2023年山东省济南市莱芜区胜利中学初中学业水平考试模拟冲刺卷数学模拟预测题(一)（原卷版+解析版）

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（120分钟 150分）
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数的乘方，相反数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数）．解题的关键是先将化简，再根据相反数的定义即可得解．
【详解】解：，
∴的相反数是．
故选：B．
2. 如图在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选D．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
4. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据a，b的取值分类讨论即可．
【详解】解：若a＜0，b＜0，
则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，
则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键．
5. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选：C．
6. 随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，业务量由507亿件增加到833.6亿件，2020年快递业务量为833.6亿件，逐年分析即可列出方程．
【详解】设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，
2018年我国快递业务量为：507亿件，
2019年我国快递业务量为：=亿件，
2020年我国快递业务量为：+，
根据题意，得：
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
7. 已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A. m≤3B. m≤3且m≠2C. m＜3D. m＜3且m≠2
【答案】D
【解析】
【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m的取值范围.
【详解】=1，
解得：x=m﹣3，
∵关于x的分式方程=1的解是负数，
∴m﹣3＜0，
解得：m＜3，
当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．
8. 矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，交于点，根据翻折的性质知，，，垂直平分，说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：连接，交于点，
在矩形中，，，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，，
∵点为的中点，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，利用等积法求出的长是解题的关键．
9. 如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接，过点作，
此时点坐标可表示为，
∴，，
在中，，
又∵半径为5，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②4a+b+c=0；
③a﹣b+c＜0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A. ①②③B. ③④⑤C. ①②④D. ①④⑤
【答案】C
【解析】
【详解】①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，
∴﹣=2，c=0，
∴b=﹣4a，c=0，
∴4a+b+c=0，结论②正确；
③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，
∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选C．
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．直接填写最后结果）
11. 如图，已知， 垂足为点，，则等于_________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握知识点．
根据三角形的内角可以求出的度数，然后根据平行线的性质，可以得到的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 分解因式：4ax2-ay2=________________.
【答案】a（2x+y）（2x-y）
【解析】
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【详解】原式=a（4x2-y2）
=a（2x+y）（2x-y），
故答案为a（2x+y）（2x-y）．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13. 如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为____.
【答案】24
【解析】
【详解】试题分析：因为四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可知，BD与AC互相垂直且平分，因为，AB=15,所以BD=9，根据勾股定理可求的AC=12，即AC=24
考点：三角函数、菱形性质及勾股定理；
14. 如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵，
∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB−AE= ，
∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC

=
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
【详解】解：依题意，3分钟进水30升，则进水速度升/分钟，
3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
则排水速度为升/分钟，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数图象问题，从函数图象获取信息是解题的关键．
16. 如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为______．
【答案】40
【解析】
【分析】过C1、C2、C3…作x轴垂线，垂足分别为D1、D2、D3…，求得，，，…是等腰直角三角形，D1、D2、D3…为OA1、A1A2、A2A3…中点；C1（y1，y1）代入反比例函数可得y1，C2（4+y2，y2）代入可得y2，…，根据坐标规律计算求值即可；
【详解】解：如图，过C1、C2、C3…作x轴垂线，垂足分别为D1、D2、D3…，
∵∠B1OA1=∠B2A1A2=∠B3A2A3=…=45°，
∴，，，…是等腰直角三角形，
∵B1A1⊥x轴，B2A2⊥x轴，B3A3⊥x轴，…，
∴C1D1∥B1A1，C2D2∥B2A2，C3D3∥B3A3，…，
∵C1、C2、C3…为OB1、A1B2、A2B3…中点，
∴C1 D1、C2 D2、C3 D3、…为、、、…的中位线，
∴D1、D2、D3…为OA1、A1A2、A2A3…中点，
中： OD1=D1C1= y1，则C1（y1，y1），
，解得：y1=2（经检验符合题意），即y1=，
中：A1D2=D2C2= y2，则x2=2y1+ y2，C2（4+y2，y2），
，解得：y2=（经检验符合题意），即y2=，
中：设A2D3=D3C3=y3，则x3=2y1+2y2+y3，C2（+y3，y3），
，解得：y3=（经检验符合题意），
同理可得y4=，
…，
y400=，
=++…+=40，
故答案为：40；
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，反比例函数解析式，公式法解一元二次方程，通过解一元二次方程方程求得坐标规律是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用绝对值的性质以及非零数的零次幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简即可得到答案．
【详解】解：
=
＝
＝．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各式是解答此题的关键．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】先解得每个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答的关键．
19. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元．
（1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？
（2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？
【答案】（1）每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
（2）至少要购进A型早餐机5台．
【解析】
【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可；
（2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得：
，
解得：，
答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
【小问2详解】
解：设购进A型早餐机n台，依题意得：
80n+120（20﹣n）≤2200，
解得：n≥5，
答：至少要购进A型早餐机5台．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键的是理解题意找出等量关系列出方程，以及根据条件列出不等式求解．
20. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
21. 2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
（1）表中___________，___________，___________；
（2）请补全频数分布直方图：
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
【答案】（1）30，0.3，0.4
（2）见解析 （3）选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为
【解析】
【分析】（1）由总人数减去已知的频数即可求出a的值，再根据频率等于频数除以总数可得b、c的值；
（2）根据a的值补全直方图即可；
（3）根据题意，列表，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
，
，
，
故答案为：30，0.3，0.4；
【小问2详解】
频数分布直方图如图所示：
【小问3详解】
用分别表示3名女生，用d表示1名男生，列表如下：
共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点睛】本题考查了统计表和频数分布直方图，涉及求频率，画频数分布直方图，用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
22. 如图，两个全等的等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，在轴上，，，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把沿射线移动，当点落在图象上的时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的性质可得AB=OA=OC=OD=，则可求得B点坐标，代入可求得k的值；
（2）由平移的性质可知DD′∥OB，过D′作D′E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点M，由D点坐标，则可设出D′坐标，代入反比例函数解析式，则可得到关于D点坐标的方程，可求得D点坐标．
【详解】解：（1）∵和 为全等的等腰直角三角形，，
∴，
∴点坐标为，
代入得，；
∴反比例函数解析式为；
（2）依题意，得，过作轴于点，交于点，
设交轴于点，
∵，，
∴，
∴点坐标为，
设横坐标为，则，
∴，
∴，
∴，
∵在反比例函数图象上，
∴，
解得：，（舍去），
∴
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平移的性质等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（2）中表示出D′坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
23. 如图，直线经过上的点C，并且交直线于E，D，连接．
（1）试猜想直线与的位置关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，的半径为3，求的面积．
【答案】（1）直线是的切线，理由见解析
（2）证明见解析 （3）12
【解析】
【分析】本题考查了圆的综合题，其中涉及到的知识点有：①切线的判定，例如：第（1）题，是利用等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，得到，证明是的切线；②相似三角形的判定与性质．例如：第（2）题，是根据题意证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质，得到线段和的数量关系；③三角形的面积公式；④等腰三角形的性质．
（1）连接，根据，可以证明，利用切线的判定定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得到是的切线；
（2）根据是直径，直径所对的圆周角是直角，以及圆的切线垂直于过切点的半径，利用等量代换得到，又公共，可以证明，然后利用相似三角形的性质，对应线段的比相等得到．
（3）根据，得与的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出的长．在直角三角形中，由勾股定理求得边的长度；最后由三角形的面积公式即可求得的面积．
【小问1详解】
解：直线是的切线．理由如下：
如图，连接．
∵，
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：∵是的直径，
∴(直径所对的圆周角是直角)，
∴(直角三角形的两个锐角互余)．
又，
，
又，
，
，
；
【小问3详解】
，
，
由（2）知，，则，
，
设，则，
，
解得，
，
，
∵，
∴，
∴．
在中，，
则根据勾股定理求得．
∴，
∴，
即的面积是12．
24. 2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】（1）235m
（2）甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3
【解析】
【分析】（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，根据题知∠ABF=∠DAB=30°，可得，由BC的坡度i=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，可得：，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【小问1详解】
解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF=∠DAB=30°，
∴，
∵BC的坡度i=1：2.4，
∴BE：CE=1：2.4，
设BE=tm，则CE=2.4tm，
∵BE2+CE2=BC2，
∴t2+（2.4t）2=2602，
解得t=100（m），（负值已舍去），
∴h=AF+BE=235（m），
答：该滑雪场的高度h为235m；
【小问2详解】
设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，
根据题意得：，
解得x=15，
经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，
∴x+35=50，
答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【点睛】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．
25. 已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．
（1）如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；
（2）若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．
①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；
②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．
【答案】（1）等腰三角形，
（2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．
（2）①过点E作于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．
②连接，根据，得，即是等边三角形，把旋转得，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到，则可得，根据三角形相似的性质即可求证结论．
【小问1详解】
解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
，
故答案为：等腰三角形，．
【小问2详解】
①过点E作于点H，如图所示：
∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴，
∵是等边三角形，且与重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，AE=6
在中，，
又由（1）知，
∴，则，
∴在中，由勾股定理得：．
②连接，如图3所示：
∵，
∴，
∵由（1）知是等腰三角形，
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
∴绕点D顺时针旋转后与重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；
（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．
【答案】（1）y＝x2+x+
（2）∠PCD＝45°
（3）OP+BP的最小值为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点M的坐标为（1，3），然后证明四边形OBDC是正方形，过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，如图2，证明△PEH≌△HOB得到PE＝OH，EH＝OB，然后推出EC＝EP，得到∠ECP＝45°，则∠PCD＝45°；
（3）根据∠PCD＝45°可知点P在直线PC上运动，作点O关于直线PC的对称点F，连接BF与直线PC交于，连接，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，则，，故当P在的位置，即B、F、P三点共线时，的值最小，最小为BF，由此求解即可．
【小问1详解】
解：将点A（﹣1，0），B（3，0）代入中
得 ，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴点M的坐标为（1，3），
∵MC⊥y轴，BD∥y轴，∠COB=90°，
∴矩形OBDC中，CO＝OB＝3．
∴四边形OBDC是正方形，
过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，如图2，
∵∠PHB＝90°，
∴∠PHE+∠BHO＝90°，
∵∠OBH+∠BHO＝90°，
∴∠PHE＝∠OBH，
又HP＝HB，
∴△PEH≌△HOB（AAS），
∴PE＝OH，EH＝OB，
∵OB＝OC，
∴OC＝EH，
∴EC＝OH，
∴EC＝EP，
∴∠ECP＝45°，
∴∠PCD＝45°；
【小问3详解】
解：如图3，
由（2）可知，点P在直线PC上运动，
作点O关于直线PC的对称点F，连接BF与直线PC交于，连接，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，
∴，
∴，
∴当P在的位置，即B、F、P三点共线时，的值最小，最小为BF，
∵CD∥x轴，
∴∠PCD＝∠PQO＝45°，
∴OQ＝OC＝OB＝3，
由轴对称的性质可知：∠FQC＝∠PQO＝45°，FQ＝OQ＝3，
∴∠FQB＝90°，
∴BF＝，
∴OP+BP的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．
成绩x/分
频数
频率
15
0.1
a
0.2
45
b
60
c
A
B
C
d
A
BA
CA
dA
B
AB
CB
dB
C
AC
BC
dC
d
Ad
Bd
Cd