天津市重点中学2023-2024学年数学九年级下学期联考试题

这是一份天津市重点中学2023-2024学年数学九年级下学期联考试题，共16页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知关于x的函数y＝k等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若，则的值为（ ）
A．0B．5C．-5D．-10
2．摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x＋1）＝182 B．0.5x（x＋1）＝182
C．0.5x（x－1）＝182 D．x（x－1）＝182
3．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2这六个数中，任取两个数，恰好和为﹣1的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，变量是的反比例函数是（ ）
A．B．C．D．
5．把函数的图像绕原点旋转得到新函数的图像，则新函数的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
6．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
8．已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝﹣（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( )
A．2x2－6x＋1＝0B．3x2－x－5＝0C．x2＋x＝0D．x2－4x＋4＝0
10．如图，已知若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．已知点，在双曲线上.如果，而且，则以下不等式一定成立的是( )
A．B．C．D．
12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是______．
14．如图，正方形的边长为，点为的中点，点，分别在边，上（点不与点，重合，点不与点，重合），连接，，若以，，为顶点的三角形与相似，且的面积为1，则的长为______．
15．计算：2sin245°﹣tan45°＝______．
16．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有________．
17．方程的根是____．
18．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为_____cm1．（结果保留π）
三、解答题（共78分）
19．（8分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x、月销售量y、月销售利润w（元）的部分对应值如下表：
注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）
（1）①求y关于x的函数表达式；
②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m的值为 ．
20．（8分）用适当的方法解下列方程：
(1)x2－6x＋1＝0
(2)x2－4＝2x＋4
21．（8分）如图，在中，, 点从点出发,以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动．如果两点同时出发，经过几秒后的面积等于?
22．（10分）一次函数y=k1x+b和反比例函数的图象相交于点P（m−1，n+1），点Q（0，a）在函数y=k1x+b的图象上，且m，n是关于x的方程ax2−（3a+1）x+2（a+1）=0的两个不相等的整数根（其中a为整数），求一次函数和反比例函数的解析式．
23．（10分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值；
24．（10分）如图，点在以为直径的上，的平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长度.
25．（12分）如图，在中，是上的高．．
求证：．
26．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】将转换成的形式，再代入求解即可．
【详解】
将代入原式中
原式
故答案为：C．
本题考查了代数式的运算问题，掌握代入法是解题的关键．
2、D
【解析】共送出照片数=共有人数×每人需送出的照片数．根据题意列出的方程是
x（x-1）=1．故选D.
3、D
【分析】画树状图展示所有15种等可能的结果数，找出恰好和为-1的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有15种等可能的结果数，其中恰好和为-1的结果数为3，
所以任取两个数，恰好和为-1的概率＝．
故选：D．
本题考查的是概率的问题，能够用树状图解决简单概率问题是解题的关键.
4、B
【解析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【详解】A. 不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；
B. 符合反比例函数的一般形式的形式，选项正确；
C. 不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；
D. 不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误．
故选B．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．
5、D
【分析】二次函数绕原点旋转，旋转后的抛物线顶点与原抛物线顶点关于原点中心对称，开口方向相反，将原解析式化为顶点式即可解答.
【详解】
把函数的图像绕原点旋转得到新函数的图像，则新函数的表达式：

故选：D
本题考查的是二次函数的旋转，关键是掌握旋转的规律，二次函数的旋转，平移等一般都要先化为顶点式.
6、B
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.
【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.
故选：B.
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.
7、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原来的图形重合．
8、A
【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：当k＞0时，反比例函数的系数﹣k＜0，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没有满足的图形；
当k＜0时，反比例函数的系数﹣k＞0，所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限．
故选：A．
9、D
【解析】试题分析：选项A，△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×1=28＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项B△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）=61＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项C，△=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0，即可得该方程有两个不相等的实数根；选项D，△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×4=0，即可得该方程有两个相等的实数根．故选D．
考点：根的判别式．
10、A
【分析】根据相似三角形的性质得出，代入求出即可．
【详解】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，
∴，
∵△ABC的面积为9，
∴，
∴S△ADE＝1，
故选：A．
本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．
11、B
【解析】根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
而，而且同号，
所以，
即，
故选B．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了反比例函数的性质．
12、B
【分析】由题意根据根与系数的关系以及方程的解的概念即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：，
∴1+n=-m，n=3，
∴m=-4，n=3，
∴.
故选：B．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系求值与代入求值.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则而且根的判别式△，建立关于的不等式，求出的取值范围．
【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
△且，
解得且，
故整数的最大值为1，
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，特别要注意容易忽略方程是一元二次方程的前提即二次项系数不为2．
14、1或1
【分析】根据正方形的性质以及相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴，
∵E是AB的中点，∴
∴，
当时有，，
∴，
∵CM>0,
∴CM=1；
当时有，，
∴，
∵CM>0,
∴CM=1．
故答案为：1或1.
本题考查的知识点是相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于对应线段比的平方求解是此题的关键．
15、0
【解析】原式==0，
故答案为0.
16、6
【解析】符合条件的最多情况为：
即最多为2+2+2=6
17、，
【分析】把方程变形为，把方程左边因式分解得，则有y=0或y-5=0，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴y=0或y-5=0，
∴．
故答案为：．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，其步骤为：移项，化积，转化和求解这几个步骤．
18、15π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷1．
【详解】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm1．
故答案为：15π．
本题考查的知识点圆锥的侧面积公式，牢记公式是解此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）①y＝－10x＋700；②当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（1）1.
【分析】（1）①将点（40，300）、（45，150）代入一次函数表达式：y=kx+b即可求解；
②设该商品的售价是x元，则月销售利润w= y（x－30），求解即可；
（1）根据进价变动后每件的利润变为[x-(m+30)]元，用其乘以月销售量，得到关于x的二次函数，求得对称轴，判断对称轴大于50，由开口向下的二次函数的性质可知，当x=40时w取得最大值1400，解关于m的方程即可．
【详解】（1）①解：设y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）
根据题意得：,解得：
∴y＝－10x＋700
②解：当该商品的进价是40－3000÷300＝30元
设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为w元
根据题意得：w＝y（x－30）＝（x－30）（－10x＋700）
＝－10x1＋1000 x－11000＝－10（x－50）1＋4000
∴当x＝50时w有最大值，最大值为4000
答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．
（1）由题意得：
w=[x-(m+30)]（-10x+700）
=-10x1+（1000+10m）x-11000-700m
对称轴为x=50+
∵m＞0
∴50+>50
∵商家规定该运动服售价不得超过40元/件
∴由二次函数的性质，可知当x=40时，月销售量最大利润是1400元
∴-10×401+（1000+10m）×40-11000-700m=1400
解得：m=1
∴m的值为1．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，正确列式并明确二次函数的性质，是解题的关键．
20、（1）x1＝3＋2，x2＝3－2 ；（2）x1＝－2，x2＝4
【分析】（1）利用配方法进行求解一元二次方程即可；
（2）根据十字相乘法进行求解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）
，
，
解得：；
（2）
，
，
解得：．
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
21、经过秒后的面积等于
【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.
【详解】过点作于，则，如图所示：
设经过秒后的面积等于，
则．
根据题意，
．
当时，，不合题意舍去，取．
答：经过秒后的面积等于.
此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程.
22、一次函数：或；反比例函数：或
【分析】根据点Q在一次函数上，可得a与b的关系，解一元二次方程，可解得，，然后根据方程的两根不等且为整数，可得出的值，从而得出P的坐标，代入可得解析式．
【详解】∵点Q(0，a)在函数y=k1x+b的图象上
∴代入得：a=b
ax2−（3a+1）x+2（a+1）=0化简得：[ax－(a+1)](x-2)=0
∴，
∵方程的2个根都是整数
∴a=1时，；a=－1时，
∵方程的2个根不相等
∴，
情况一：m=2，n=0
则P(1，1)
则一次函数为：y=2x－1，反比例函数为：
情况二：m=0，n=2
则P(－1，3)
则一次函数为：y=－4x－1，反比例函数为：
本题考查求一元二次方程的整数解，解题关键是根据2个根为整数且不等分析得出方程的2个根的数值．
23、（1）；（2）.
【分析】（1）由方程有两个实数根可知，代入方程的系数可求出m的取值范围.
（2）将等式左边展开，根据根与系数的关系，，代入系数解方程可求出m，再根据m的取值范围舍去不符合题意的值即可.
【详解】解：（1）方程有两个实数根


（2）由根与系数的关系，得：
，
本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记公式是解题的关键.
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由为的直径得到∠ACB=90，根据CD平分∠ACB及圆周角定理得到∠AOD=90，再根据DE∥AB推出OD⊥DE ，即可得到是的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，求出OH，根据△CHM∽△DOM求出HM得到AM，再利用平行线证明△CAM∽△CED，即可求出DE.
【详解】（1）如图，连接OD，
∵为的直径，
∴∠ACB=90，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45，
∴∠AOD=90，
即OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE ,
∴是的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，
∵∠ACB=90，，，
∴AB=,
∵S△ABC=,
∴CH=,
∴AH=,
∴OH=OA-AH=5-3.6=1.4，
∵∠CHM=∠DOM=90，∠HMC=∠DMO,
∴△CHM∽△DOM,
∴
∴=，，
∴HM=,
∴AM=AH+HM=,
∵AB∥DE,
∴△CAM∽△CED,
∴,
∴DE=.
此题考查圆的性质，圆周角定理，切线的判定定理，三角形相似，勾股定理，（2）是本题的难点，利用平行线构建相似三角形求出DE的长度，根据此思路相应的添加辅助线进行证明.
25、证明见解析．
【分析】根据三角形的定义表示出及，根据即可证明.
【详解】是上的高，，
，
在和中，
，，
且，
，
．
此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义.
26、（1）证明见解析；（2）⊙O的直径为26cm．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，根据垂径定理的即可求得CE＝ED，，然后由圆周角定理与等腰三角形的性质，即可证得：∠ACO＝∠BCD．
（2）设⊙O的半径为Rcm，得到OE=OB-EB=R-8，根据垂径定理得到CE=CD=24=12，利用在RtCEO中，由勾股定理列出方程，故可求解．
【详解】证明：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED，，
∴BCD=BAC
∵OA=OC，
∴OAC=OCA，
∴ACO=BCD
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=R-8，
CE=CD=24=12
在RtCEO中，由勾股定理可得
OC=OE+CE
R= (R8) +12
解得：R=13，
∴2R=213=26
答：⊙O的直径为26cm．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
售价x（元/件）
40
45
月销售量y（件）
300
250
月销售利润w（元）
3000
3750