2023年山东省青岛市高新区中考数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 2023年《政府工作报告》提出，支持学前教育发展资金安排250亿元，扩大普惠性教育资源供给．其中250亿元用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键．
【详解】解：250亿．
故选：C．
2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
3. 如图所示，正三棱柱的左视图( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据简单几何体的三视图，可得答案．
【详解】主视图是一个矩形，俯视图是两个矩形，左视图是三角形，
故选A．
【点睛】本题考查了简单几何体三视图，利用三视图的定义是解题关键．
4. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“当，一元二次方程有两个不相等的实根，当，一元二次方程有两个相等的实根，当，一元二次方程没有实数根”是解本题的关键．利用根的判别式逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：A．，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．，
∵，
∴，
∴方程没有实数根，选项B不符合题意；
C．，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D．原方程化为一般形式为．
∵，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，选项D符合题意．
故选：D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，求一个数的算术平方根，根据相关运算法则，逐一进行判断即可。
【详解】解：A、，故选项运算错误，不符合题意；
B、，故选项运算错误，不符合题意；
C、，故选项运算正确，符合题意；
D、，故选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
6. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x），
∴可列方程为：2500（1+x）2=3600；
故选：B．
7. 点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的坐标是（ ）
A. (7,9)B. (7,3)C. (3,9)D. (3,3)
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．让的横坐标减2，纵坐标加3即可得到平移后点的坐标．
【详解】解：根据题意，平移后点的坐标的横坐标为：；纵坐标为；
即．
故选：C．
8. 如图，⊙O与△ABO的边AB相切，切点为B，将△ABO绕点B按顺时针方向旋转得到△A'BO'，使点O'落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C，若∠A＝25°，则∠OCB为（ ）
A. 85°B. 87．5°C. 88°D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO'，如图，再根据旋转的性质得∠A'＝∠A＝25°，∠ABA'＝∠OBO'，BO＝BO'，则判断△OO'B为等边三角形得到∠OBO'＝60°，所以∠ABA'＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB．
【详解】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
连接OO'，如图，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，
∴∠A'＝∠A＝25°，∠ABA'＝∠OBO'，BO＝BO'，
∵OB＝OO'，
∴△OO'B为等边三角形，
∴∠OBO'＝60°，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠OCB＝∠A＋∠ABC＝25°＋60°＝85°．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质．解题的关键是熟练掌握切线的性质．
9. 二次函数与一次函数y＝2ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得由抛物线的对称轴为直线；一次函数y＝2ax＋b的图象与x轴交于点 ，再逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线；一次函数y＝2ax＋b的图象与x轴交于点 ，
A、此时一次函数y＝2ax＋b的图象没有过点 ，故本选项不符合题意；
B、此时一次函数y＝2ax＋b的图象没有过点 ，故本选项不符合题意；
C、此时一次函数y＝2ax＋b图象没有过点 ，故本选项不符合题意；
D、此时一次函数y＝2ax＋b的图象过点 ，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
10. 如图，在矩形中，为边上一点，．将沿翻折得到，的延长线交边于点，连接，过点作交于点，连接，分别交于点E，F．现有以下结论：
①连接，则垂直平分；
②四边形是菱形；
③；
④若，则．其中正确的结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出垂直平分；过点P作于点G，易知四边形，四边形是矩形，所以，，，易证，所以，即，判断出③正确；，所以，由题意可知：，所以，由于，即，从而可知，又易证四边形是平行四边形，所以四边形是菱形；判断出②正确；由于，可设，，由，，从而求出，，由于，从而可证，，求出，，从而可求出，从而可得，判断出④错误．
【详解】解：根据折叠的性质得出垂直平分，故①正确；
如图：过点P作于点G，
由矩形的性质知，
∴四边形，四边形是矩形，

，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，故③正确；
，
，
由题意可知：，
，
，即，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，故②正确；
，
可设，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
同理：，，
，
，
，
，故④错误，
故正确的有①②③，
故选：C．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，菱形的判定，综合程度较高，需要灵活运用所学的知识．
二．解答题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 计算：
（1）．
（2）
（3）．
（4）．
【答案】（1）6 （2）10
（3）1 （4）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；
（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式．
【小问2详解】
解：原式．
【小问3详解】
解：原式．
【小问4详解】
解：原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：．
12. 甲、乙两位学生参加校运会射击选拔赛，两人各射击了5次，小明根据他们的成绩（单位：环）列表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小明的作业）．
甲、乙两人射击成绩统计表
小明的作业
（1）请参照小明的计算方法，求出乙成绩的平均数与方差．
（2）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【答案】（1）6（环），1.6（环2）；
（2）乙
【解析】
【分析】（1）首先求出平均数，再利用方差公式求出即可；
（2）利用两组数据的方差比较，方差小的更加稳定，得出即可．
【小问1详解】
×（7+5+7+4+7）＝6（环），
s2乙＝ [（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]＝1.6（环2）；
小问2详解】
选择乙，甲和乙平均成绩相同，乙的方差小，发挥更稳定些，故推选乙．（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了方差以及平均数求法等知识，熟练记忆方差公式是解题关键．
13. “五一”劳动节，某市在影视城举行旅游文化节，几名同学合租一辆面包车去游览，面包车的租价是180元；出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元租车费．问：参加游览的同学一共有多少名？若设参加游览的同学一共有x人，请你根据题意列出方程（不用解答）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键以钱数差价作为等量关系列方程．设参加游览的同学一共有x人，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元租车费，可列方程．
【详解】解：设参加游览的同学一共有x人，
由题意得：．
14. 如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
（1）求k的值；
（2）求的面积；
（3）连接，直接写出的面积．
【答案】（1）6 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数解析式，反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长交y轴、x轴分别为A、B，得到，进而得到，求出即可求解；
（3）根据题意得到，由即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
k的值为6；
【小问2详解】
解：如图，延长交y轴、x轴分别为A、B，
∵点
∴，
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
的面积为；
【小问3详解】
解：的面积为．理由：
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴
，
的面积是．
15. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】阴影部分的面积可由梯形OBCD和扇形OBD的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出梯形上底CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD=AB，由此可求出CD的长，即可得解．
【详解】解：连接OD，如下图：
∵∠DAB＝45°
∴
∴
∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2
∴；
∴图中阴影部分的面积等于．
故答案为：
【点睛】此题主要考查扇形的面积计算方法及平行四边形的判定与性质，不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算，难度一般．
16. 阅读理解：
我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图像，研究一元二次方程的根．那么我们能否借助二次函数的图象研究一元二次不等式的解集？例如：图一：与x轴的两个交点分别是，．此时有两个不相等的实数根，；观察图象可以知道：在x轴上方的图象所有点纵坐标大于0，此时对应的x的取值范围是或；所以不等式的解集为：或；类比上述所了解的内容，相信你一定能够解决如下问题：
（1）的解集是：______．
（2）图二是把的图象沿x轴翻折而形成的图象，求此二次函数解析式，根据图象求出和的解集．
【答案】（1）-1（2），当-1【解析】
【分析】（1）由图一直接观察图象在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可；
（2）先由沿x轴翻折求出新抛物线的解析式为及与x轴的两个交点，，再结合图象观察可得和的解集．
【小问1详解】
解：由图一可知，当-1故答案为：-1【小问2详解】
∵把的图象沿x轴翻折而形成的图象，
∴a=-1，b=2，c=3
∴图二抛物线的解析式为，与x轴的两个交点仍为，
由图象可知当-1当或时，．
【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三．解答题（共10小题，满分70分）
17. 已知：．求作：，其中O为的中点，且与直线相切．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，切线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．作的垂直平分线找到的中点O，过点O作直线的垂线，垂足为D，以点O为圆心，长为半径作即可．
【详解】解：如图，即为所求．
．
18. 计算．
（1）解不等式组：
（2）化简：÷（1﹣）
【答案】（1）x≥1；（2）
【解析】
【分析】（1）分别求解两个不等式，然后将得到的解集合并即可得到答案；
（2）先算括号内的减法，然后根据特点适当因式分解，最后算乘法．
【详解】解：（1），
由不等式①，得
x＞﹣3，
由不等式②，得
x≥1，
故原不等式组的解集是x≥1；
（2）
＝．
【点睛】本题考查解不等式组和分式的化简，在分式化简的过程中，我们应尽可能先因式分解，往往在分解后可以约掉一部分，减少计算量．
19. 如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘(当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘)．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）若规定两个数字的积为偶数时甲赢，两个数字的积为奇数时乙赢，请问这个游戏对甲、乙两人是否公平？
【答案】（1）树状图见解析；（2）不公平，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵两个数字的积为偶数有8种情况，
两个数字的积为奇数有4种情况
∴两个数字的积为偶数的概率是：．
两个数字的积为奇数的概率是：．
∴这个游戏对甲、乙两人是不公平的．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20. 某数学实践活动小组为了测量山坡下水平面上塔的高度，因为塔底有障碍物不能直接测量，活动小组在坡底C处测得塔顶A的仰角为，沿着斜坡走了39米到达D处，然后在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡CD的坡度为，求塔高．（A，B，C，D在同一平面内）（参考数据：）

【答案】塔高约73.2米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡比问题，根据题意构造直角三角形是解题的关键．过D作于E，于F，利用斜坡的坡度为，得到，设米，则米，求出米，米，设米，则米，求出，根据，求出，由，建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过D作于E，于F，

则，
∵斜坡的坡度为，
∴，
设米，则米，
在中，米，由勾股定理得：，
解得：（负值已舍去），
∴米，米，
设米，则米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴（米），
答：塔高约为73.2米．
21. 学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了40名学生，进行了相关测试（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
信息①：40名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）；
信息②：所抽取的40名学生中，各年级被抽取学生的人数及测试成绩的平均数如下表：
信息③：测试成绩在这一组的是：70，72，72，73，74，76，76，78，79．
根据以上信息回答下列问题：
（1）抽取的40名学生测试成绩的中位数为 ；
（2）测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级496名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数；
（3）求被抽取40名学生的平均测试成绩．
【答案】（1）72 （2）124人
（3）分
【解析】
【分析】本题考查了平均数、频数发布直方图以及中位数的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数．
（1）根据中位数的定义直接求解即可；
（2）用样本估计总体即可；
（3）利用加权平均数公式计算即可．
【小问1详解】
由题意可知，抽取的40名学生测试成绩从小到大排列、，
故答案为：72；
【小问2详解】
（人）；
答：该校初中三个年级496名学生中优秀的学生约为124人；
【小问3详解】
（分），
答：被抽取40名学生的平均测试成绩为分．
22. 如图1，平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）判断四边形OBAC的形状，并证明；
（2）直接写出反比例函数y＝（k≠0）的表达式；
（3）如图2，将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移过程中△O′A′B'与△OAB重叠部分的面积为S．探究下列问题．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：若点B的对应点B′恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求m的值，并直接写出此时S的值；
B：若S＝S△OAB，求m的值；
（4）如图3，连接BC，交AO于点D．点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上的一点．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择（ ）题．
A：在x轴上是否存在点Q，使得以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P，Q的坐标；若不存在，说明理由；
B：在坐标平面内是否存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）四边形ABOC是菱形，证明见解析；（2）y＝；（3）A：S＝；B：m＝4﹣2；（4）A：当点P（6，2），点Q为（7，0）或（﹣7，0）时，或当点P（﹣6，﹣2），点Q（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；B：存在，点Q的坐标是（﹣2+2，4+）或（﹣2﹣2，4﹣）或（4，2）或（﹣10，﹣5）．
【解析】
【分析】（1）如图1，过点A作AE⊥OB于E，根据点A、B的坐标可求出AB和BO的长，进而可得AB与BO的关系，由折叠的性质可得AB＝AC，BO＝CO，进一步即可判断四边形ABOC的形状；
（2）由菱形的性质和点A的坐标可确定点C的坐标，把点C代入双曲线即可求出k，从而可得结果；
（3）A：由点的横坐标可确定其纵坐标，于是可得m的值，连接并延长交BO于点E，如图2，则的长可求，由平移的性质易得△ANP∽△，然后利用相似三角形的性质即可求出S的值；
B：由平移的性质可得BO∥，进而可得△ANP∽△，根据相似三角形的性质即可求出m的值；
（4）A：根据菱形的性质可得点D坐标，若以OD为边，则可得点P纵坐标，进而可得点P坐标，然后根据平行四边形的性质即可求得结果；若以DO为对角线，根据平行四边形的性质解答即可；
B：若以AO为对角线，在坐标平面内不存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形；若以AO为边，如图5，易求得直线AO解析式，进而可求出直线OP与直线AQ解析式，然后分∠AOP＝90°与∠＝90°两种情况，分别联立双曲线与直线OP、直线AQ的关系式即可求出点P的坐标，再根据平移的性质即可求出点Q的坐标．
【详解】解：（1）四边形ABOC是菱形；
理由如下：如图1，过点A作AE⊥OB于E，
∵A，B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，0），且AE⊥BO，
∴BO＝5，BE＝3，AE＝4，
∴AB＝＝5，
∴AB＝BO，
∵将△OAB沿OA翻折，
∴AB＝AC，BO＝CO，
∴AB＝AC＝BO＝CO，
∴四边形ABOC是菱形；
（2）∵四边形ABOC是菱形，
∴AC∥BO，且A点坐标（﹣2，4），AC＝AB＝5，
∴点C（3，4），
∵点C恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数表达式为y＝；
（3）A：∵将△OAB沿y轴向下平移得到△，
∴点的横坐标为﹣5，
∴y＝﹣，∴m＝，
连接并延长交BO于点E，如图2，
∴AE＝4，＝，
∴＝，
∵S△ABO＝×5×4＝10，且将△OAB沿y轴向下平移得到△，
∴＝10，
∵BO∥，
∴△ANP∽△，
∴，
∴S＝10×＝；
B：∵BO∥，
∴△ANP∽△，
∴，
解得：m＝4﹣2或m＝4+2（舍去），
∴m＝4﹣2；
（4）A：∵四边形ABOC是菱形，∴AD＝OD，
∵A（﹣2，4），点O（0，0），
∴点D（﹣1，2），
若OD为边，则点P的纵坐标为2或﹣2，
∴y＝＝6或y＝＝﹣6，
∴点P（6，2）或（﹣6，﹣2），
如图3，当P（6，2）时，
∵四边形ODPQ是平行四边形，
∴DP＝OQ＝7，
∴点Q（7，0），
如图4，当P（﹣6，﹣2）时，
∵四边形ODQP是平行四边形，
∴OQ与PD互相平分，∴点H（﹣，0）
∴点Q（﹣7，0），
若DO为对角线，
∵四边形QOPD是平行四边形，
∴PQ与OD互相平分，
∵OD中点坐标（﹣，1）
∴点P纵坐标为2，
∴点P坐标为（6，2）
∴点Q坐标为（﹣7，0）
综上所述：当点P（6，2），点Q为（7，0）或（﹣7，0）时，或当点P（﹣6，﹣2），点Q（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；
B：若以AO为对角线，在坐标平面内不存在点Q，使得以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形；
若以AO为边，如图5，
∵A点坐标（﹣2，4），点O坐标（0，0），
∴直线AO解析式为：y＝﹣2x，
∵以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形，
当∠AOP＝90°时，
∴直线OP解析式为：y＝x，直线AQ解析式为：y＝x+5，
解方程组，得：，，
∴点P（2，）或（﹣2，﹣），
∵四边形AOPQ是矩形，O（0，0），A（﹣2，4），
∴由平移的性质可知：点O到点A的坐标平移变化与点P到点Q的坐标平移变化相同，
∵点P（2，）或（﹣2，﹣），
∴点Q的坐标为（﹣2+2，4+）或（﹣2﹣2，4﹣），
当∠＝90°，联立方程组，解得：，，
∴点P的坐标是（2，6）或（﹣12，﹣1），
∴点Q（4，2）或（﹣10，﹣5）；
综上所述：当点Q（﹣2+2，4+）或（﹣2﹣2，4﹣）或（4，2）或（﹣10，﹣5）时，以点A，O，P，Q为顶点的四边形是矩形．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的性质、平移的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，具有相当的难度，属于中考压轴题，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
23. 阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．
如图，在中，所对的边分别为，若，则．
下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：
证法1：如图1，作的平分线，∴．

设，则．
证法2：如图2，延长到点，使得，连接，
……

任务：
（1）上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）．
（2）请补全证法2剩余的部分．
【答案】（1）相似 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知，是通过构造相似三角形，然后作答即可；
（2）如图2，延长到点，使得，连接，则，．由，可得．证明，则，即，整理可得．
【小问1详解】
解：由题意知，构造相似三角形，
故答案为：相似；
【小问2详解】
证明：如图2，延长到点，使得，连接，

，
．
，
．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24. 在中，D是的中点，，垂足分别是．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形为正方形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定，熟练掌握以上知识点 并灵活运用是解此题的关键．
（1）先说明，再根据可证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）根据有三个角是直角四边形是矩形证得四边形是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可证得结论．
【小问1详解】
证明：如图，
∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形．
∴矩形是正方形．
25. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，每件涨价多少钱时才能使每星期售出商品的总利润最大，最大利润是多少？
【答案】每件涨价为5元总时利润最大，最大利润是6250元．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，再根据利润等于销售量乘以每件商品的利润建立函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】解：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，则
，
当时，y有最大值，最大值为6250元．
答：每件涨价为5元总时利润最大，最大利润是6250元．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，求的最大值；
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直线与两坐标的交点坐标为，，将A、B代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线解析式确定与x轴的交点坐标，再由对称的性质及两点之间线段最短即可确定点M的位置，然后代入一次函数解析式求解即可；
（3）过点P作交直线于点E，则，所以 ，当取最大值时，有最大值．
【小问1详解】
解： 直线与坐标轴交于A、B两点，
当时，，当时，，
，，
将A、B代入抛物线，得
，解得 ，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
∵抛物线的解析式为：．
∴当时，解得，
∴，
∴抛物线的对称轴为，

∵点关于对称，连接交对称轴于点M，
∴，此时取得最小值，
∴当时，，
∴；
【小问3详解】
过点P作交直线于点E，则，

设点 ，
，
，
，
代数式，当时有最大值 ，
的最大值为．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，解题的关键是构造辅助线证．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
4
7
解：＝×（9+4+7+4+6）＝6，
S甲2＝×[（9﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2]
＝×（9+4+1+4+0）
＝3.6
年级
七
八
九
相应人数
10
16
14
平均数