北京市北京师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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班级 姓名 学号
考生须知：
1． 本试卷有三道大题，共5页.考试时长120分钟，满分150分.
2． 考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3． 考试结束后，考生应将答题纸交回.
一、选择题（每小题4分，共48分，每题均只有一个正确答案）
1. 椭圆的长轴长为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数在点处的导数值是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将4门选完，则小南同学的不同选修方式有（ ）种.
A. B. C. D.
6. 若，则（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
7. 个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同排法种数为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数有极小值，则（ ）
A B. C. D.
9. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. 有极大值B. 有极小值
C 有极大值D. 有极小值
10. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
11. 已知和是定义在R上的函数，且，则“有极值点”是“和中至少有一个函数有极值点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
12. 设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个结论：
① 点P的轨迹方程为；
② ；
③ 存在4个点P，使得的面积为；
④
则正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（每小题5分，共30分）
13. 展开式的常数项是__________．（用数字作答）
14. 若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则________.
15. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______．
16. 已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离心率是______；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为______．
17. 若函数在区间上单调递增，则实数a的一个取值是__________.
18. 已知函数，给出下列四个结论：
①对任意实数，一定有极值点；
②当时，一定存在零点；
③当时，在区间上一定有两个极值点；
④存在无数个实数k，使有最大值．
其中所有正确结论的序号是______________.
三、解答题（共5小题，共72分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）
19. 已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
20. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
21. 已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．
22. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：对任意成立.
23. 已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．
（1）若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
（2）设d是非负整数．证明：（）的充分必要条件为是公差为d的等差数列；
（3）证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．