2024年北京市石景山区九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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数 学
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 年月日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．长征二号（代号：，简称：长二，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是千克．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则下列结论正确是（ ）
A. B. C. D.
6. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接．
设，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是____________．
10. 分解因式：__________．
11. 如图，在中，点在上且，与交于点．若，则的长为____________．
12. 方程的解为____________．
13. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则_____ （填“”“”或“”）．
14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_________．
15. 如图，是的直径，是延长线上一点， 与相切于点．若，则_________．
16. 某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如下表所示：
在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要_________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要_________分钟．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 已知，求代数式的值．
20. 如图，在四边形中，，平分交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点．若，，，求的长．
21. 为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）
某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量．
22. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点．
（1）求该函数的解析式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围．
23. 为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．该校的国旗护卫队共有18名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：
a．18名学生的身高：
170，174，174，175，176，177，177，177，178，
178，179，179，179，179，181，182，183，186
b．18名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m，n的值；
（2）该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组：
对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好．
据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
（3）该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为175，177，178，178．在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
24. 如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接．
（1）求证：；
（2）连接．若，求的长．
25. 某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为 （单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下：
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；
（2）当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）；
（3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．
（1）求的值（用含的代数式表示）；
（2）点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由．
27. 在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接.将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）延长到点，使得，连接交于点，依题意补全图2 ．若点是的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28. 对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”.
特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．
在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ；
（2）点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”．
①直接写出点坐标；
②动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围．
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共两部分，28道题。满分100分。考试时间120分钟
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回
步骤
打扫卫生
整理床铺
更换客用物品
检查设备
所需时间/分钟
9
7
6
4
供水
类型
阶梯
户年用水量
（立方米）
水价
其中
水费
水资源费
污水处理费
自来水
第一阶梯
0—180（含）
5
第二阶梯
181—260（含）
7
第三阶梯
260以上
9
平均数
中位数
众数
178
m
n
甲组学生的身高
175
177
177
178
178
181
乙组学生的身高
170
174
174
176
177
179
x
0.0
1.0
20
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
1.00
2.50
5.00
7.50
9.00
9.64
987
9.95
9.98
10.00
10.00
1.50
4.24
5.67
5.95
5.99
6.00
6.00
6.00
6.00
6.00
6.00