北京市北京师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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一、选择题（共10小题；共40分）
1. 已知为等差数列，，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列性质，，求出式子的值.
【详解】因为是等差数列，所以.
故选：C.
2. 函数 在 处的瞬时变化率为 （ ）
A. 4aB. C. bD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的意义直接求解.
【详解】由可知，
所以，
即在 处的瞬时变化率为.
故选：B
3. 已知数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用公式求出，再由第k项满足可得答案．
【详解】时，，
，，
由得，解得，
因为，所以，
故选：C.
4. 已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. 没有极大值
C. 时，有极大值D. 时，有极小值
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象可知，有极大值，的值无法确定，再根据的图象确定的单调性，从而可说明不是函数的极值点，是函数的极小值点.
【详解】解：如图所示，设函数的图象在原点与之间的交点为．
由图象可知：.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增．
可得：是函数的极小值点，是函数的极大值点，是函数的极小值点．
不是函数的极值点，不一定成立．且由图知，有极大值.
故选：D．
5. 已知等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式可构造不等式求得的范围，进而依次验证充分性和必要性即可.
【详解】设等比数列的公比为，
由得：，又，，解得：，
，即，充分性成立；
由得：，又，，即，解得：或，
当时，，，必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
6. 与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立．现得知时命题不成立，那么可推得（ ）
A. 当时，该命题不成立B. 当时，该命题不成立
C. 当时，该命题成立D. 当时，该命题成立
【答案】A
【解析】
【分析】利用原命题与它的逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法可得结论
【详解】解：由于原命题与它逆否命题的真假性相同，
因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立，
所以当时命题不成立，则可以得到当时命题不成立，
故选：A
7. 世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（ ）
A. 880B. 622C. 311D. 220
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出.
【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，
由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，
则，解得：
又，
则与第四个单音的频率最接近的是311,
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.
8. 若函数恰好有两个极值，则实数a的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导函数，利用函数恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零点，从而求出a的取值范围.
【详解】因，所以，
由函数恰好有两个极值，得有两个不相等的零点，
故方程有两个不相等的实根，
则，且，解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
9. 若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称这个数列为“m 积特征列”，若各项均为正数的等比数列 为“6 积特征列”，且 ，则当 的前n 项之积最大时，n 的最大值为 （ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据“m积特征列”的定义求出数列的和之间的关系，再求前n项之积的最大值.
【详解】是等比数列，；
因为是“6积特征列”，，即，，，；
因为是正数列，；
设数列的前n项之积为，则有 ，
，当指数 最小时，最大；当时，最小，又，或时最大；
故选：C.
10. 设，，，则，，大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，根据的单调性可得（3），从而得到，，的大小关系．
【详解】考查函数，则，在上单调递增，
，（3），即，
，
故选：．
【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题．
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的运算法则求导，再代值计算即可
【详解】解：，
，
，
故答案为：
12. 已知为等差数列，为其前项和，若，，则公差_________，的最大值为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知条件可求得的值，求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】，即，解得，
所以，，
当或时，取得最大值.
故答案为：；.
13. 函数 在内是递增函数，则实数a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得在内恒成立，分类讨论满足不等式成立情况下，a的取值范围即可.
【详解】由题知在内是递增函数，
则在内恒成立，
当时，上式成立，，
当时，恒成立，
因，所以，
则.
故答案为：
14. 已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= _______ ，b=_______ ．
【答案】 ①. 4（不唯一） ②. 5（不唯一）
【解析】
【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.
【详解】当时，无极小值，故，
，
由可得或，
当时，由时，有极小值可知，即，
当时，由时，有极小值可知，即.
所以的一组取值可取，
故答案为：4；5（答案不唯一，满足或即可）.
15. 项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则满足条件的数列有4个；
③存在的数列；
④所有满足条件数列中，首项相同.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据有限数列的性质，，及满足，其中，利用不等式放缩，结合等比数列求和可得，即可确定的值，从而可判断①③④的正误，若，得，结合，求得的关系，根据不等式求得的范围，一一列举得数列，即可判断②.
【详解】由于有限数列的各项均不小于的整数，所以，，
又因，
所以
所以，且，为整数，所以，故③不正确，④正确；
当时，得，所以，则，故①正确；
当时，得，因为，所以，则，
所以，为整数，则的可能取值为，对应的的取值为，
故数列可能为；；；，共4个，故②正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：项数为的有限数列的性质入手，
从各项，结合不等式放缩，确定的范围，从而得的值，逐项验证即可.
三、解答题（共6小题；共85分）
16. 已知等比数列的前项和，且成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，求满足的最大正整数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列定义可求得等比数列的公比，结合等比数列求和公式可得，根据等比数列通项公式可得结果；
（2）利用等差数列求和公式可求得，解不等式即可得到结果.
【小问1详解】
成等差数列，，即，
等比数列的公比为，，解得：，
.
【小问2详解】
由（1）得：，，
，
令，即，解得：，又，
满足的最大正整数.
17. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；
（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.
【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，
，，故函数的最小值为.
【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.
18. 在数列中，，（，常数），且，，成等比数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）数列的通项公式为（）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由递推公式写出 的表达式，再由等比中项的性质列方程求出的值；
（2）根据递推公式的特点，可知 组成一个等比数列，于是可根据
用叠和法求出数列 的通项公式．
试题解析：解：（1）由题知，， ，，
因为， ，成等比数列，所以 ，
解得或 ，又，故 ．
（2）当时，由 得
，
，
，
以上各式相加，得，
又， ，故，
当时，上式也成立，
所以数列的通项公式为（）．
考点：1、数列的递推公式；2、等比中项的性质的应用；3、数列求通项．
19. 如图，有一个长方形地块，边为，为．地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分，现要铺设一条过边缘线上一点的直线隔离带，，分别在边， 上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点到边的距离为（单位：），的面积为（单位：）．

（1）求关于的函数解析式；
（2）是否存在点，使隔离出来的的面积超过？并说明理由．
【答案】（1），
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的方程求出边缘线的方程，再根据导数的几何意义求出直线的方程，即可求解；
（2）利用函数的导数与最值的关系求解.
【小问1详解】

如图建立平面直角坐标系，则，，，
由题意：可设抛物线，
代入点，可得，故抛物线，
由题意直线为抛物线的切线，
点到边的距离为，故切点坐标为，
，故直线的斜率为，
故直线的方程为：，即，
令，得，故，
令，得，故，
，
故，
【小问2详解】
因为，
所以,
因为，所以，
所以当时，，当时，，
所以函数在单调递增，，单调递减，
所以，
所以不存在点，使隔离出来的的面积超过.
20. 已知函数.
（1）当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；
（2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，
（ⅰ） ，又，所以切线方程为.
（ⅱ），，因为，所以,
所以，所以
所以在单调递增，所以；
【小问2详解】
，
当时，所以，
,
由（1）知，，
所以在上单调递增.
所以当时，没有极值点，
当时，，
因为与在单调递增.
所以在单调递增.
所以，.
所以使得.
所以当时，，因此在区间上单调递减，
当时，，因此在区间上单调递增.
故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.
21. 设正整数集合，且 ．若对于任意的 ，当 时，都有 ，则称集合 A 为“子列封闭集合”．
（1）若 ，判断集合 A 是否为“子列封闭集合”，说明理由；
（2）若数列的最大项为，且，证明：集合 A 不是“子列封闭集合”；
（3）设为数列，若 ，且集合 A 为“子列封闭集合”，求数列 的通项公式．
【答案】（1）集合 A 是为“子列封闭集合”，理由见解析
（2）证明见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据“子列封闭集合”的定义判断即可；
（2）可用反证法证明集合不是“子列封闭集合”．
（3）根据集合是“子列封闭集合”时，，利用数列为严格递增数列，求出数列的通项公式．
【小问1详解】
因为，
所以对于任意的，，，当时，
都有，
所以集合为“子列封闭集合”，
【小问2详解】
假设集合是“子列封闭集合”，
因为，，所以存在正整数，
使得，，
即，，
因为，所以，，
与为集合的最大元素矛盾，
所以假设错误，即集合不是“子列封闭集合”．
【小问3详解】
由（2）知，集合是“子列封闭集合”时，有，；
因为数列为严格递增数列，，所以，或，．
①当，时，因为，，
则；
若，此时，，
由于，所以，
因为，，与，矛盾，
所以，又，所以；
所以数列的通项公式为．
②当，，时，因为，，
则；
若，由于，所以，
因为，所以，与，矛盾；
若，此时，，
由于，所以，
因为，所以，与，矛盾；
所以，又，所以，；
所以，数列的通项公式为．
综上所述，数列的通项公式为或．