2023-2024学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简MA−(BA−CM)+BC=( )
A. 2MCB. 2CBC. 2BCD. 0
2.cs75°=( )
A. 1+ 22B. 6+ 24C. 6− 24D. 3+ 24
3.已知平面向量a=(2,x−1)，b=(6,2−x)，若向量a与b共线，则x=( )
A. −2B. 54C. 2D. 5
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a= 2,b= 5,B=π6，则sinA=( )
A. 1010B. 105C. 510D. 55
5.要得到函数y=sin(4x−π3)的图象，只需将函数y=sin4x的图象( )
A. 向左平移π12个单位长度B. 向右平移π3个单位长度
C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π12个单位长度
6.设e1，e2为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是( )
A. e1+e2和e1−e2B. 4e1+2e2和2e2−4e1
C. 2e1+e2和e1+12e2D. e1−2e2和4e2−2e1
7.已知平面向量a=(−1,2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量为( )
A. (−35,−45)B. (35,45)C. (−14,−13)D. (14,13)
8.如图，在△ABC中，AB=4DB,P为CD的中点，则BP=( )
A. −14AB+12AC
B. −14AB+13AC
C. −58AB+12AC
D. −58AB+13AC
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，值为 3的是( )
A. sin15°+cs15°B. 2(cs2π12−sin2π12)
C. 1+tan15°1−tan15∘D. 2sin15°cs15°
10.下列说法不正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=b或a=−b
B. AB与BA是平行向量
C. 若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线
D. 若a//b,b//c，则a/​/c
11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，且A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A. f(0)=1
B. 在区间[−π3,0]上单调递增
C. 将f(x)的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数
D. f(x)=−f(π2+x)
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=b(2csA+1)，则下列结论正确的有( )
A. A=2B
B. 若a= 3b，则△ABC为直角三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，1tanB−1tanA的最小值为1
D. 若△ABC为锐角三角形，则ca的取值范围为( 22,2 33)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2−b2= 3ac，则角B的值为______．
14.已知sinα=15−csα，则sin2α= ______．
15.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山底C在西偏北75°的方向上，山顶D的仰角为30°，则此山的高度CD= ______m.
16.已知向量a，b，满足|a|=2|b|=3|c|=6，若以向量a，b为基底，将向量c表示成c=λa+μb(λ,μ为实数)，都有|λ+μ|≤1，则a⋅b的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知|a|=10，|b|=4，a与b的夹角θ为120°.求：
(1)a⋅b；
(2)(a−2b)⋅(a+b)；
(3)(a−b)2．
18.(本小题12分)
已知csα=35,α∈(−π2,0)．
(1)求cs(α−π3)的值；
(2)若sin(α+β)=− 210,β∈(0,π2)，求β的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3cs2x．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[0,π6]上的取值范围．
20.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcsC=2a+c．
(1)求角B的大小；
(2)若b=2 3，D为AC边上的一点，BD=1，且，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．)
21.(本小题12分)
已知a=( 3sinx,−csx),b=(csx,csx),f(x)=a⋅b．
(1)求函数f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合；
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)=12且b= 3，求△ABC周长的取值范围．
22.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π2)，已知其在x∈(0,6π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时函数取得最大值为2；当x=5π，函数取得最小值为−2．
(1)求出此函数的解析式；
(2)是否存在实数m，满足不等式Asin(ω −m2+2m+φ)>Asin(ω −m2+1+φ)，若存在求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
(3)若将函数f(x)的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的12得到函数g(x)，再将函数g(x)的图像向左平移φ0(φ0>0)个单位得到函数h(x)，已知函数y=10g(x)+lgh(x)的最大值为10，求满足条件的φ0的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：MA−(BA−CM)+BC=MA+CM+AB+BC=CA+AC=0．
故选：D．
根据向量的线性运算求解．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：cs75°=cs(45°+30°)
=cs45°cs30°−sin45°sin30°
= 22× 32− 22×12
= 6− 24．
故选：C．
由75°=45°+30°，利用两角和的余弦公式求解即可．
本题考查了两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为向量a与 b共线，
所以6(x−1)−2(2−x)=0，
解得x=54．
故选：B．
直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为a= 2,b= 5,B=π6，
由正弦定理可得asinA=bsinB，
所以sinA=asinBb= 22 5= 1010．
故选：A．
利用正弦定理计算即得．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：只需将函数y=sin4x的图象向右平移π12个单位长度，
即可得到函数y=sin(4x−π3)的图象，
故选：D．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据平面向量基底的选取要求，为不共线的非零向量，而C选项：2e1+e2=2(e1+12e2)为共线向量，则不能作为基底，
故选：C．
根据向量基底的定义可选．
本题考查向量基底的定义，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设a与b的夹角为θ，
平面向量a=(−1,2)，b=(3,4)，
则a⋅b=(−1)×3+2×4=5，|b|= 32+42=5，
则a在b上的投影向量为|a|⋅csθ|b|b=a⋅b|b|2b=525(3,4)=(35,45)．
故选：B．
根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，可得BD=−14AB，BC=AC−AB，
因为BP是△DBC的中线，所以BP=12(BD+BC)=−18AB+12(AC−AB)=−58AB+12AC．
故选：C．
根据题意，以AB,AC作为基底，依次表示出BD,BC，然后根据三角形中线的性质算出答案．
本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：选项A，sin15°+cs15°= 2sin(15°+45°)= 2sin60°= 2× 32= 62，错误；
选项B，2(cs2π12−sin2π12)=2csπ6=2× 32= 3，正确；
选项C，1+tan15°1−tan15∘=tan45°+tan15°1−tan45∘tan15∘=tan(45°+15°)=tan60°= 3，正确；
选项D，2sin15°cs15°=sin30°=12，错误．
故选：BC．
分别根据辅助角公式，二倍角公式以及两角和的正切公式求解．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：若|a|=|b|，但两向量方向不确定，A显然错误；
根据共线向量的定义可知，AB与BA方向相反，是共线向量，B正确；
由共线向量的定义可知，当AB与CD是共线向量时，AB也可能与CD平行，C错误；
当b=0时，D显然错误．
故选：ACD．
由已知结合向量的基本概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：根据函数图象，易知：A=2，T=43(7π12+π6)=π，
所以ω=2，
由f(7π12)=−2⇒2sin(7π6+φ)=−2⇒φ=π3+2kπ，k∈Z．
所以f(x)=2sin(2x+π3+2kπ)=2sin(2x+π3)，k∈Z．
因为f(0)=2sinπ3= 3，故A错误；
由−π2≤2x+π3≤π2⇒−π2≤2x+π3≤π2⇒−5π12≤x≤π12．
因为[−π3,0]⊆[−5π12,π12]，所以函数f(x)在[−π3,0]上单调递增，故B正确；
将f(x)的图象向左平移π6个单位得：y=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3)，不是偶函数，故C错误；
因为f(x+π2)=2sin(2x+π+π3)=−2sin(2x+π3)=−f(x)，故D正确．
故选：BD．
先根据函数的图象确定函数的解析式，再由解析式讨论函数的性质．
本题主要考查了正弦函数的图象变换及正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为c=b(2csA+1)，由正弦定理可得sinC=sinB(2csA+1)，
在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
可得sin(A−B)=sinB，
所以A−B=B，
即A=2B，所以A选项正确；
B中，a= 3b，可得sinA= 3sinB，由A选项可得sin2B= 3sinB，
则2sinBcsB= 3sinB，在△ABC中，sinB>0，
可得csB= 32，则B=π6，A=π3，所以C=π2，即△ABC为直角三角形，所以B选项正确；
C中，因为△ABC为锐角三角形，由A选项可得A=2B，
所以0所以1tanB−1tanA=1tanB−1−tan2B2tanB=12tanB+tanB2，
设s=tanB∈( 33,1)，
设g(s)=12s+s2在( 33,1)单调递减，所以g(s)>g(1)=1，
所以C选项不正确；
D中，△ABC为锐角三角形中，ca=sinCsinA=sin(π−A−B)sinA=sin3Bsin2B=
sin2BcsB+cs2BsinBsin2B=csB+sinB(2cs2B−1)2sinBcsB=2csB−12csB，
设t=csB，
因为△ABC为锐角三角形，所以0所以csB∈( 22, 32)，
即t∈( 22, 32)，
令f(t)=2t−12t，t∈( 22, 32)，则函数f(t)单调递增，
f( 22)即f( 32)= 3−1 3=2 33，
所以f(t)∈( 22,2 33)，
所以ca∈( 22,2 33)，所以D正确．
故选：ABD．
由题意及正弦定理可得A=2B，三角形中，由内角之间的关系，分别对所给命题的真假进行判断．
本题考查正弦定理的应用和三角函数的性质的应用，函数的性质的应用，属于中档题．
13.【答案】π6
【解析】解：在△ABC中，a2+c2−b2= 3ac，
由余弦定理可得，csB=a2+c2−b22ac= 3ac2ac= 32，
∵0故答案为：π6．
由已知直接利用余弦定理的推论求解．
本题考查余弦定理的应用，是基础题．
14.【答案】−2425
【解析】解：由sinα=15−csα，可得(sinα+csα)2=(15)2，
可得1+2sinαcsα=125，
可得2sinαcsα=−2425,sin2α=−2425．
故答案为：−2425．
利用平方关系和二倍角公式计算即可得出结果．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15.【答案】100 6
【解析】解：设此山高h(m)，则BC= 3h(m)，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得： 3hsin30°=600sin45∘，
解得h=100 6(m)．
即此山的高度CD=100 6(m)．
故答案为：100 6．
设此山高h(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，再在△ABC中利用正弦定理求得h．
本题考查解三角形，考查正弦定理的应用，正确作出图形是关键，是基础题．
16.【答案】4−4 10
【解析】【分析】
本题考查向量共线定理的推论及等和线定理，数形结合思想，函数思想，属中档题．
设OA=a，OB=b，OC=c，根据c=λa+μb，且|λ+μ|≤1得点C在直线AB上或在点O与AB直线之间，当AB直线与以O为圆心，2为半径的圆线切时可得a⋅b取得最小值．
【解答】
解：如图，设OA=a，OB=b，OC=c，
∵|a|=2|b|=3|c|=6，
∴OA=6，OB=3，OC=2，∴点C在以O为圆心，2为半径的圆上，
∵c=λa+μb，且|λ+μ|≤1，
根据向量共线定理的推论及等和线定理可得：
点C在直线AB上或点O与AB直线之间，
即直线AB与以O为圆心，2为半径的圆O相离或相切，
∵=∠AOB，
∴a⋅b=OA⋅OB=OA×OB×cs∠AOB=18cs∠AOB，又∠AOB∈[0,π]，
∴当∠AOB最大时，cs∠AOB最小，a⋅b取得最小值，
而当∠AOB最大时，直线AB与圆O相切，切点为C，
设∠BOC=α，∠AOC=β，又OC⊥AB，OA=6，OB=3，OC=2，
∴csα=23，csβ=26=13，
∴sinα= 53，sinβ=2 23，
∴cs∠AOB的最小值为cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ
=23×13− 53×2 23=2−2 109，
∴a⋅b的最小值为18×(2−2 109)=4−4 10．
故答案为：4−4 10．
17.【答案】解：(1)已知|a|=10，|b|=4，a与b的夹角θ为120°，
则a⋅b=|a|⋅|b|cs120°=10×4×(−12)=−20；
(2)(a−2b)⋅(a+b)=a2+a⋅b−2a⋅b−2b2
=|a|2−a⋅b−2|b|2
=100−(−20)−2×42
=88；
(3)(a−b)2=a2−2a⋅b+b2
=|a|2−2a⋅b+|b|2
=100−2×(−20)+42
=156．
【解析】(1)根据数量积概念和运算律可得．
(2)根据数量积概念和运算律可得．
(3)根据数量积概念和运算律可得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
18.【答案】解：(1)由sin2α+cs2α=1,csα=35,α∈(−π2,0)，可得sinα=−45，
所以cs(α−π3)=csαcsπ3+sinαsinπ3=35×12+(−45)× 32=3−4 310，
(2)由α∈(−π2,0)．β∈(0,π2)，可得α+β∈(−π2,π2)，
又sin2(α+β)+cs2(α+β)=1,sin(α+β)=− 210，
所以cs(α+β)=7 210，
csβ=cs(α+β−α)=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=(− 210)×35−7 210×(−45)= 22，
β∈(0,π2),可得β=π4．
【解析】(1)结合同角基本关系先求出sinα，然后利用两角差的余弦公式即可求解；
(2)结合同角平方关系及两角差的余弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)，
故T=π；
(2)当0≤x≤π6时，π3≤2x+π3≤2π3，
所以 32≤sin(2x+π3)≤1，
故f(x)在区间[0,π6]上的取值范围为[ 3,2]．
【解析】(1)先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；
(2)由已知角x的范围，结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的周期公式及取值范围的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为2bcsC=2a+c，
由正弦定理知，2sinBcsC=2sinA+sinC，
在三角形中，∵sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
代入上式得2csBsinC+sinC=0，
∵C∈(0,π)，
∴sinC>0，csB=−12，
∵B∈(0,π)，所以B=23π；
(2)若选①：由BD平分∠ABC得，S△ABC=S△ABD+S△BCD，BD=1，
所以12acsin23π=12×1×csinπ3+12×1×asinπ3，
即ac=a+c，
在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2−2accs23π，
又b=2 3，∴a2+c2+ac=12，即(a+c)2−ac−12=0，
所以(ac)2−ac−12=0，
解得ac=4(ac=−3舍去)，
所以S△ABC=12acsinB=12×4×sin23π= 3．
所以△ABC的面积为 3．
若选②：因为D为线段AC的中点，所以BD=12(BA+BC)，
两边平方可得BD2=14(BA2+BC2+BA⋅BC)，
而BD=1，
所以1=14(c2+a2+2accsB)，而B=23π，
可得a2+c2−ac=4，
在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
即a2+c2+ac=12，
联立，可得ac=4，
S△ABC=12acsinB=12×4×sin23π= 3．
所以△ABC的面积为 3．
【解析】(1)由题意和正弦定理及三角形中角的关系可得B角的余弦值，进而求出B角的大小；
(2)若选①由角平分线及BD的值，可得S△ABC=S△ABD+S△BCD，两边整理可得a，c的关系，再由△ABC中余弦定理可得a，c的关系，两式联立，进而求出ac的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积；若选②由题意可得向量的关系，两边平方可得a，c的关系，再由余弦定理a，c的关系，两式联立求出ac的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积．
本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)已知a=( 3sinx,−csx),b=(csx,csx),f(x)=a⋅b，
则f(x)= 3sinxcsx−cs2x= 32sin2x−12cs2x−12=sin(2x−π6)−12，
当2x−π6=2kπ−π2，k∈Z，
即x=kπ−π6，k∈Z时，函数f(x)的最小值为−32，
此时{x|x=kπ−π6,k∈Z}；
(2)已知f(B)=12，
则sin(2B−π6)=1，
即2B−π6=π2，
即B=π3，
又b= 3，
则asinA=csinC=bsinB=2，
则a=2sinA，c=2sinC，
则a+c=2sinA+2sinC=2sin(2π3−C)+2sinC= 3csC3sinC=2 3sin(C+π6)，
又C+π6∈(π6,5π6)，
则sin(C+π6)∈(12,1],
即a+c∈( 3,2 3],
则a+b+c∈(2 3,3 3],
即△ABC周长的取值范围为(2 3,3 3]．
【解析】(1)由平面向量数量积的运算，结合三角函数的性质求解；
(2)由正弦定理，结合三角函数的性质求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查正弦定理及三角函数的性质，属中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)max=f(π)=2，f(x)min=f(5π)=−2，ω>0，
又f(x)在x∈(0,6π)内只取到一个最大值和一个最小值，
∴A=2,T=2πω=2×(5π−π)=8π，∴ω=14，
∵f(π)=2sin(π4+φ)=2，∴π4+φ=2kπ+π2,k∈Z，
则φ=2kπ+π4,k∈Z，又0≤φ≤π2，∴φ=π4，
∴f(x)=2sin(14x+π4)．
(2)假设存在实数m，满足题设不等式，
则m满足−m2+2m≥0−m2+1≥0，解得0≤m≤1，
∵−m2+2m=−(m−1)2+1≤1，∴0≤ −m2+2m≤1，
同理0≤ −m2+1≤1，
当0≤x≤1时，π4≤14x+π4<π2，故f(x)=2sin(14x+π4)在[0,1]上单调递增，
若有Asin(ω −m2+2m+φ)>Asin(ω −m2+1+φ)，
只需要 −m2+2m> −m2+1，即m>12成立即可，
∴存在m∈(12,1]，使Asin(ω −m2+2m+φ)>Asin(ω −m2+1+φ)成立．
(3)由题意得g(x)=sin(14x+π4),h(x)=sin(14x+π4+14φ0)，
∵函数y=10x与函数y=lgx均为单调增函数，且−1≤g(x)≤1，0∴当且仅当g(x)=sin(14x+π4)与h(x)=sin(14x+π4+14φ0)同时取得1才有y=10g(x)+lgh(x)的最大值为10，
由g(x)=sin(14x+π4)=1，得14x+π4=π2+2kπ,k∈Z，
则由h(x)=sin(14x+π4+14φ0)=1，得sin(π2+2kπ+14φ0)=cs(14φ0)=1，
∴14φ0=2kπ,k∈Z，则φ0=8kπ，k∈Z，
又φ0>0，∴φ0的最小值为8π．
【解析】(1)先利用三角函数最值与周期的性质求得A，ω，再由f(π)=2求得φ，从而得解；
(2)先根据根号的性质求得m的取值范围，再结合f(x)的单调性得到关于m的不等式，由此得解；
(3)先利用三角函数平移的性质求得g(x)与h(x)，再利用复合函数的单调性确定满足条件时g(x)与h(x)的取值，从而求得φ0的范围，由此得解．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的确定，正弦型函数的性质，存在性问题的应用，函数的单调性，主要考查学生的运算能力，属于中档题．