北京市广渠门中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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一、选择题（本大题共10小题，共50分）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 0
2. 的展开式中的系数为（ ）
A 240B. C. 120D.
3. 若曲线在点处的切线的斜率为2，则t的值为（ ）
A –1B. C. 0D. 1
4. 已知函数，则函数的极小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（ ）
A. 6B. 24C. 60D. 120
6. 甲，乙，丙三人报考志愿，有，，三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考同一所大学的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A B.
C. D.
8. 设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A. 1B. C. D.
10. 高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11. 在等比数列中，，则________．
12. 随机变量X的分布列是
若，则_________．
13. 3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有__________种排法.
14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
15. 已知函数，则下列说法中，所有正确的序号是__________
①当时，单调递增；
②当时，在处的切线为x轴：
③当时，在存在唯一极小值点；
④当时一定存在零点．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知数列中，，且．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
17. 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
（2）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最小值．
19. 某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：
（1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；
（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管．
①求的值；
②从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望．
（3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论）
20. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：当时，恒成立；
（3）设函数的定义域为D，求证：，且，都有．
21. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．
（1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，．
（2）若集合是集合的一个元基底，证明：；
（3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．
X
-2
1
2
P
a
b
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工
30天
20天
40天
10天
乙员工
20天
25天
15天
40天
牙膏品牌
销售价格
市场份额