高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式综合训练题，共12页。试卷主要包含了若0>a>b，有下面四个不等式，有下列式子等内容，欢迎下载使用。

1．若a2，（3）a+b0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．2aba+b≥abB．a2+b2ab≥a+b
C．a+2b1a+1b≥4D．aa+2b+ba+b≥22−2
10．设正实数x，y满足2x+y=1，则（ ）
A．xy的最大值是18B．2x+1y的最小值为9
C．4x2+y2的最小值为12D．2x+y的最大值为2
11．若a,b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a+b≤2B．1a+4b≥9
C．a2+4b2≥54D．b2a+a2b≥1
12．已知正实数a，b，c满足a2+4b2=3c2，则ca+c2b的最小值为 .
13．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=4 , b+c=6，则此三角形面积的最大值为 .
14．已知0b>c>0，求使2a2+1ab+1aa−b−10ac+25c2取得最小值时的a的值.
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、多选题
评卷人
得分
三、填空题
评卷人
得分
四、解答题
参考答案：
1．D
【分析】A、B利用不等式的基本性质即可判断出；C利用指数函数的单调性即可判断出；D利用基本不等式的性质即可判断出.
【详解】A， ∵a0,∴a2>b2，错误；
B，∵ab，所以a2b3成立，所以（1）不正确，（4）不正确；
因为a+b0时，−1x−x=−x+1x≤−2x⋅1x=−2，当且仅当x=1时等号成立.
当x0，b>0，所以2aba+b≤2ab2ab=ab，当且仅当a=b时等号成立，故A错误；
对于B，由已证得2aba+b≤2ab2ab=ab，当且仅当a=b时等号成立，因为a>0，b>0，所以a2+b2a+b=a+b2−2aba+b=a+b−2aba+b≥2ab−ab=ab，当且仅当a=b时等号成立.所以a2+b2ab≥a+b，故B正确；
对于C，a+2b1a+1b=3+2ba+ab≥22ba⋅ab+3=22+3，当且仅当2ba=ab即a=2b时等号成立，故C错误；
对于D，aa+2b+ba+b=2a+b−a+2ba+2b+a+2b−a+ba+b=2a+ba+2b+a+2ba+b−2≥22a+ba+2b⋅a+2ba+b−2=22−2，当且仅当2a+ba+2b=a+2ba+b，即a+2b=2a+b时等号成立，故D正确.
故选:BD
10．ABC
【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，∵2x+y=1≥22xy，∴xy≤18，当且仅当2x+y=12x=y时，即x=14，y=12时等号成立，故A正确；
对于B，2x+1y=2x+1y(2x+y)=5+2yx+2xy≥5+24=9，当且仅当2yx=2xy2x+y=1即x=y=13时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得xy≤18，又2x+y=1，4x2+y2=(2x+y)2−4xy=1−4xy≥1−4×18=12，当且仅当x=14，y= 12时等号成立，故C正确；
对于D，(2x+y)2=2x+y+22⋅xy≤1+22⋅18=2，所以2x+y≤2，当且仅当x=14，y=12时等号成立，故D错误．
故选：ABC．
11．ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B、D，消元、结合二次函数的性质判断C.
【详解】因为a,b>0，且a+b=1，
对于A：a+b2=a+b+2ab=1+2ab≤1+a+b=2，当且仅当a=b=12时取等号，
所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时取等号，故A正确；
对于B：1a+4b=1a+4ba+b=1+4+ba+4ab≥5+2ba⋅4ab=9，
当且仅当ba=4ab，即a=13、b=23时取等号，故B正确；
对于C：a2+4b2=1−b2+4b2=5b2−2b+1=5b−152+45≥45，当且仅当b=15、a=45时取等号，故C不正确；
对于D：b2a+a2b+1=b2a+a2b+a+b≥2a⋅b2a+2b⋅a2b=4，
当且仅当a=b=12时取等号，故D正确.
故选：ABD
12．263
【分析】直接利用基本不等式由a2+4b2=3c2可得c2≥43ab，再根据基本不等式ca+c2b≥2ca⋅c2b≥263，当且仅当a=2b时取等号，即可得到ca+c2b的最小值．
【详解】因为3c2=a2+4b2≥4ab，即c2≥43ab，所以
ca+c2b≥2ca⋅c2b=2⋅c2ab≥263，上述两个不等式均是当且仅当a=2b时取等号，所以ca+c2b的最小值为263.
故答案为：263．
13．25
【分析】结合三角形的面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最大值.
【详解】p=a+b+c2=4+62=5，
所以三角形的面积S=5×5−4×5−b×5−c
=5×5−b×5−c≤5×5−b+5−c22=5×10−b−c22=5×422=25，
当且仅当b=c=3时等号成立.
故答案为：25
14．94
【分析】利用乘“1”法和基本不等式求解即可.
【详解】因为00，又bm−an2≥0（当且仅当bm＝an时取等号）
∴m2a+n2b−m+n2a+b=bm−an2aba+b≥0，即m2a+n2b≥m+n2a+b
（2）当x∈0,13时，1−3x∈0,1
∴12x+91−3x=363x+91−3x≥6+323x+1−3x=81
当且仅当61−3x=9x，即x=29时取等号
即当x=29时，12x+91−3x取得最小值81
19．a=2
【分析】将式子变形为2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2=(a−5c)2+a2+1b(a−b)，再根据基本不等式即可求出．
【详解】2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2=(a−5c)2+a2+1a(1b+1a−b)=(a−5c)2+a2+1b(a−b)，
由于a>b>c>0，所以a−b>0,b>0，
∵b(a−b)≤(b+a−b2)2=a24，当且仅当a=2b时取等号，
∴a2+1b(a−b)≥a2+4a2≥24a2⋅a2=4，当且仅当a=2时取等号，
∴ 2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2=(a−5c)2+a2+1b(a−b)≥0+4=4，
故最小值为4，且此时a=2