2024年中考数学复习探究性试题---相交线与平行线

这是一份2024年中考数学复习探究性试题---相交线与平行线，共58页。试卷主要包含了已知，问题探究等内容，欢迎下载使用。
1．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝ °；
（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，
①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；
②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．
2．如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
①读下列过程，并填写理由．
解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．
理由：过点P作EF∥AB．
∴∠B+∠BPE＝180°．（ ）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法）．
∴CD∥EF．（ ）
∴∠EPD+∠CDP＝180°．
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°．
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．
②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
③观察图（3）和图（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不必说明理由．
3．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°
（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝ °．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）
4．问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
5．如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像 ，称为“ 形BAMCD”．
（1）如图1， 形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝ °；
（2）如图2，连接 形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．
6．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
7．如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD＝∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．
（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°；
（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC＝50°，求∠DEC的度数．
（3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，∠DEC+∠DMH∠ANF的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
8．已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF．
（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数；
（2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．
9．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °；
（2）在（1）中，若∠1＝55°，则∠3＝ °，若∠1＝40°，则∠3＝ °；
（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3＝ °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
10．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3＝∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
11．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
12．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．
13．如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF．
（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE；
（2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系．
14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．
（1）若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由；
（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的值；若不存在，请说明理由．
15．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由；
（2）如图2，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．已知∠BAF＝150°，∠DCF＝80°，射线AB、CD分别绕点A、点C以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，当射线CD转动一周时，两条射线同时停止．则当直线CD与直线AB互相垂直时，t＝ 秒．
2024年中考数学复习探究性试题---相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝ 45 °；
（2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F，
①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA；
②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）45；
（2）①证明过程见解答；
②150°-12α．
【分析】（1）过点E作EF∥MN，根据MN∥OB，可得EF∥OB，根据平行线的性质可得∠AOB＝45°；
（2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明CE∥OA；
②当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α，在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，可得∠DCB＝60°+α，根据MN∥OB和角平分线定义，即可求出∠OFD与α之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥MN，
∴∠DEF＝∠NDE＝45°，
∵∠CED＝90°，
∴∠FEC＝45°，
∵MN∥OB，
∴EF∥OB，
∴∠BCE＝∠FCE＝45°，
∵AO∥CE，
∴∠AOB＝∠ECB＝45°，
则α＝45°，
故答案为：45；
（2）①∵DF∥OA，
∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°，
∵MN∥OB，
∴∠MDF＝∠DFC，
∵DF平分∠MDC，
∴∠CDF＝∠MDF＝60°，
在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，
∴∠CDF＝∠DCE，
∴CE∥DF，
∵DF∥OA，
∴CE∥OA；
②∵当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α，
在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°，
∴∠DCB＝60°+α，
∵MN∥OB，
∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，且∠DFC＝∠MDF，
∵DF平分∠MDC，
∴∠DFC=∠MDF=30°+12α，
∴∠OFD=180°-∠DFC=180°-(30°+12α)=150°-12α．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
2．如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
①读下列过程，并填写理由．
解：猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．
理由：过点P作EF∥AB．
∴∠B+∠BPE＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法）．
∴CD∥EF．（ 平行线公理的推论 ）
∴∠EPD+∠CDP＝180°．
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°．
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．
②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
③观察图（3）和图（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不必说明理由．
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】①根据平行线的性质得到的∠B+∠BPE＝180°，∠EPD+∠CDP＝180°．等量代换即可得到结论；
②首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1＝∠B，∠2＝∠D，则可求得∠BPD＝∠B+∠D．
③由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．
【解答】解：①猜想∠BPD+∠B+∠D＝360°．
理由：过点P作EF∥AB．
∴∠B+∠BPE＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法）．
∴CD∥EF．（平行线公理的推论）
∴∠EPD+∠CDP＝180°．
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°．
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，平行线公理的推论；
②∠BPD＝∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，
∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠B+∠D；
③如图（3）：∠BPD＝∠D﹣∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D，
∵∠1＝∠B+∠P，
∴∠D＝∠B+∠P，
即∠BPD＝∠D﹣∠B；
如图（4）：∠BPD＝∠B﹣∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B，
∵∠1＝∠D+∠P，
∴∠B＝∠D+∠P，
即∠BPD＝∠B﹣∠D．
【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意辅助线的作法．
3．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°
（1）观察猜想
将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝ 105 °．
（2）操作探究
将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 75或255 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）
【考点】平行线的判定；平移的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在△CEN中，依据三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠DON＝45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（3）当CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；当CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可．
【解答】解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，
∴∠CEN＝105°．
故答案为：105°．
（2）∵OD平分∠MON，
∴∠DON=12∠MON=12×90°＝45°，
∴∠DON＝∠D＝45°，
∴CD∥AB，
∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；．
（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠OFD＝∠M＝60°，
在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，
＝180°﹣45°﹣60°，
＝75°，
当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO＝∠M＝60°，
在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴旋转角为75°+180°＝255°，
综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．
故答案为：75或255．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
4．问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】（1）（2）证明见解析部分．
（3）36°．
【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论．
【解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
【点评】本题考查平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．
5．如图，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像 ，称为“ 形BAMCD”．
（1）如图1， 形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，则∠A+∠C＝ 60 °；
（2）如图2，连接 形BAMCD中B，D两点，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，试猜想∠BAM与∠MCD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出∠BAM与∠MCD所有可能的数量关系．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】（1）60°；
（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°；
（3）∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠BAM﹣∠MCD＝20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．
【分析】（1）过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；
（2）过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得∠BAP＝20°，结合（1）的结论可求解；
（3）可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解．
【解答】解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°，
故答案为：60°；
（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°．
理由：过A点作AP∥CD交BD于点P，
∴∠APB＝∠D，
∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°，∠B+∠D＝160°，
∴∠BAP＝180°﹣160°＝20°，
由（1）可得∠AMC＝∠PAM+∠MCD，
∵∠AMC＝α，
∴∠PAM+∠MCD＝α，
∴∠BAM+∠MCD＝α+20°；
（3）如图，当D，C位于AM两侧时，
∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，
∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，
∵∠AMQ＝∠B+∠BAM，∠CMQ＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，
∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD﹣20°，
即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°；
当A，C，M三点共线时，∠AMC＝α＝0°，
∴∠BAM﹣∠MCD＝20°；
当D，C位于AM同侧时，
∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，
∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，
∵∠AMO＝∠B+∠BAM，∠CMO＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，
∴α＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠MCD﹣∠BAM+20°，
即∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．
综上，∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
6．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】证明题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）100°；
（3）40°．
【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，可得∠ACB＝∠CED，所以AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；
（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG=12∠ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴12∠ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3=12∠EDF，
∴12∠ABE+∠β=12∠EDF，
∴∠β=12（∠EDF﹣∠ABE），
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）
解得∠α＝100°
∴∠DEB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK=12∠EBK，
∠CDN＝∠EDN=12∠CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN=12∠CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
=12∠EBK-12∠CDE
=12（∠EBK﹣∠CDE）
=12×80°
＝40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
7．如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD＝∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．
（1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°；
（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC＝50°，求∠DEC的度数．
（3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，∠DEC+∠DMH∠ANF的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
【考点】平行线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据DE∥BC，得到∠EDB+∠DBC＝180°，再利用角平分线的性质，即可解答；
（2）根据FD⊥AB，∠BGC＝50°，得到∠DHG＝40°，利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD＝40°，再根据DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，得到∠EDC＝2∠FDC，∠ACD＝2∠HCD，得到∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°，利用三角形内角和为180°，∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°．
（3）不变，根据∠DMH+∠DEC＝2（∠ADF+∠DAN），∠ANF＝∠ADF+∠DAN，即可解答．
【解答】解：（1）如图1，
∵DE∥BC，
∴∠EDB+∠DBC＝180°，
∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC＝180°，
∵∠CDB＝∠DBC，∠EDF＝∠FDC，
∴2∠FDC+2∠CDB＝180°，
∴∠FDC+∠CDB＝90°，
∴FD⊥BD，
∴∠DBF+DFB＝90°．
（2）如图2，
∵∠BGC＝50°，FD⊥BD，
∴∠DHG＝40°，
∴∠FDC+∠HCD＝40°，
∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，
∴∠EDC＝2∠FDC，∠ACD＝2∠HCD，
∴∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°．
（3）不变，如图3，
∵∠DMH+∠DEC＝2（∠ADF+∠DAN），∠ANF＝∠ADF+∠DAN，
∴∠DEC+∠DMH∠ANF=2(∠ADF+∠DAN)∠ADF+∠DAN=2．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．
8．已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF．
（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数；
（2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）120°；
（2）EP∥FN，理由见解析；
（3）∠EPF+2∠ENF＝180°或∠EPF＝2∠ENF﹣180°．
【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠EPF＝120°；
（2）EP∥FN，根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得∠4＝2∠1＝∠AEP，进而可得结论；
（3）根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可．
【解答】解：（1）如图，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPE＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°，
∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°．
故∠EPF＝120°；
（2）EP∥FN，如图，
理由：∵EM平分∠AEP，FN平分∠MFD，
∴∠AEP＝2∠1，∠MFD＝2∠3，
由（1）得，∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4），
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4，
由三角形外角的性质可得，∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1，
∵∠M与3∠N互补，
∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°，
整理得，∠4＝2∠1＝∠AEP，
∴EP∥FN；
（3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如图，
∵AB∥CD，
∴∠CFH＝∠EHF，∠EKF＝∠DFK，
∵FN平分∠DFP，ME平分∠AEP，
∴∠CFH＝180°﹣2∠DFK，∠AEP＝2∠AEM＝2∠KEN，
由外角的性质得，∠EPF＝∠EHF﹣∠AEP＝180°﹣2∠DFK﹣2∠AEM，∠ENF＝∠EKF+∠KEN＝∠DFK+∠AEM，
∴∠EPF＝180°﹣2∠ENF，
∴∠EPF+2∠ENF＝180°．
②∠EPF＝2∠ENF﹣180°．如图，
∵AB∥CD，
∴∠PKB＝∠PFD＝2∠DFN，
由外角的性质得，∠EPF＝∠PKB﹣∠BEP＝∠PKB﹣（180°﹣2∠MEP）＝2∠DFN+2∠AEM﹣180°，
由（1）得，∠ENF＝∠DFN+∠NEK＝∠DFN+∠AEM，
∴2∠ENF＝2∠DFN+2∠AEM，
∴∠EPF＝2∠ENF﹣180°．
【点评】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形外角与内角的关系，根据题意理清各角之间的关系是解题关键．
9．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ 100 °，∠3＝ 90 °；
（2）在（1）中，若∠1＝55°，则∠3＝ 90 °，若∠1＝40°，则∠3＝ 90 °；
（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3＝ 90 °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理．
【专题】跨学科．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据入射角与反射角相等，可得∠1＝∠4，∠5＝∠6．
（1）根据邻补角的定义可得∠7＝80°，根据m∥n，所以∠2＝100°，∠5＝40°，根据三角形内角和为180°，即可求出答案；
（2）结合题（1）可得∠3的度数都是90°；
（3）证明m∥n，由∠3＝90°，证得∠2与∠7互补即可．
【解答】解：（1）100°，90°．
∵入射角与反射角相等，即∠1＝∠4，∠5＝∠6，
根据邻补角的定义可得∠7＝180°﹣∠1﹣∠4＝80°，
根据m∥n，所以∠2＝180°﹣∠7＝100°，
所以∠5＝∠6＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
根据三角形内角和为180°，所以∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°；
（2）90°，90°．
由（1）可得∠3的度数都是90°；
（3）90°（2分）
理由：因为∠3＝90°，
所以∠4+∠5＝90°，
又由题意知∠1＝∠4，∠5＝∠6，
所以∠2+∠7＝180°﹣（∠5+∠6）+180°﹣（∠1+∠4），
＝360°﹣2∠4﹣2∠5，
＝360°﹣2（∠4+∠5），
＝180°．
由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．
【点评】本题是数学知识与物理知识的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性．
10．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3＝∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】证明题；探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
【解答】解：（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPE+∠QPF，
∴∠3＝∠1+∠2．
（2）∠3＝∠2﹣∠1；
证明：过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3＝∠2﹣∠1．
（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
证明：过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3＝∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1＝180°，∠DFP+∠2＝180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2＝360°，
即∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
（4）过P作PQ∥l1∥l2；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3＝∠DFP﹣∠CEP；
∵∠CEP+∠1＝180°，∠DFP+∠2＝180°，
∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1＝0，
即∠3＝∠1﹣∠2．
②当P在D点下方时，
∠3＝∠2﹣∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3＝∠1﹣∠2，当P在D点下方时，∠3＝∠2﹣∠1．
【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．
11．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
【考点】平行线的性质；列代数式．
【专题】综合题；压轴题；分类讨论；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣60°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝150°．
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）β＝2α﹣180°，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）
＝180°﹣（2∠2+2∠3）
＝180°﹣2（∠2+∠3）
＝180°﹣2（180°﹣α）
＝2α﹣180°；
（3）90°+m或150°．
理由如下：①当n＝3时，如图所示：
∵∠BEG＝∠1＝m，
∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝120°，
则∠GHC＝30°，
由△GCH内角和，得γ＝90°+m．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G＝γ﹣60°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝γ﹣60°＝90°，
则γ＝150°．
综上所述：γ的度数为：90°+m或150°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
12．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．
【考点】平行线的性质；余角和补角；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠BED＝90°；
（2）∠BFD＝68°；
（3）∠BFD的补角=12α-12β．
【分析】（1）过点E作EG∥AB，根据a∥b，可得EG∥CD，得∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；
（2）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，即可求∠BFD的度数；
（3）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，即可用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．
【解答】解：（1）过点E作EG∥AB，
∵a∥b，
∴EG∥CD，
∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，
∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，
∵AD⊥BC，
∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；
（2）如图，过点F作FH∥AB，
∵a∥b，
∴FH∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，
∴∠ABF=12∠ABC＝32°，∠CDF=12∠ADC＝36°，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；
（3）如图，过点F作FH∥AB，
∵a∥b，
∴FQ∥CD，
∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，
∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，
∴∠ABF=12∠ABC=12α，∠CDF=12∠ADC=12β，
∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°-12α+12β，
∴∠BFD的补角=12α-12β．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13．如图1，AB∥CD，E为AB上一点，点P在线段CE上，且PD∥CF．
（1）求证：∠AEC+∠DCF＝∠DPE；
（2）如图2，在线段CF上取点H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，试判断PF与EF的大小关系．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）PF＜EF．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AEC＝∠ECD，∠PDC＝∠DCF，然后根据外角的性质即可证得结论；
（2）设∠ECD＝∠FCD＝α，则∠ECF＝2α，设∠HPF＝∠HFP＝β，根据平行线的性质可推出∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β，∠AEC＝∠ECD＝α，从而得出∠EPH＝2α+2β，根据已知条件∠HPQ+∠AEC＝90°，可得出2α+β＝90°，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，
∵PD∥CF，
∴∠PDC＝∠DCF，
∵∠DPE＝∠ECD+∠PDC，
∴∠DPE＝∠AEC+∠DCF；
（2）∵CD平分∠ECF，
∴∠ECF＝2∠ECD＝∠2FCD，
设∠ECD＝∠FCD＝α，则∠ECF＝2α，
设∠HPF＝∠HFP＝β，
∵PD∥CF，
∴∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β，
∴∠HPD＝∠FPH+∠FPD＝β+β＝2β，
∴∠EPH＝∠EPD+∠HPD＝2α+2β，
∵PQ平分∠EPH，
∴∠HPQ=12∠EPH=12(2α+2β)=α+β，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD＝α，
∵∠HPQ+∠AEC＝90°，
∴（α+β）+α＝90°，
∴2α+β＝90°，
∴∠EPF+∠HFP＝90°，
∴∠EPF＝∠CPF＝90°，
∴PF＜EF．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解决问题的关键是设参数，简明地表达角之间数量关系．
14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．
（1）若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 135° ；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE之间存在什么数量关系？并说明理由；
（4）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在AD与BC平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的值；若不存在，请说明理由．
【考点】平行线的判定；余角和补角．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；
（2）根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（3）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（4）当∠ACE＝30°时，CB∥AD时，根据平行线的判定即可解决问题；
【解答】解：（1）∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°
∴∠ACE＝45°
∵∠BCE＝90°
∴∠ACB＝90°+45°＝135°
故答案为：135°；
（2）∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°
∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；
（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°
理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE
又∵∠ACB＝∠ACE+90°
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE
即∠ACB+∠DCE＝180°；
（4）30°；
理由：∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°，
∴∠D＝∠DCB＝30°，
∴CB∥AD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时注意不能重复，也不能遗漏．
15．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由；
（2）如图2，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．已知∠BAF＝150°，∠DCF＝80°，射线AB、CD分别绕点A、点C以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，当射线CD转动一周时，两条射线同时停止．则当直线CD与直线AB互相垂直时，t＝ 20或110 秒．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据题意得出∠1+∠5＝∠2+∠6，即可得到a∥b；
（2）分两种情况讨论：当BA⊥CD于G时，∠BAE＝30°+t°＝∠CAG，∠ACG＝180°﹣80°﹣3t°＝100°﹣3t°；当D'C⊥AB于H时，∠BAE＝30°+t°，∠ACH＝3t°﹣180°﹣100°，分别依据角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）平行．理由如下：
如图1，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠5＝∠2+∠6，
∴a∥b；
（2）如图，当BA⊥CD于G时，∠BAE＝30°+t°＝∠CAG，∠ACG＝180°﹣80°﹣3t°＝100°﹣3t°，
∵∠CAG+∠ACG＝90°，
∴30°+t°+100°﹣3t°＝90°，
解得t＝20；
如图，当D'C⊥AB于H时，∠BAE＝30°+t°，∠ACH＝3t°﹣180°﹣100°，
∵∠BAE＝∠ACH+∠AHC，
∴30°+t°＝3t°﹣180°﹣100°+90°，
解得t＝110，
综上所述，当直线CD与直线AB互相垂直时t的值为20或110．
故答案为：20或110．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
3．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
4．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
7．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
8．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
9．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等