高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式练习题

这是一份高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式练习题，共12页。试卷主要包含了下列函数中，y的最小值为4的是，函数y=4xx2+1，下列各式中，最小值为2的有等内容，欢迎下载使用。

1．已知x>1，则y=x+4x−1取得最小值时x的值为（ ）
A．3B．2C．4D．5
2．下列函数中，y的最小值为4的是（ ）
A．y=ex+4e−xB．y=x+4x−1x>1
C．y=x+4xD．y=sinx+4sinx00，y>0，x+3y=2，则1x+1y的最小值为（ ）
A．3B．1+3
C．2+32D．2+3
5．函数y=4xx2+1（ ）
A．有最大值2，无最小值B．无最大值，有最小值−2
C．最大值为2，最小值为−2D．无最值
6．当x>2时，不等式x+1x−2≥a恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,2B．2,+∞C．4,+∞D．−∞,4
7．已知函数fx=lnx+x2+1，若正实数a，b满足f4a+fb−1=0，则1a+1b的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．13
8．已知实数x,y>1，则x+yx−1+y−1的最小值是（ ）
A．1B．2C．2D．22
9．设正实数a，b满足a+b=1，则（ ）
A．ab的最大值为12B．1a+1b的最小值为4
C．a+b的最大值为22D．a2+b2的最小值为12
10．下列各式中，最小值为2的有（ ）
A．a2b2+b2a2B．x+1x(x−2)D．x2+3x2+2
11．若正数a，b满足1a+2b=1，则（ ）
A．2a+b≥8B．2a−1+1b−2≥2C．2a+1b>12D．ab≤8
12．3−aa+6−6≤a≤3的最大值为
13．已知不等式2xx2+1≤a对任意的x∈R都成立，则实数a的最小值是 .
14．已知正实数a,b,c满足b+c=2abc， 则 a+bcb+c+8abcab+bc+ca的最小值为 .
15．用一段长为lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于lm），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值．
16．（1）当x∈(0,12)时，求y=x(1−2x)的最大值；
（2）设x≥2，求函数y=x(x+1)x−1的最小值.
17．已知正数x，y满足x+y=1．
(1)求xy的最大值，并写出取最大值时x，y的取值；
(2)求1x+2y的最小值，并写出取最小值时x，y的取值．
18．已知x>0,y>0，且1x+3+1y=12，求x+y的最小值.
19．（1）已知x0，y>0，且9x+1y=2，求1x+4y的最小值．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、多选题
评卷人
得分
三、填空题
评卷人
得分
四、解答题
参考答案：
1．A
【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解.
【详解】∵x>1,∴x−1>0，则y=x+4x−1=x−1+4x−1+1≥2(x−1)×4x−1+1=5，当且仅当x−1=4x−1，即x=3时等号成立.
故选：A
2．A
【分析】根据基本不等式，以及基本的应用条件一正二定三相等，即可判断．
【详解】对于A，∵ex＞0，所以y=ex+4e−x=ex+4ex≥4，当且仅当x＝ln2时取等号，故A成立；
对于B，∵x>1，∴ y=x−1+4x−1+1≥2x−1⋅4x−1+1=5，当且仅当x=3取等号，故B不成立；
对于C，当x>0时，得y=x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x=2取等号，
当x0,y>0，且x+3y=2，
所以1x+1y=121x+1yx+3y=124+3yx+xy≥2+3yx⋅xy=2+3，
当且仅当3yx=xy，即y=3−33，x=3−1时取等号，
故选：D.
5．C
【分析】由题意，分x=0，x>0，x0时，y=4xx2+1>0，且y=4xx2+1=4x+1x≤42x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立；因此00，
所以x+yx−1+y−1=x−12+y−12+2x−1+y−1
≥x−1+y−122+2x−1+y−1，当且仅当x−1=y−1，即x=y时取等号，
=x−1+y−12+2x−1+y−1
≥2x−1+y−12⋅2x−1+y−1=2，
当且仅当x−1+y−12=2x−1+y−1，即x=y=2时取等号，
所以x+yx−1+y−1的最小值是2，
故选：C
9．BD
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【详解】对于选项A，正实数a，b满足a+b=1，由基本不等式得ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等号，则A错误；
对于选项B，1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2ab⋅ba=4，当且仅当a=b=12时取等号，则B正确；
对于选项C，(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+a+b=2，当且仅当a=b=12时取等号，即a+b≤2，则C错误；
对于选项D，a2+b2=a+b2−2ab=1−2ab ≥1−a2+b2，即a2+b2≥12，当且仅当a=b=12时取等号，则D正确．
故选：BD．
10．AC
【解析】选项ABC直接利用基本不等式求解判断；选项D用对勾函数y=ax+bxa>0,b>0的性质求解判断；
【详解】A. a2b2+b2a2≥2a2b2⋅b2a2=2，当且仅当a2b2=b2a2，即 a=b≠0时取等号，所以其最小值为2，故正确；
B. x+1x=−−x+1−x≤−2，当且仅当−x=1−x ，即x=−1时取等号，所以求最大值为-2，无最小值，故错误；
C. x+4x+2=x+2+4x+2−2≥2x+2⋅4x+2−2=2，当且仅当x+2=4x+2，即x=0时，取等号，所以求最小值为2，故正确；
D. 由x2+3x2+2=x2+22+1x2+2=x2+2+1x2+2，令 t=x2+2≥2，则函数y=t+1t在 [2,+∞)递增，所以 y≥322，故其最小值为322，故错误；
故选：AC
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及对勾函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．ABC
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】A选项：根据基本不等式，
2a+b=2a+b1a+2b=2+4ab+ba+2≥24ab⋅ba+4=8，
当且仅当a=2,b=4时，等号成立，故A对；
B选项：因为1a+2b=1，所以1a=1−2b=b−2b，
所以b−2=ba，1b−2=ab，
同理，2b=1−1a=a−1a，所以a−1=2ab，2a−1=ba
所以2a−1+1b−2=ba+ab≥2ba⋅ab=2，
当且仅当a=b=3时，等号成立，故B对；
C选项：因为1a+2b=1，所以1a=1−2b，
所以2a+1b=21−2b+1b=2−3b，
又因为1a+2b=1，a>0,b>0，
所以0