北京市第五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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数 学
班级______ 姓名_______学号______ 成绩________
一、单选题(每小题4分，共40分)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义计算即可.
【详解】因为，，所以.
故选：B.
2. 下列函数中是奇函数，且在上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性与单调性即可得出.
【详解】解：由题意得：
A：根据反比例函数的性质图像可知其在上单调递减，不满足单调递增条件，故A错误；
B：是偶函数，不满足奇函数的条件，故B错误；
C：是非奇非偶函数，不满足奇函数，故C错误；
D：是奇函数，且在上单调递增函数，满足条件，故D正确.
故选：D．
3. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助中间值比较大小即可.
【详解】解：，，，
所以
故选：B
4. 二项式的展开式中含项的系数是（ ）．
A. 6B. C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】因为二项式的展开式通项为，
令，则，
所以二项式的展开式中含项的系数为，
故选：.
5. 是抛物线上一点，是抛物线的焦点，则（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】将点代入，可得，即可求出准线方程，根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得
【详解】解：因为是抛物线上一点，
所以，
则抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，，
故选：A.
6. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简可得，结合以及二次函数的基本性质可求得原函数的最大值.
【详解】因为，，
故当时，函数取最大值，且.
故选：A.
7. 在中，“对于任意，”是“为直角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据平面向量的运算可得，从而可得；若为直角三角形，不一定有，根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】设，则，
所以即为，
所以是边上的高，即,即,
故为直角三角形.
若为直角三角形，不一定有，故不一定有.
所以“对于任意，”是“为直角三角形”的充分而不必要条件.
故选:A.
8. 已知直线与圆，则下列说法错误的是（ ）
A. 对，直线恒过一定点
B. ，使直线与圆相切
C. 对，直线与圆一定相交
D. 直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出直线过定点，则可判断A，求出圆心，，则，根据点在圆内，则直线与圆一定相交，故可判断B,C，对D选项，分析出时弦长最短，则，代入数据计算即可.
【详解】直线，即，
令，解得，即直线恒过定点，故A正确；
圆，即圆，圆心，半径，
则，即点在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，故C正确，
当时直线与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长，故D正确，
故选：B.
9. 已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得等差数列的通项公式，从而得到数列前项都是负数，从而得到结果.
【详解】设等差数列的公差为，
由性质知，则，且，
则，
令，得，即前项都是负数，
所以最小，所以.
故选:D
10. 在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点，则：①；②当为线段的中点时，取最小值；③三棱锥体积的最大值是最小值的倍；④与所成角的范围是.上述命题中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质判断①；判断的形状判断②；利用线面平行结合等体积法判断③；作出与所成的角，求出范围作答.
【详解】在棱长为1的正方体中，，是线段上的动点，
命题①，平面，平面，，正方形中，，
平面，，因此平面，而平面，则，
同理，又，平面，有平面，平面，则，①正确；
命题②，在正三角形中，是中点，连，如图，，，为中点，
在中，与不垂直， 不是最小值，②错误；
命题③，正方体对角面是矩形，即，又平面，平面，
则平面，点到平面的距离为定值，面积为定值，而，
则三棱锥体积为定值，③错误；
命题④，连接与相交于点，连接，则为与中点，
而为中点，则，因此与所成的角等于，
在中，，，而，则，
于是当在点时，有最大值，当与重合时，有最小值0，
所以与所成角的取值范围为，④正确，
综上所述，正确命题的个数为2.
故选：B
【点睛】思路点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，借助等体积法求解问题．
二、填空题(每小题5分，共25分)
11. 设复数（其中i为虚数单位），则______.
【答案】
【解析】
【分析】化简，根据复数模的运算即可求得结果.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
12. 已知等比数列的前n项和为，且，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据，作差得到等比数列的公比为，再求出，最后根据等比数列的通项公式计算可得.
【详解】解：等比数列的前项和为，且，
∴，
∴，∴，故等比数列的公比为．
在中，
令，可得，∴，则．
故答案为：8．
13. 双曲线C： 的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为____.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，然后根据离心率公式结合条件即得.
【详解】由双曲线的方程可得，且渐近线的方程为：，
与联立可得，所以，
由题意可得，解得，又，
所以双曲线的离心率.
故答案为：.
14. 设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】问题转化为函数与直线有三个不同交点，分作出函数图象，数形结合即可求解.
【详解】,
若函数有且仅有3个零点,则函数的图象与直线有三个不同的交点，
，当且仅当时等号成立，
当时，如图：

即可，
解得，
当时, 如图：

即可，
解得，
综上，
故答案为：
15. 如图所示是某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间t（月）的关系：，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍蔓延的面积就会超过；
③浮萍从蔓延到需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别为、、，则．
其中正确的是______（填序号）．
【答案】①②⑤
【解析】
【分析】由已知，选项①可将图像上的点带入给的函数关系中求解即可；选项②，利用求解出的函数解析式，令求解出浮萍蔓延的面积即可做出判断；选项③，分别求出浮萍和浮萍所对应的时间，然后作差与1.5比较大小即可；选项④，分别算出从第一个月开始，每个月增加的面积，通过比较即可做出判断；选项⑤，分别求解出萍蔓延到、、所经过的时间分别为、、，然后验证是否满足即可.
【详解】由题意，函数图像满足的关系，有图像可知，当时，，
所以，解得，当时，，满足，
当时，，满足，故，选项①正确；
当时，，故浮萍蔓延的面积就会超过，选项②正确；
由题意，，所以，，所以，所以增加的时间为
，而，所以，故选项③错误；
由题意可知，当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以从第一个开始，每个月增加的面积分别为、、、，
所以增加的面积不相等，故选项④错误；
由题意，，所以，，
所以，，所以，
所以，故选项⑤正确.
故答案为：①②⑤
三、解答题(第16-19，21题14分，第20题15分，共85分)
16. 如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.
（1）求；
（2）求的周长.
【答案】（1）；
（2）30.
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解；
（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，从而可求周长.
【小问1详解】
在中，，，，
由正弦定理可得，故，
因为是锐角三角形，所以 .
【小问2详解】
由（1）得，所以
在中，，，，
所以.
所以的周长为.
17. 如图，在三棱柱中，D，E，G分别为的中点，与平面交于点F，，，．
（1）求证：F为的中点；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的性质定理可证得，即可证明；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量计算即可.
【小问1详解】
由三棱柱的性质知，，平面，平面，
所以平面，又因为平面，
平面平面，
所以，因为E为的中点，所以F为的中点.
【小问2详解】
选条件①，因为平面平面，平面平，
又因为，E为的中点，所以，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为，，
平面，所以平面，
如图建立空间直角坐称系.
由题意得，
.
设平面法向量，
,
，则，
平面BCD的法向量，
又,
设直线与平面所成的角为,
则，
所以直线FG与平面BCD所成角的正弦值为.
选条件②，因为，，，
则，所以，又因为，
，平面，所以平面，
因为，E为的中点，所以，
如图建立空间直角坐称系.
由题意得，
.
设平面的法向量，
,
，则，
平面BCD的法向量，
又,
设直线与平面所成的角为,
则，
所以直线FG与平面BCD所成角的正弦值为.
18. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，这是一次创造诸多“第一”的盛会．某学校为了了解学生收看北京冬奥会的情况，随机调查了100名学生，获得他们日均收看北京冬奥会的时长数据，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．
（1）试估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值；
（2）以频率估计概率，从全校学生中随机抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奥会的时长在的学生人数，求X的分布列和数学期望；
（3）经过进一步调查发现，这100名学生收看北京冬奥会的方式有：①收看新闻或收看比赛集锦，②收看比赛转播或到现场观看．他们通过这两种方式收看的日均时长与其日均收看北京冬奥会的时长的比值如下表：
日均收看北京冬奥会的时长在的学生通过方式①收看的平均时长分别记为，写出的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）1.875小时
（2）分布列见解析，数学期望为0.9
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；
（2）可得的可能取值且，求出取不同值的概率即可得出分布列，求出数学期望；
（3）分别计出即可比较.
【小问1详解】
根据题意，估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值为：
小时；
【小问2详解】
由条件可知，从全校学生中随机抽取1人，其日均收看北京冬奥会的时长在的概率估计为，
的可能取值为，且，
则，，
，，
的分布列为：
所以的数学期望；
【小问3详解】
小时，
因为的人数之比为，所以小时，
因为的人数之比为，
所以小时，
所以.
19. 椭圆，直线经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M，N，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C方程；
（2）若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，问：在x轴上是否存在一个定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标和的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，，.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的焦点在轴上和直线经过椭圆的一个焦点得到为椭圆的焦点，即，根据在椭圆上得到，再结合得到，即可得到椭圆的方程；
（2）当时，联立直线和椭圆方程，然后利用韦达定理得到中点坐标和弦长，然后根据垂直平分得到点坐标，即可得到，然后根据为定值列方程，解方程得到，再说明时也是定值即可得到在轴上存在定点，使得为定值.
【小问1详解】
因为直线经过椭圆的一个焦点，所以为椭圆的焦点，即，因为在椭圆上，所以，又，联立方程可得，，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，，
当时，联立 得，所以，，，中点为，
，
线段得中垂线方程为，令，解得，所以，
所以，令，解得，此时；
当，时，联立得，所以，,，此时，
所以在轴上存在定点，使得为定值，定值为.
【点睛】型式子为定值求参数的方法：
①让分子分母对应项系数比值相等，例如：为定值，则，解方程即可；
②设，然后根据定值与变量无关列方程，例如：为定值，设，整理得，定值与变量无关，所以.
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
（2）令，求导后可知，由此确定在上单调递增，结合零点存在定理可得结论；
（3），将问题转化为恒成立；求导后，分析可知当时，单调递增；当时，利用零点存在定理可说明在上单调递减，由此可得，知不合题意；当时，可得，知单调递增，满足题意；当时，采用放缩法得，结合时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果.
【小问1详解】
当时，，则，
，又，
在点处的切线方程为：，即.
【小问2详解】
当时，令，则；
当时，，，即，
在上单调递增，又，，
在上有唯一零点，即在上有且仅有一个零点.
【小问3详解】
令，
则对任意，恒成立；又，
令，则；
当时，若，则，，，
在上恒成立，则在上单调递增；
①当时，，，
，使得，且当时，，
在上单调递减，此时，不合题意；
②当时，；
当时，，则在上单调递增，
恒成立，满足题意；
③当时，，
由②知：对任意，，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求解切线方程、函数零点个数问题、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为含参数函数单调性的讨论问题，进而由单调性和函数最值确定满足题意的参数范围.
21. 若无穷数列{}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：
①（n=1，2，）
②对任意的正数，都存在正整数N，使得n>N，都有.
（1）若，（n=1，2，），判断数列{}，{}是否是无界数列；
（2）若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（3）若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.
【答案】（1）{}是无界数列；{}不是无界数列.
（2）存在，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，符合无界数列的定义；取，显然，不符合无界数列的定义.
（2）讨论，，都不成立，当时，将变形为：，从而求得k的范围.
（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由{}是单调递增的无界正数列证明.
【小问1详解】
{}是无界数列，理由如下：
对任意的正整数，取为大于的一个偶数，有，所以{}是无界数列.
{}不是无界数列，理由如下：
取，显然，不存在正整数，满足，所以{}不是无界数列.
【小问2详解】
存在满足题意的正整数k，且.
当时，，不成立.
当时，，不成立
当时，，不成立
当时，将变形为：
.
即取，对于一切，有成立.
【小问3详解】
因为数列{}是单调递增的无界数列，所以，
所以
.
即
因为{}是无界数列，取，由定义知存在正整数，使所以.
由定义可知{}是无穷数列，考察数列，，…，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数，使得
.
故存在正整数，使得
.
故存在正整数，使得成立
日均收看北京冬奥会的时长/小时
通过方式①收看
通过方式②收看
1
0
0
1
2
3
0. 343
0.441
0.189
0.027