF，
∴△DBC∽△GBF，
∴∠BCD＝∠BFG＝90°，CDFG=BDBG=2，
∴CD=2FG，
∴DM＝FG，
∵∠BFE＝90°，
∴点G在EF上，
∵DG∥AB，∠BGD＝90°，
∴∠GBA＝90°，
∵∠ABE＝45°，∠DBG＝45°，
∴D在BE上，
∵tan∠BAC=12，
∴DKAK=12，
∴AK＝2DK，
∴AD=AK2+DK2=(2DK)2+DK2=5DK，
∵DK⊥AB，∠ABE＝45°，
∴△BKD是等腰直角三角形，
∴DK＝BK，
∵AK＝2DK，AB＝AK+BK，
∴DK=13AB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=42+22=25，
∴DK=13AB=13×25=253，
∴AD=5DK=5×253=103；
②HG存在最小值，理由如下：
如图3，过点H作HP⊥EF于点P，连接EH，
由①得：点G在EF上运动，
当G、P重合时，HG值最小，HP的长即为HG的最小值，
设AC交BE于点N，则N与①中的D重合，
由①得：AN=103，
∵△AEB是等腰直角三角形，
∴AE=22AB=22×25=10，
∵点H为AB的中点，
∴EH=12AB=12×25=5，∠BEH＝45°，
∴sin∠ENA=AEAN=10103=31010，
设∠BEF＝∠BAC＝α，则∠HEF＝α+45°，
∵∠EAN＝∠ABE+∠BAC＝45°+α，
∴∠HEF＝∠EAN，
在Rt△PEH中，PH＝EH•sin∠HEF＝EH•sin∠ETA=5×31010=322，
∴HG的最小值为322．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和锐角三角函数定义，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC且∠ACB＝90°，D为AB上一动点，连接CD，把CD绕点D旋转90°得到ED，连接CE；
（1）如图1，CE交AB于点Q，若BC=62，DQ＝5，求AQ的长；
（2）如图2，连接BE、AE，点F为BE中点，求证：AE＝2DF；
（3）如图3，连接BE，以BE为斜边在BE右侧作以点H为直角顶点的等腰Rt△HEB，点Q为BC上一点且CQ＝3BQ，点N为AB上一动点，把△BQN沿着QN翻折到△BQN的同一平面得△MQN，连接HM，若AC＝4，当HM取最小值时，请直接写出S△HMN的值．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）AQ＝3或4；
（2）见解析；
（3）322-74．
【分析】（1）将CQ绕点C顺时针旋转90°，得到CP，连接PB，PD，得出△ACQ≌△BCP，证明△QCD≌△PCD，在Rt△DBP中，勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（2）延长ED至G，使得DG＝ED，连接GC，GB，证明AE＝BG，DF是△EBG的中位线，即可得证；
（3）连接AE，过点C作CK⊥AB于点K，证明△ACE∽△KCD，过点B作BT⊥BC交AE的延长于点T，则E在直线AT上运动，证明△ABE∽△TBH，延长TH交CB的延长线于点S，则△TSB是等腰直角三角形，则H在ST上运动，把△BQN沿着QN翻折到△BQN的同一平面得△MQN，M在以Q为圆心，1为半径的⊙Q上运动，当HM取最小值时，H，Q，M三点共线，又H在直线ST上运动，当QH⊥TS时，HM取最小值，得出HMmin=H′Q-MQ=22QS-QM=522-1．过点Q作QH'⊥TS，设QH交AB于点R，证明QH⊥AB，得出RM=QM-QR=1-22，然后根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【解答】（1）解：如图所示，将CQ绕点C顺时针旋转90°，得到CP，连接PB，PD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACQ＝∠BCP，∠A＝∠ABC＝45°，
∴△ACQ≌△BCP（SAS），
∴AQ＝PB，∠A＝∠CBP＝45°，
∴∠DPB＝90°，
∴△DBP是直角三角形，
∵把CD绕点D旋转90°得到ED，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠QCD＝45°，∠ACQ+∠DCB＝∠DCB+∠BCP＝∠DCP＝45°＝∠QCD，
在△QCD和△PCD中，
QC=PC∠QCD=∠PCDCD=CD，
∴△QCD≌△PCD（SAS），
∴QD＝PD，
∵BC=62，DQ＝5，
∴AB=2BC=12，
设AQ＝x，则BD＝12﹣5﹣x＝7﹣x，
在Rt△DBP中，DP2＝DB2+PB2，
即52＝x2+（7﹣x）2，
解得：x1＝3，x2＝4，
∴AQ＝3或4；
（2）证明：如图所示，
延长ED至G，使得DG＝ED，连接GC，GB，
则△ECG是等腰直角三角形，则CG＝CE，
∵∠CDE＝90°，
∴∠DCG＝45°，
又∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠DCB＝∠BCG+∠DCB＝45°，
∴∠ACE＝∠BCG，
∴△AEC≌△BGC（SAS），
∴AE＝BG，
∵F是EB的中点，D是EG的中点，
∴DF=12BG=12AE，
即AE＝2DF；
（3）解：如图所示，连接AE，过点C作CK⊥AB于点K，
∵△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，
∴CKAC=DCAE=12，
又∵∠ACK﹣∠ECK＝∠ECD﹣∠ECK，
∴∠ACE＝∠KCD，
∴△ACE∽△KCD，
∴∠EAC＝∠DKC＝90°，
∴EA⊥AC，
∴EA∥BC，
过点B作BT⊥BC交AE的延长于点T，则E在直线AT上运动，
则四边形ACBT是正方形，
∴BT＝AC，△ABT是等腰直角三角形，
∵△EBH是等腰直角三角形，
∴ABTB=EBBH=2，
又∵∠ABE+∠EBT＝∠EBT+∠TBH＝45°，
∴∠ABE＝∠TBH，
∴△ABE∽△TBH，
∴∠EAB＝∠HTB＝45°，
∴TS∥AB，
延长TH交CB的延长线于点S，则△TSB是等腰直角三角形，
则H在ST上运动，
∴TB＝BS＝AC＝4，
∵CQ＝3BQ，AC＝4，
∴BC=AC=4，QB=14BC=1，
∴AQ＝QB+BS＝1+4＝5，
∵把△BQN沿着QN翻折到△BQN的同一平面得△MQN，
∴QM＝QB＝1，
∴M在以Q为圆心，1为半径的⊙Q上运动，
当HM取最小值时，H，Q，M三点共线，
又∵H在直线ST上运动，
∴当QH⊥TS时，HM取最小值，
∴HMmin=H′Q-MQ=22QS-QM=522-1．
如图所示，过点Q作QH'⊥TS，设QH交AB于点R，
∵TS∥AB，QH⊥TS，
∴QH⊥AB，
∴QR=22QB=22，
∴RM=QM-QR=1-22，
设RN＝a，则BN＝RB﹣a＝MN＝RQ﹣a，
在Rt△RMN中，RN2+RM2＝MN2，
即a2+(1-22)2=(22-a)2，
解得：a=1-22，
∴S△HMN=12RN×MH=12(1-22)×(522-1)=322-74．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，到圆上一点的最值问题，将动点问题固定下来，然后寻求线段之间的关系是解题的关键．
3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线A→B→C→A运动；同时动点E以每秒2个单位长度的速度从C出发，沿折线C→A→B→C方向运动、当两点重合时停止运动，设运动的时间为t秒，记AD+AE的长度为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y≥4时t的取值范围．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=6-t(0≤t≤3)y=3t-6(3＜t≤6)；
（2）图象见解析，该函数的其中一条性质：当0≤t≤3时，y随t的增大而减小；（答案不唯一，正确即可）；
（3）y≥4时，0≤t≤2或103≤t≤6．
【分析】（1）先计算出D、E两点重合的时间，再分两种情况讨论：当点D、E分别在AB、AC上运动时，即0≤t≤3；当点D、E都在AB上运动时，即3＜t≤6；写出不同时间的函数表达式即可；
（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；
（3）根据两段函数关系式分别求出当y＝4时的t值，再结合图象即可求解．
【解答】解：（1）D、E两点重合时，2t﹣t＝6，
解得：t＝6，
∴0≤t≤6，
当点D、E分别在AB、AC上运动时，即0≤t≤3，
AE＝AC﹣CE＝6﹣2t，AD＝t，
∴y＝t+6﹣2t＝6﹣t；
当点D、E都在AB上运动时，即3＜t≤6，
AE＝CE﹣AC＝2t﹣6，AD＝t，
∴y＝t+2t﹣6＝3t﹣6；
∴y关于t的函数关系式为：y=6-t(0≤t≤3)y=3t-6(3＜t≤6)；
（2）由（1）中的表达式可知：当t＝0时，y＝6；当t＝3时，y＝3；当t＝6时，y＝12；
分别描出三个点（0，6），（3，3），（6，12），然后依次连接，如图：
该函数的其中一条性质：当0≤t≤3时，y随t的增大而减小；（答案不唯一，正确即可）；
（3）在y＝6﹣t中，令y＝4，则4＝6﹣t，
解得：t＝2，
在y＝3t﹣6中，令y＝4，则4＝3t﹣6，
解得：t=103，
结合图象可知，y≥4时，0≤t≤2或103≤t≤6．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是数形结合，分类讨论．
4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．
（1）画出对称中心E，并写出点E的坐标 （﹣3，﹣1） ；
（2）画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）画出与△A1B1C1关于点O成中心对称的△A3B3C3；
（4）y轴上存在一点P，使△ACP周长最小，则点P坐标是 (0，45) ．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）作图见解答过程；（﹣3，﹣1）；
（2）作图见解析过程；
（3）作图见解析过程；
（4）(0，45)．
【分析】（1）连接AA1、BB1、CC1，它们的交点为E；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可；
（3）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A3、B3、C3的坐标，然后描点即可；
（4）若△ACP周长最小，即PA+PC最小，根据最短路径即可得到点P，根据相似三角形的判定和性质即可求得．
【解答】解：（1）如图1，点E为所作；点E坐标为（﹣3，﹣1）；
故答案为：（﹣3，﹣1）．
（2）如图2，△A2B2C2为所作；
（3）如图3，△A3B3C3为所作；
（4）如图4：作A关于y轴的对称点A′，连接A′C，与y轴交于点P，
根据坐标系各格点特征可知A′（3，2），C（﹣2，0），
设直线A′C的解析式为y＝kx+b，
将A′（3，2），C（﹣2，0）代入可得：
2=3k+b0=-2k+b，
解得：k=25b=45，
∴直线A′C的解析式为y=25x+45，
当x＝0时，y=45，
∴P(0，45)．
故答案为：(0，45)．
【点评】本题考查了画旋转图形，画对称图形，画两个图形的对称中心，求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，最短路径问题等，熟练掌握最短路径问题是解题的关键．
5．已知，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，以AB为边向下作一个△ABD且∠ADB＝60°，连接CD．
（1）如图1，若DA⊥AB，当AB＝3时，求线段CD的长度；
（2）如图2，若点E是线段CD的中点，连接BE，猜想线段BD，AD，BE之间的数量关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，当7AE+CE取得最小值时，请直接写出sin∠CAE的值．
【考点】三角形综合题．
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）39；
（2）证明过程详见解答；
（3）714．
【分析】（1）∠DBF＝120°，截取BF＝BD，连接CF，DF，可证明△CBF≌△ABD，从而得出∠BFC＝∠ADB＝60°，CF＝AD=3，∠DFC＝∠BFD+∠BFC＝90°，进而得出CD结果；
（2）延长CB至W，使BW＝CB，连接AW，DW，在BD上截取DV＝AD，连接AV，可得出∠AWB＝∠ADB，△ADV是等边三角形，从而点A、D、W、B共圆，AD＝AV＝DV，∠AVD＝60°，可证得△ADW≌△AVB，从而DW＝BV，进一步得出结论；
（3）以AB为边在AB下方作等边三角形ABH，作△ABH的外接圆I，则点D在⊙I上，连接DI，CI，BI，取CI的中点O，连接OE，作CR⊥IB，交IB的延长线于R，不妨设AB＝BC＝2，则DI＝AI=AB3=23=233，可得出OE=12DI=33，∠ABI＝∠BAI＝30°，进而得出∠IBC＝∠ABI+∠ABC＝30°+120°＝150°，进而得出CR，BR，IR，CI，OC的值，在OC上截取OG=2121，连接EG，可证得△EOG∽△COE，从而得出EGCE=OEOC=77，从而EG=77CE，从而AE+77CE＝AE+EG≤AG，当A、E、G共线时，AE+77CE最小，即7AE+CE最小，作IX⊥AC于X，作Z⊥AC于Z，设AX＝x，则CX＝23-x，由IX2＝AI2﹣AX2＝CI2﹣CX2得（233）2﹣x2＝（2213）2﹣（23-x)22，从而x=33，从而得出CX＝23-x=533，IX＝1，由△CZG∽△CXI得出CZCX=ZGXI=CGCI，进而得出CZ，ZG的长，进一步得出结果．
【解答】（1）解：如图1，
作∠DBF＝120°，截取BF＝BD，连接CF，DF，
∴∠BFD＝∠BDF＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴AD=ABtan∠ADB=3tan60°=33=3，
BD=ABsin∠ADB=3sin60°=23，
∴DF=3BD＝6，
∵∠DBF＝∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△CBF≌△ABD（SAS），
∴∠BFC＝∠ADB＝60°，CF＝AD=3，
∴∠DFC＝∠BFD+∠BFC＝90°，
∴CD=DF2+CF2=62+(3)2=39；
（2）证明：如图2，
延长CB至W，使BW＝CB，连接AW，DW，在BD上截取DV＝AD，连接AV，
∴∠ABW＝180°﹣∠ABC＝60°，AB＝BC＝BW，
∴△ABW是等边三角形，
∴∠AWB＝60°，AB＝AW，
∵∠ADB＝60°，
∴∠AWB＝∠ADB，△ADV是等边三角形，
∴点A、D、W、B共圆，AD＝AV＝DV，∠AVD＝60°，
∴∠AWD＝∠ABD，∠ADW＝180°﹣∠ABW＝120°，∠AVB＝180°﹣∠AVD＝120°，
∴∠AVB＝∠ADW，
∴△ADW≌△AVB（AAS），
∴DW＝BV，
∴BD＝DV+BV＝AD+DW，
∵点E是CD的中点，
∴DW＝2BE，
∴AD+2BE＝BD；
（3）解：如图3，
7AE+CE=7（AE+77CE），
以AB为边在AB下方作等边三角形ABH，作△ABH的外接圆I，
则点D在⊙I上，连接DI，CI，BI，取CI的中点O，连接OE，作CR⊥IB，交IB的延长线于R，
∴OE=12DI，
不妨设AB＝BC＝2，则DI＝AI=AB3=23=233，
∵E是CD的中点，
∴OE=12DI=33，
∵AI＝IB，∠AIB＝2∠ADB＝120°，
∴∠ABI＝∠BAI＝30°，
∴∠IBC＝∠ABI+∠ABC＝30°+120°＝150°，
∴∠CBR＝180°﹣∠IBC＝30°，
∴CR=12BC＝1，BR=32BC=3，
∴IR＝BI+BR=233+3=533，
∴CI=CR2+IR2=12+(533)2=2213，
∴OC=12CI=213，
在OC上截取OG=2121，连接EG，
∴OEOC=OGOE=77，
∵∠EOG＝∠EOC，
∴△EOG∽△COE，
∴EGCE=OEOC=77，
∴EG=77CE，
∴AE+77CE＝AE+EG≤AG，
当A、E、G共线时，AE+77CE最小，即7AE+CE最小，
如图4，
AC＝23，AI=233，CI=2213，CG＝OC﹣OG=213-2121=62121，
作IX⊥AC于X，作Z⊥AC于Z，
设AX＝x，则CX＝23-x，
由IX2＝AI2﹣AX2＝CI2﹣CX2得，
（233）2﹣x2＝（2213）2﹣（23-x)22，
∴x=33，
∴CX＝23-x=533，
∴IX=(233)2-(33)2=1，
∵IX∥XI，
∴△CZG∽△CXI，
∴CZCX=ZGXI=CGCI，
∴CZ533=ZG1=621212213
∴CZ=537，ZG=37，
∴AZ＝AC﹣CZ=937，
∴AG=AZ2+ZG2=(937)2+(37)2=677，
∴sin∠CAE=ZGAG=37677=714．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
6．如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．
（1）探究：AF与BF的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出m的值．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）（2）结论：AF＝3BF．证明见解析部分；
（3）m＝2．
【分析】（1）作DG⊥AB于G，证明△DFG≌△EFB，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）仿照（1）的证明方法证明；
（3）作DH⊥AB于H，要使得结论AF＝3BF成立，则有∠DGF＝∠EBF＝90°，可得12（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，可得m＝2．
【解答】解：（1）结论：AF＝3BF．
理由：如图1，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴AC＝CB，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴BC=22AB，
∵DA＝DB，∠ADB＝90°，
∴DG＝AG＝BG=12AB，
在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，EB＝EC，
∴BE=22BC=12AB，
∴DG＝BE，
在△DFG和△EFB中，
∠DFG=∠EFB∠DGF=∠EBFDG=BE，
∴△DFG≌△EFB（AAS），
∴FG＝BF，
∵AF＝3BF；
（2）猜想：AF＝3FB．
证明：如图2中，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．
∵DA＝DB，∠ADB＝60°．
∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．
∴DB＝BA．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC=12AB＝BG．
在Rt△DBG和Rt△BAC中，
DB=ABBG=AC，
∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．
∴DG＝BC．
∵BE＝EC，∠BEC＝60°，
∴△EBC是等边三角形．
∴BC＝BE，∠CBE＝60°．
∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
∵∠DFG＝∠EFB，∠DGF＝∠EBF，
在△DFG和△EFB中，
∠DFG=∠EFB∠FGD=∠FBEDG=BE，
∴△DFG≌△EFB（AAS）．
∴GF＝BF，
故 AF＝3FB；
（3）结论：m＝2，
理由：如图3中，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．
要使得结论AF＝3BF成立，则有∠DGF＝∠EBF＝90°，
∴12（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，
∴90°-12m•∠ABC+∠ABC＝90°，
∴m＝2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．综合与实践
【问题情境】
数学实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展活动探究．小智同学首先制作了一个正方形纸片ABCD，然后将等腰直角三角板AEF的锐角顶点和正方形的顶点A重合，当三角板AEF绕着正方形的顶点A顺时针旋转α（0≤α＜90°）时，直线AE，AF分别交射线DB，DC于点M，N，探究线段AM和AN的数量关系：
【特例猜想】
（1）如图1，小智发现，当三角板旋转到点N和点D重合时，线段AM和AN的数量关系为 AN=2AM ．
【数学思考】
（2）小智认为根据特殊情形可以归纳出一般结论：线段AM和AN的数量关系恒成立．小智的结论是否正确？若正确，请你仅就图2的情形进行证明；若不正确，请说明理由．
【拓展探究】
（3）在△AEF旋转过程中，当正方形ABCD的边长为6，△ABM的面积也为6时，请直接写出△ADN的面积．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AN=2AM；
（2）正确，证明见解析；
（3）6或30．
【分析】（1）根据题意可知△ADM是等腰直角三角形，继而得到本题答案；
（2）连接AC，证明△ABM∽△ACN，利用相似性质得到AMAN=ABAC=22，继而得到本题答案；
（3）分两种情况讨论，当点M在线段BD上时和当点M在DB的延长线上时，对两种情况均利用面积求出MG＝2，再利用勾股定理求出DN，继而得到本题答案．
【解答】解：（1）∵等腰直角三角板AEF的锐角顶点和正方形的顶点A重合，三角板旋转到点N和点D重合时，
∴∠FAE＝45°，
∵正方形纸片ABCD，
∴∠DAM＝45°，∠DMA＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AN=2AM，
故答案为：AN=2AM；
（2）正确，证明如下：
连接AC，如图2，
，
由题意知：∠BAC＝∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵∠ABM＝∠ACN＝45°，
∴△ABM∽△ACN，
∴AMAN=ABAC=22，即AN=2AM；
（3）根据题意可知可分为两种情况讨论：
①当点M在线段BD上时，过点M作MG⊥AB于点G，如图3，
，
∵S△ABM=12AB•MG＝6，
∴MG＝2，
∴BG＝2，AG＝4，
∴AM=25，
∵AN=2AM，
∴AN=210，
在Rt△AND中，AD＝6，
∴DN=AN2-AD2=2，
∴S△ADN=12×2×6＝6；
②当点M在DB的延长线上时，过点M作MG⊥AB交AB的延长线于点G，
，
∵正方形ABCD的边长为6，△ABM的面积为6，
∴MG＝2，
∴BG＝2，AG＝8，
∴AM=217，
∴AN=234，
在Rt△AND中，AD＝6，
∴DN=AN2-AD2=10，
∴S△ADN=12×10×6＝30．
【点评】本题考查正方形性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是斜边AB的中点．
（1）如图1，连接CD，求证：△ACD为等边三角形；
（2）如图2，E为边BC上的一动点，连接DE，以DE为边向左侧作等边三角形DEF，连接AF．随着点E位置的变化，∠DAF的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠DAF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在线段AF上，点Q在CB的延长线上，且AP＝BQ，连接PQ交AB于点M，过点P作PN⊥AB于点N，试探究线段MN与AC之间的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）∠DAF的度数不变，∠DAF＝30°；
（3）AC＝MN，理由见解析过程．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，∠B＝30°，可得出AC=12AB，∠CAD＝60°，根据直角三角形斜边上的中线定理可得出CD=AD=12AB，即可得出△ACD为等边三角形；
（2）连接CD，根据∠ADC＝∠EDF＝60°可得出∠ADF＝∠CDE，再结合AD＝CD，DF＝DE即可得出△ADF≌△CDE（SAS），根据全等三角形的性质即可得出∠DAF＝∠DCE＝30°，即∠DAF的度数不变；
（3）过点P作PO∥BC交AB于点O，易证△APO是等腰三角形，即可证明△POM≌△QBM（SAS），推出BM＝OM，由PN⊥AB，AP＝PO，AD＝BD
得到AN＝ON，即AN+ON+OD＝BM+MD，进而推出AN＝MD，根据△ACD为等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC=12AB，∠CAD＝60°．
∵点D是AB中点，
∴CD=AD=12AB，
∴AD＝CD＝AC，
∴△ACD为等边三角形；
（2）解：∠DAF的度数不变，理由如下：
如图2，连接CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是斜边AB的中点，
∴CD=AD=12AB，
∴∠ECD＝30°．
∵△ADC为等边三角形，
∴AD＝DC，∠ADC＝60°．
又∵△DEF为等边三角形，
∴DF＝DE，∠FDE＝60°，
∴∠ADF+∠FDC＝∠CDE+∠FDC＝60°，
∴∠ADF＝∠CDE．
在△ADF和△CDE中，
AD=CD∠ADF=∠CDEDF=DE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠DAF＝∠DCE＝30°，
即∠DAF的度数不变，∠DAF＝30°；
（3）解：AC＝MN，理由如下：
如图3，过点P作PO∥BC交AB于点O，
则∠AOP＝∠ABC＝30°，
∵∠DAF＝30°，
∴△APO是等腰三角形，
∴AP＝PO，
∵AP＝BQ，
∴BQ＝PO，
∵PO∥BC，
∴∠QPO＝∠OQB，∠POQ＝∠QBP，
∴△POM≌△QBM（SAS），
∴BM＝OM，
∵PN⊥AB，AP＝PO，
∴AN＝ON，
∵AD＝BD，即AN+ON+OD＝BM+MD，
∵BM＝OD+MD，
∴2AN+OD＝OD+2MD，
∴AN＝MD，
∴AN+DN＝DN+MD＝MN＝AD，
∵△ACD为等边三角形，
∴AC＝AD＝MN，即AC＝MN．
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的特征．解题的关键是熟练掌握相关知识，解答的关键是作出辅助线构造全等三角形．
9．（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，以BE为直角边，点E为直角顶点作等腰直角三角形EBD，连接CE并延长交AD于点F，则∠CFA的度数为 45° ，CEAD= 22 ．
（2）如图2，在（1）的条件下，若点E为平面内任意一点，以BE为直角边，点E为直角顶点作等腰直角三角形EBD，连接CE并延长交直线AD于点F，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若CE＝2，请直接写出BD的取值范围．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）45°，22；
（2）结论不变，证明见解析部分；
（3）22≤BD≤62．
【分析】（1）证明△CBE∽△ABD，可得结论；
（2）结论不变，证明△CBE∽△ABD，可得结论；
（3）求出BE的取值范围，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，
∵△ACB，△BDE都是等腰直角三角形，
∴AB=2BC，BD=2BE，∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴CBAB=BEBD=22，
∴△CBE∽△ABD，
∴ECAD=BCAB=22，∠ECB＝∠BAD，
∵∠CEB＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠CBE＝45°，
故答案为：45°，22；
（2）如图2中，结论成立．
理由：设AB交CF于点O．
∵△ACB，△BDE都是等腰直角三角形，
∴AB=2BC，BD=2BE，∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴CBAB=BEBD=22，∠CBE＝∠ABD，
∴△CBE∽△ABD，
∴ECAD=BCAB=22，∠ECB＝∠BAD，
∵∠COB＝∠AOF，
∴∠AFE＝∠CBE＝45°，
（3）如图3中，
∵CE＝2，CB＝4，
∴4﹣2≤BE≤2+4，
∴2≤BE≤6，
∵BD=2BE，
∴22≤BD≤62．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．
（1）求点B的坐标；
（2）点P为AC延长线上一点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d；
（3）在（2）的条件下，E为线段CQ上一点，连接OE、BP，当AP=56d时，若OE＝BP，求∠APB﹣∠OEB的度数．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）B（6，0）；
（2）d＝4t；
（3）∠APB﹣∠OEB＝30°．
【分析】（1）在三角形AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长，由AB﹣OA求出OB的长，即可确定出B的坐标；
（2）如图1所示，在直角三角形MCP中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，由MP＝t，表示出PC，在直角三角形QPC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出PQ，即可得出d与t的关系式；
（3）如图2所示，过E作GF⊥x轴，交x轴于点F，交PQ于点G，在直角三角形QCP中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出PC，由AP﹣PC表示出AC，根据已知AC的长求出d的值，确定出PC与PQ的长，在直角三角形PCB中，利用勾股定理求出PB的长，即为PE的长，设OF＝GM＝x，表示出GE，由GF﹣EG表示出EF，在直角三角形OEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OF＝PC，再由OE＝PB，利用HL得到直角三角形OEF与直角三角形PCB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠EOF＝∠APB，再利用外角性质即可求出∠APB﹣∠OEB的度数．
【解答】解：（1）在Rt△AOC中，A（﹣2，0），∠A＝60°，
∴OA＝2，∠ACO＝∠ABC＝30°
∴AC＝2OA＝4，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝8，即OB＝AB﹣OA＝8﹣2＝6，
则B（6，0）；
（2）如图1所示，
在Rt△MCP中，MP＝t，∠MCP＝30°，
∴CP＝2MP＝2t，
在Rt△CQP中，∠CQP＝30°，CP＝2t，
∴PQ＝4t，即d＝4t；
（3）如图2所示，过E作GF⊥x轴，交x轴于点F，交PQ于点G，
在Rt△PQC中，∠CQP＝30°，PQ＝d，
∴CP=12PQ=12d，AP=56d，
∴AC=AP-CP=13d=4，即d＝12，
∴PQ＝12，PC＝6，MP＝3，QM＝9，
在Rt△CBP中，CP＝6，BC=43，
∴PB=62+(43)2=221，
∴OE=PB=221，
在Rt△OEF中，设OF＝GM＝x，QG＝9﹣x，
在Rt△QEG中，GE=33 （9﹣x），
∵MC=33 OC=23，
∴GF=OM=53，
∴EF=53-33(9-x)，
在Rt△OEF中，根据勾股定理得：x2+[53-33(9-x)]2=(221)2，
解得：x＝6，
∴OF＝PC＝6，
在Rt△OEF和Rt△PBC中，
OE=PBOF=PC，
∴Rt△OEF≌Rt△PBC（HL），
∴∠AOE＝∠APB，
∵∠AOE＝∠OEB+∠ABC＝∠OEB+30°，即∠AOE﹣∠OEB＝30°，
则∠APB﹣∠OEB＝30°．
【点评】此题属于三角形的综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
11．已知，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上任意一点，点E在BC延长线上，连接DB，使得BD＝DE．
（1）如图1，求证：∠ABD＝∠EDC；
（2）若△ABC是等边三角形，求证：AD＝CE；
（3）在（2）的条件下，如图2，取BD的中点F，连接AE，过点F作AE的垂线，垂足为H，若AH＝2，求EH的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）6．
【分析】（1）利用等边对等角，分别推导出∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠E，进而得到∠ABD＝∠CDE；
（2）作DF∥AB，可证△≌BDF△EDC，可得BF＝CE，再证AD＝BF即可解题；
（3）先构造出△BFG≌△DFA得出BG＝AD，进而得出BG＝CE，再用SAS判断出△ABG≌△ACE即可得出∠BAF＝CAE，用含30°角的直角三角形的性质，求出AF，进而求出AE，最后用EH＝AE﹣AH即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠ACB﹣∠E，
∴∠ABD＝∠CDE；
（1）证明：如图1，作DF∥AB于F，
∵DF∥AB，
∴CFBC=CDAC，
∵AC＝BC，
∴CF＝CD，
∴BF＝AD，
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝60°，
∴∠BFD＝120°，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBE，
在△BDF和△EDC中，
∠BFD=∠DCE∠E=∠DBEBD=DE，
∴△BDF≌△EDC（AAS），
∴BF＝CE，
∴AD＝CE，
（2）解：如图2过点B作BG∥AC交AF的延长线于G，
∴∠G＝∠DAF，∠CBG＝∠ACB＝60°，
∴∠ABG＝∠ABC+∠CBG＝120°＝∠ACE，
∵点F是BD中点，
∴BF＝DF，
在△BFG和△DFA中，
∠G=∠DAF∠BFG=∠DFABF=DF，
∴△BFG≌△DFA（AAS），
∴BG＝AD，
由（1）知，AD＝CE，
∴BG＝CE，
在△ABG和△ACE中，
AB=AC∠ABG=∠ACEBG=CE，
∴△ABG≌△ACE（SAS），
∴∠BAF＝CAE；
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，
∵FH⊥AE，
∴∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝90°﹣∠FAE＝30°，
在Rt△AFH中，AH＝2，
∴AF＝2AH＝4，
由（2）知，△BFG≌△DFA，
∴GF＝AF＝4，
由（2）知，△ABG≌△ACE，
∴AE＝AG＝2AF＝8，
∴EH＝AE﹣AH＝8﹣2＝6．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，本题难度较大，解本题的关键是构造出△BFG≌△DFA．
12．定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．
（1）如图1，在△ABC中，AB=5，AD⊥BC，D为垂足，AD为△ABC的“妙分线”．若BD＝1，则CD长为 2 ；
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是CB延长线上一点，E为AB上一点，BE＝BD，连接CE并延长交AD于点F，BH平分∠ABC，分别交CF，AC于点G，H，连接AG．求证：AG是△AFC的“妙分线”；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝310．若AC为△BCD的“妙分线”，直接写出CD的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；新定义．
【答案】（1）2；
（2）证明见解析部分；
（3）3或154．
【分析】（1）利用勾股定理求出AD，再根据等腰直角三角形的性质求出CD即可；
（2）证明△AFG是直角三角形，△ACG是等腰三角形，根据三角形的“妙分线”的定义可得结论；
（3）如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，符合条件，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB=5，BD＝1，
∴AD=AB2-BD2=(5)2-12=2，
∵AD为△ABC的“妙分线”，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝2，
故答案为：2；
（2）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠CEB＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠CBE＝90°，
∴△AFG是直角三角形，
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG，
∵AB＝BC，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG是△AFC的“妙分线”；
（3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．
有两种情形：
①当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，AC为△BCD或△BCD'的“妙分线”，
∵BC＝310，
又∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝CH=3102，
∴AH=AB2-BH2=52-(3102)2=102，
∵S△ABC=12•BC•AH=12•AB•CD，
∴12×310×102=12×5CD，
∴CD＝3，
∴AD=52-32=4，
∴S△BCD=12•BD•CD=12×（5+4）×3=272，
设CD′＝x，DD′＝y，
∴x2=32+y252+x2=(4+y)2，
解得：x=154y=94，
∴CD'=154，
综上所述，CD的长为3或154．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了新定义—原三角形的“妙分线”的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
13．游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为Mi（i＝1、2……16），△AOB表示的是摩天轮的支架，且∠AOB＝60°．
（1）摩天轮每分钟转动 12 °，∠M1OM3＝ 45 °；
（2）如图2，在某一时刻，连接点M1转动到∠AOB的内部，此时∠AOM1＝18°．
①求此时的∠BOM3的度数；
②求当OM3第一次平分∠AOB时，摩天轮的转动时间以及此时∠AOM1的度数；
③设摩天轮转动的时间为t，在连接点M1到达到最高处前，是否存在∠BOM3＝2∠AOM1的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）12；45；
（2）①∠BOM3＝3°；
②转动时间为114min，∠AOM1＝15°；
③存在，t的值为114或1312．
【分析】（1）利用转动一周的时间和周角的大小即可求出摩天轮每分钟转动的角度，根据周角平分成16份，而∠M1OM3占其中的两份即可得解；
（2）①结合图形，利用角度的和差关系即可得解；
②作∠AOB的角平分线OC交AB于C，则∠BOC=12∠AOB=30°，从而求出转动的角度，继而求出转动时间，同时OM1转动的角度也是33°，从而求出∠AOM1；
③用t表示出∠BOM3和∠AOM1，再利用∠BOM3＝2∠AOM1列方程求解即可．
【解答】解：（1）依题意得：摩天轮每分钟转动的角度是：360°÷30＝12°，∠M1OM3=216×360°=45°，
故答案为：12；45；
（2）①∵∠AOB＝60°，∠AOM1＝18°，
∴∠BOM1＝∠AOB﹣∠AOM1＝60°﹣18°＝42°，
又∵∠M1OM3＝45°，
∴∠BOM3＝∠M1OM3﹣∠BOM1＝45°﹣42°＝3°；
②作∠AOB的角平分线OC交AB于C，如图2，
则∠BOC=12∠AOB＝30°，
∴∠COM3＝∠BOM3+∠BOC＝30°+3°＝33°，即转动的角度是33°，
∴转动时间为3312=114（min），OM1转动的角度也是33°，
∴∠AOM1等于OM1转动的角度减去原来∠AOM1的角度，
即∠AOM1＝33°﹣18°＝15°；
③存在，t的值为114或1312，理由如下：
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴COM1＝∠AOC﹣∠AOM1＝30°﹣18°＝12°，
∴点M1到达到最高处时，时间为：180-1212=14（min），
∴0≤t≤14．
依题意得：∠BOM3＝|3﹣12t|°，∠AOM1＝|18﹣12t|°，
∵∠BOM3＝2∠AOM1，即|3﹣12t|＝2|18﹣12t|，
解得：t=114或1312，
∴存在，t的值为114或1312．
【点评】本题考查角度的和差计算，一元一次方程的几何应用，角平分线的相关计算等知识，理解各角之间的数量关系和正确表示出各角是解题的关键．
14．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）＝；
（2）＝；理由见解答过程；
（3）3．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠D＝∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD=12∠ACB＝30°，然后证∠DEB＝∠D，得DB＝BE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE＝EF，再证△DBE≌△EFC（AAS），得DB＝EF，即可得出结论；
（3）过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，同（2）得△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC（AAS），则AE＝EF＝2，DB＝EF＝2，即可得出答案．
【解答】解：（1）AE＝DB，理由如下：
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD=12∠ACB＝30°，AE＝BE，
∴∠D＝30°，
∵∠ABC＝∠D+∠DEB，
∴∠DEB＝∠ABC﹣∠D＝30°，
∴∠DEB＝∠D，
∴DB＝BE，
∴AE＝DB；
故答案为：＝；
（2）AE＝DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，
则∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠FEC＝∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∠DBE＝120°，
∴△AEF为等边三角形，∠EFC＝120°，
∴AE＝EF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠D＝∠FEC，
在△DBE和△EFC中，
∠DBE=∠EFC=120°∠D=∠FECED=EC，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝DB；
故答案为：＝；
（3）CD的长为3；理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：
同（2）得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC（AAS），
∴AE＝EF＝2，DB＝EF＝2，
∵BC＝1，
∴CD＝BC+DB＝3，
故CD的长为3．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
15．在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D是边BC一点，连接AD，∠ABD的角平分线交AD于点E．
（1）如图1所示，∠BAD＝30°，若CD＝2，求边DE的长；
（2）如图2所示，点F为AC上一点，过点F作FO⊥AD于点O，若点O恰好平分线段AD，求证：CF＝BE+22CD；
（3）如图3所示，点P为边AC上一点，且满足AP＝BE，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接BQ，当BQ最短时，请直接写出S△ABQS△BED的值．
【考点】三角形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）证明过程详见解答；
（3）5+510．
【分析】（1）连接CE，可证得△ABE≌△CBE，从而得出∠BCE＝∠BAD＝30°，∠BEC＝∠ABE＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝105°，进而得出∠BCE＝∠CED＝30°，从而得出DE＝CD＝2；
（2）作DG⊥AC于G，作EH⊥BC于H，不妨设AB＝BC＝a，BD＝b，则CD＝a﹣b，DG＝CG=22（a﹣b），AC=2a，AG=2a-22(a-b)=22(a+b)，AD=a2+b2，可证得△DEH∽△DAB，△AOF∽△AGD，从而得出EHAB=DHBD，AOAG=AFAD，进而表示出CF，BE，CD，进一步得出结论；
（3）作BV⊥AD于V，作AW⊥AB，交QP的延长线于W，可证得△BEV≌△APQ，从而得出BV＝AQ，进而证得△AQW≌△BVA，从而得出AW＝AB，从而得出Q在以AW为直径的⊙O上运动，连接BO，交⊙O于Q′，当点Q在Q′处时，BQ最短，可求得S△BEDS△ABD=BDAB=5-12，S△ABES△ABD=12AB⋅RQ12AB⋅BD=15，进一步得出结果．
【解答】（1）解：如图1，
连接CE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC=45°，
∵AB＝BC，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD＝30°，∠BEC＝∠ABE＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝105°，
∵∠BED＝180°﹣∠BEC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠DEC＝105°﹣75°＝30°，
∴∠BCE＝∠CED，
∴DE＝CD＝2，
（2）如图2，
作DG⊥AC于G，作EH⊥BC于H，
不妨设AB＝BC＝a，BD＝b，则CD＝a﹣b，DG＝CG=22（a﹣b），AC=2a，AG=2a-22(a-b)=22(a+b)，AD=a2+b2，
∵∠EHD＝∠ABC＝90°，
∴△DEH∽△DAB，
∴EHAB=DHBD，
∵BH＝EH，
∴EHa=b-EHb，
∴EH=aba+b，
∴BE=2EH=2aba+b，
∵∠FAO＝∠CAD，∠AOF＝∠AGD＝90°，
∴△AOF∽△AGD，
∴AOAG=AFAD，
∵AO＝OD=12AD=12a2+b2，
∴12a2+b222(a+b)=AFa2+b2，
∴AF=2(a2+b2)2(a+b)，
∴CF＝AC﹣AF=2a-2(a2+b2)2(a+b)=2(a2-b2+2ab)2(a+b)，
∴FG＝CF﹣CG=2(a2-b2+2ab)2(a+b)-22(a-b)=2aba+b，
∴FG＝BE，
∴CF＝BE+CG＝BE+22CD；
（3）如图3，
作BV⊥AD于V，作AW⊥AB，交QP的延长线于W，
∵∠ABC＝∠AQP＝∠BVE＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝90°，∠ADB+∠DBV＝90°，
∴∠BAD＝∠DBV，
∵∠BAD+∠DAC＝45°，∠DBV+∠EBV＝45°，
∴∠DAC＝∠EBV，
∵AP＝BE，
∴△BEV≌△APQ，
∴BV＝AQ，
同理可得：∠WAQ＝∠ABV，
∵∠AQP＝∠AVB＝90°，
∴△AQW≌△BVA（AAS），
∴AW＝AB，
∵Q在以AW为直径的⊙O上运动，
连接BO，交⊙O于Q′，当点Q在Q′处时，BQ最短，
如图4，
作QR⊥AB于R，
不妨设AW＝AB＝2a，则OA＝OW＝OQ＝a，
∴OB=AO2+AB2=5a，
∴BQ＝OB﹣OQ＝（5-1）a，
∵AW∥BC，
∴△AOQ∽△DBQ，
∴BQBD=OQOA=1，
∴BD＝BQ＝（5-1）a，
∴S△BEDS△ABD=BDAB=5-12，
∵AO∥RQ∥BD，
∴RQBD=AQAD=AOAO+BD=15，
∴S△ABQS△ABD=12AB⋅RQ12AB⋅BD=15，
∴S△ABQS△BED=155-12=5+510．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形．