北京市第九中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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（考试时间120分钟 满分150分）
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数列，，， ，…的一个通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知数列满足，，则当时，n的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 7
3. 已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4. 将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（ ）
A. 6B. 24C. 60D. 120
5. 设，则的值为
A. 2B. -2C. 1D. -1
6. 函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A.
B.
C
D.
7. 函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 在等差数列中，.记，则数列（ ）
A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
9. 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列；若，则该数阵中九个数的和为（ ）
A. 18B. 27C. 45D. 54
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11 已知函数，则其导函数_____________
12. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种.
13. 二项式的展开式中常数项为_________.
14. 从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则________．
15. 已知是等差数列前n项和，且，下列四种说法中，
①；
②；
③数列的最大项为；
④.
正确的序号是________．
三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知等比数列满足．
（1）求的通项公式及前项和；
（2）设，求数列的前项和．
17. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
18. 数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
19. 已知函数．
（1）若函数在点处的切线方程为，求实数a，m的值；
（2）当时，求函数在区间上的最值；
（3）讨论函数单调性．
20. 在我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品．
（1）求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品概率；
（2）若该同学制作10次，其中合格作品数为X，求X的数学期望．
21. 已知函数.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）