2020-2021学年山西省晋中市寿阳县八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年山西省晋中市寿阳县八年级上学期期中数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在下列实数中，是无理数的为（ ）
A．0B．C．D．
2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2）B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）
3．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．cm，2cm，cmB．1cm，1cm，cm
C．1cm，2cm，cmD．5cm，12cm，13cm
7．如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（1，0）D．（0，1）
8．如图，CB＝1，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
9．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）
A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米
10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10cmB．cmC．（6+）cmD．9cm
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若函数y＝（m﹣3）x|m﹣2|+3是一次函数，则m的值为 ．
12．已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下：
设鞋子的“码”数为x，长度为y（厘米），那么y与x之间的关系式是 ．
13．如果点P（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到y轴的距离为3，则P点的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标（8，4），将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D处，则OF的长度是 ．
15．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝ ，c＝ ．
三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（16分）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．（7分）已知x＝2﹣，y＝2+，求：x2+xy+y2的值．
18．（6分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出点B和点C的坐标；
（3）作出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′．（不用写作法）
19．（9分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，；
（3）在图3中，画一个三角形，使它的面积为5．
20．（7分）求代数式a+的值，其中a＝﹣2020．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）求代数式a+2的值，其中a＝﹣2019．
21．（10分）某种子商店销售玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择．
方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；
方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折．
（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）（x＞3）和付款金额y（元）之间的函数关系式；
（2）王伯伯要买20千克玉米种子，选哪种方案合适？说明理由．
（3）李叔叔花了36元，最多可买多少千克玉米种子？
22．（8分）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
23．（12分）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】（1）请叙述勾股定理；
（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）
【探索发现】（1）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 个；
（2）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上）
1．在下列实数中，是无理数的为（ ）
A．0B．C．D．
【分析】根据无理数的概念判断即可．
【解答】解：A、0是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、＝3，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2）B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）
【分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．
【解答】解：根据图示，小手盖住的点在第四象限，
第四象限的点坐标特点是：横正纵负；
分析选项可得只有D符合．
故选：D．
3．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第三个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
第四个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象．
综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个．
故选：B．
4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据分母有理化对B进行判断；利用平方差公式对C进行判断．
【解答】解：A、原式＝2﹣＝，所以A选项错误；
B、原式＝＝＝3﹣1，所以B选项正确；
C、原式＝4﹣5＝﹣1，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：B．
6．下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．cm，2cm，cmB．1cm，1cm，cm
C．1cm，2cm，cmD．5cm，12cm，13cm
【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形；
B、12+12＝（）2，能构成直角三角形；
C、12+22＝（）2，能构成直角三角形；
D、52+122＝132，能构成直角三角形．
故选：A．
7．如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（1，0）D．（0，1）
【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可．
【解答】解：∵P（m+3，2m+4）在y轴上，
∴m+3＝0，
解得m＝﹣3，2m+4＝﹣2，
∴点P的坐标是（0，﹣2）．
故选：B．
8．如图，CB＝1，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】在RT△BCO中，利用勾股定理求出BO即可知道OA的长得出结论．
【解答】解：∵BC⊥OC，
∴∠BCO＝90°，
∵BC＝1，CO＝2，
∴OB＝OA＝＝＝，
∵点A在原点左边，
∴点A表示的实数是﹣．
故选：D．
9．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）
A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故选：B．
10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，点M在棱AB上，且AM＝3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10cmB．cmC．（6+）cmD．9cm
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【解答】解：如图1，
∵AB＝9cm，BC＝6cm，BF＝5cm，
∴BM＝9﹣3＝6，BN＝5+3＝8，
∴MN＝＝10；
如图2，
∵AB＝9cm，BC＝GF＝6cm，BF＝5cm，
∴PM＝9﹣3+3＝9，NP＝5，
∴MN＝＝，
∵10＜，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若函数y＝（m﹣3）x|m﹣2|+3是一次函数，则m的值为 1 ．
【分析】利用一次函数定义可得|m﹣2|＝1，且m﹣3≠0，再解不等式和方程可得m的值．
【解答】解：由题意得：
|m﹣2|＝1，且m﹣3≠0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
12．已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下：
设鞋子的“码”数为x，长度为y（厘米），那么y与x之间的关系式是 y＝x+5 ．
【分析】根据鞋子的“码”数与长度之间的关系，通过表格数据得出相应的规律，从而得出答案．
【解答】解：∵（35+10）÷2＝22.5，
（36+10）÷2＝23，
（37+10）÷2＝23.5，
（38+10）÷2＝24，
（39+10）÷2＝24.5，
（40+10）÷2＝25，
……
∴y＝（x+10）÷2＝x+5，
故答案为：y＝x+5．
13．如果点P（x，y）的坐标满足x+y＝xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到y轴的距离为3，则P点的坐标为 （3，）或（﹣3，） ．
【分析】直接利用某个“和谐点”到y轴的距离为3，得出x的值，进而求出y的值求出答案．
【解答】解：∵某个“和谐点”到y轴的距离为3，
∴x＝±3，
∵x+y＝xy，
∴y±3＝±3y，
解得：y＝或y＝，
则P点的坐标为：（3，）或（﹣3，）．
故答案为：（3，）或（﹣3，）．
14．如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标（8，4），将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D处，则OF的长度是 5 ．
【分析】由题意得到BC＝OD＝4，DF＝FC，然后根据勾股定理求出OF的长，
【解答】解：由题意可知OD＝BC，DF＝FC，
∵B点坐标（8，4），
∴OC＝8，BC＝OD＝4，
在Rt△ODF中，DF2+OD2＝OF2，
即（8﹣OF）2+42＝OF2，
解得OF＝5，
故答案为5
15．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝ 84 ，c＝ 85 ．
【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．
【解答】解：在32＝4+5中，4＝，5＝；
在52＝12+13中，12＝，13＝；
…
则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．
三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（16分）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）利用二次根式的性质化简；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）根据二次根式的除法法则运算；
（4）根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝3﹣2+
＝；
（3）原式＝2﹣（﹣）
＝2﹣（2﹣3）
＝2﹣2+3
＝3；
（4）原式＝2﹣2﹣（1﹣3）
＝2﹣2+2
＝4﹣2．
17．（7分）已知x＝2﹣，y＝2+，求：x2+xy+y2的值．
【分析】将x2+xy+y2变形为x2+2xy+y2﹣xy，得到原式＝（x+y）2﹣xy，再把x＝2﹣，y＝2+代入计算即可求解．
【解答】解：∵x＝2﹣，y＝2+，
∴x2+xy+y2
＝x2+2xy+y2﹣xy
＝（x+y）2﹣xy
＝（2﹣+2+）2﹣（2﹣）（2+）
＝16﹣4+3
＝15．
18．（6分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出点B和点C的坐标；
（3）作出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′．（不用写作法）
【分析】（1）根据点A的坐标为（0，3），即可建立正确的平面直角坐标系；
（2）观察建立的直角坐标系即可得出答案；
（3）分别作点A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，C′A′则△A′B′C′即为所求．
【解答】解：（1）所建立的平面直角坐标系如下所示：
（2）点B和点C的坐标分别为：B（﹣3，﹣1）C（1，1）；
（3）所作△A'B'C'如下图所示．
19．（9分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，；
（3）在图3中，画一个三角形，使它的面积为5．
【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出答案；
（2）直接利用网格结合勾股定理进而得出答案；
（3）直接利用网格结合勾股定理进而得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示，即为所求；
（2）如图2所示，即为所求；
（3）如图3所示，即为所求．
20．（7分）求代数式a+的值，其中a＝﹣2020．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 小芳 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ＝|a| ；
（3）求代数式a+2的值，其中a＝﹣2019．
【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了；
（2）根据题目中的解答过程，可知错误的原因是没有正确运用被开方的数具有非负性；
（3）根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2020，
∴1﹣a＝1﹣（﹣2020）＝2021，
故小芳开方时，出现错误，
故答案为：小芳；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝|a|，
故答案为：＝|a|；
（3）a+2
＝a+2，
∵a＝﹣2019，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝6﹣（﹣2019）＝6+2019＝2025，
即代数式a+2的值是2025．
21．（10分）某种子商店销售玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择．
方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；
方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折．
（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）（x＞3）和付款金额y（元）之间的函数关系式；
（2）王伯伯要买20千克玉米种子，选哪种方案合适？说明理由．
（3）李叔叔花了36元，最多可买多少千克玉米种子？
【分析】（1）根据题意可以得到方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）（x＞3）和付款金额y（元）之间的函数关系式；
（2）先判断哪种方案合适，然后将x＝20代入（1）中的函数关系式，求出相应的函数值，比较大小，即可说明理由；
（3）将y＝36代入（1）中的函数解析式，即可得到x的值，从而可以求得最多可买多少千克玉米种子．
【解答】解：（1）由题意可得，
方案一中，购买的种子数量x（千克）（x＞3）和付款金额y（元）之间的函数关系式是y＝4x，
方案二中，购买的种子数量x（千克）（x＞3）和付款金额y（元）之间的函数关系式是：y＝5×3+5×0.7（x﹣3）＝3.5x+4.5；
（2）王伯伯要买20千克玉米种子，选方案二合适，
理由：当x＝20时，
方案一的花费为：y＝4×20＝80，方案二的花费为：y＝3.5×20+4.5＝74.5，
∵80＞74.5，
∴王伯伯要买20千克玉米种子，选方案二合适；
（3）当y＝36时，
方案一可以购买玉米种子的质量为：36÷4＝9（千克），
方案二可以购买玉米种子的质量为：（36﹣4.5）÷3.5＝9（千克），
即李叔叔花了36元，最多可买9千克玉米种子．
22．（8分）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
【分析】设AB＝x，则AC＝x+1，依据勾股定理即可得到方程x2+52＝（x+1）2，进而得出风筝距离地面的高度AB．
【解答】解：设AB＝x，则AC＝x+1，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，
∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
23．（12分）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】（1）请叙述勾股定理；
（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）
【探索发现】（1）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 3 个；
（2）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．
【分析】【实践操作】（1）勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
（2）在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：a2+b2＝c2．在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：a2+b2＝c2．
【探索发现】（1）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；
（2）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：S1+S2＝S3．
【解答】解：【实践操作】（1）如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
（2）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2＝ab×4+（b﹣a）2，
化简得：a2+b2＝c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2＝c2+ab×4，
化简得：a2+b2＝c2．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，
化简得：a2+b2＝c2．
【探索发现】（1）三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；
故答案为3；
（2）结论：S1+S2＝S3．
∵S1+S2＝π（）2+π（）2+S3﹣π（）2，
∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，
∴a2+b2＝c2．
∴S1+S2＝S3．
码
35
36
37
38
39
40
…
厘米
22.5
23
23.5
24
24.5
25
…
码
35
36
37
38
39
40
…
厘米
22.5
23
23.5
24
24.5
25
…