重庆市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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总分：150分 时间：120分钟
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑．
1. 平移变换不仅和图形紧密联系，在汉字中也存在平移变换现象，下列哪个汉字不全是由平移变换得到（ ）
A. 朋B. 心C. 出D. 炎
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的基本性质的运用．根据平移的基本性质，写出的汉字只需由两或三个完全相同的部分组成即可．
【详解】“朋”、“出”、“炎”是由两完全相同的部分组成的汉字，可以看成是平移得到的汉字，
“心”不是由两完全相同的部分组成的汉字，不可以看成是平移得到的汉字，
故选：B．
2. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D. 3.14
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】是无理数，，，3.14都是有理数，
故选：A．
3. 如图，将木条与钉在一起，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的最小度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，设顺时针旋转的最小度数为x，根据平行线的判定求解即可．
【详解】解：设顺时针旋转的最小度数为x，
∵，
∴要使木条与平行，只需，则，
故选：D．
4. 如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴的特征和圆的周长公式解答即可．
【详解】∵直径为单位1的圆的周长为，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，
∴A点表示的数是．
故选：D．
5. 下列事实中，利用“垂线段最短”依据的是（ ）
A. 体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跳线的垂直距离作为跳远成绩
B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程
C. 把一根木条固定在墙上至少需要两个钉子
D. 火车运行的铁轨永远不会相交
【答案】A
【解析】
【分析】根据“垂线段最短”与生活实例的结合，逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跳线的垂直距离作为跳远成绩，利用“垂线段最短”为依据，符合题意；
B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用“两点之间线段最短”为依据，不符合题意；
C、把一根木条固定在墙上至少需要两个钉子，利用“两点确定一条直线”依据，不符合题意；
D、火车运行的铁轨永远不会相交，利用“平行线无交点”为依据，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查实际生活与数学知识的联系，理解数学知识在生活中存在的实例是解决问题的关键．
6. 交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是真命题的是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等B. 对顶角相等
C. 所有的直角都是相等的D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假，涉及逆命题、平行线的判定、对顶角相等、垂直定义、绝对值的性质等知识，根据相关知识逐项判断即可．熟知掌握相关知识是解答的关键．
【详解】A、交换命题的题设和结论的新命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
B、交换命题的题设和结论的新命题为：相等的两个角是对顶角，是假命题，不符合题意；
C、交换命题的题设和结论的新命题为：所有相等的角都是直角，是假命题，不符合题意；
D、交换命题的题设和结论的新命题为：若，则，是假命题，不符合题意；
故选：A．
7. 一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向的垂直方向上前进，那么两次拐弯的角度可能是（ ）
A. 第一次左拐，第二次右拐B. 第一次左拐，第二次左拐
C. 第一次右拐，第二次左拐D. 第一次右拐，第二次右拐
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向逐项判断即可．
详解】解：A、两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意；
B、两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意；
C、两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意；
D、两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意，
故选：C．
8. 有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为时，输出的值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值．
【详解】解：∵的算术平方根是8，8是有理数，
取8的立方根为2，是有理数，
再取2的算术平方根为，是无理数，
则输出，
∴y的值是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．
9. 如图，将一条两边互相平行纸带折叠为折痕，交于点，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何图形中角度的求解，平行线的性质求角度，折叠性质，邻补角的求解，先根据平行线的性质得到，再由平角的定义和折叠的性质推出，再由题意推出，求出，再结合平行线性质，补角进行求解即可．
【详解】解：，
，
由折叠的性质可知，
，
，
又，
，
，
，
．
故选：D．
10. 一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将绕着公共顶点，按顺时针方向旋转，当的一边与的某一边平行时，相应的旋转角的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算．
【详解】由题意可得旋转角
分5种情况讨论：
（1）当时，，则
此时；
（2）当时，，则
（3）当时，，则
此时；
（4）当时，，
（5）当时，，则
此时；
∴相应的旋转角的值不可能是，
故选：B．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上．
11. 的相反数是______；______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查实数的性质，根据相反数与绝对值的定义求解即可．
【详解】的相反数是；
∵，
∴；
故答案为：，．
12. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意直接根据合并同类二次根式的运算法则进行计算即可得出答案.
【详解】解：.
故答案为：.
【点睛】本题考查二次根式的加法运算，熟练掌握并利用合并同类二次根式的运算法则进行计算是解题的关键.
13. 在两个连续整数和之间，且，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查算术平方根和估算无理数的大小，根据算术平方根估算无理数，确定的值，再代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵在两个连续整数和之间，且，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则______．
【答案】##148度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行可得，，最后代入计算即可．
【详解】∵平行光线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
15. 小屹的卧室面积为10.8平方米，房间地面恰由30块相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的应用，有理数除法的应用，先求出每块地砖的面积，因为地砖为正方形，故求面积的算术平方根即可．
【详解】解：每块地砖的面积平方米，
每块地砖的边长为米，
故答案为：．
16. 数学兴趣小组同学利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，且，则______．
【答案】##18度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点C作，先证明，然后根据平行线的性质求出，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】过点C作，则
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
17. 在中，且，若点在边上（不含端点）运动，则最短时的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查垂线段最短、勾股定理，根据垂线段最短得到当时，的长最小，利用等面积法求解即可．
【详解】解：根据垂线段最短知，当时，的长最小，
∵，，
∴由得，
∴，
此时，
∴点P在边上，
即最短时的值为，
故答案为：．
18. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和也等于9，那么称这个数为“永恒数”．对于一个“永恒数”，记为．例如：，因为，所以1854是一个“永恒数”，．则______；若一个四位自然数是“永恒数”，且为整数，则满足条件的四位自然数的最大值与最小值的差为______．
【答案】 ①. 402 ②. 7245
【解析】
【分析】本题考查了新定义的实数运算，整式运算，根据直接进行求解即可；根据“永恒数”的定义，设，求出的值，根据为整数，分情况求出的最大值与最小值即可得出结果．
【详解】解：由题意可知：；
根据“永恒数”的定义，
设，
其中，，都为整数，，
为整数，
是整数，
由于各个数位上的数字互不相同，
当m取最大值时，，最大，
当m取最小值时，，时最小，
m最大为，
m最小为，
，
故答案为：402，7245．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20题至26题，每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形．请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2），
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算和利用平方根的定义解方程，掌握运算法则是解题的关键．
（1）首先根据乘方、算术平方根和立方根运算，然后求和即可．
（2）根据平方根的概念求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
整理，得
根据平方根的意义，得
即，．
20. 已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】
【解析】
【分析】】本题主要考查了算术平方根、立方根以及估算无理数的大小，直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出的值进而得出答案．
【详解】∵的平方根是
∴，
解得，
∵的立方根是，
∴，
解得，
∵是的整数部分，，
∴，
∴，
∴的算术平方根为．
21. 如图，、分别平分、，，．
（1）尺规作图：在射线上作，并连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，已知，
求证：．
证明：平分（已知）
① （角平分线的定义）
（已知）
② （两直线平行，内错角相等）
又平分（已知）
③ （角平分线的定义）
又（已知）
④ （等量代换）
（ ⑤ ）
【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质；
（1）以为圆心，为半径画圆，与交点即为点；
（2）先由角平分线得到，再由得到，继续由角平分线得到，进而由得到，最后得到．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
平分（已知）
（角平分线定义）
（已知）
（两直线平行，内错角相等）
又平分（已知）
（角平分线的定义）
又（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：①；②；③；④；⑤内错角相等，两直线平行．
22. 如图，点在直线上，点、、在直线上，，连接、、，其中，．

（1）证明：；
（2）当时，请求出的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义与判定；
（1）证明，即可得到；
（2）由设，，根据列方程计算即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴设，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
23. 在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在“格点”处．
（1）在给定方格纸中，平移，使点与点对应，可由向______（上/下）平移______格，再向______（左/右）平移______格得到；
（2）请画出平移后的；
（3）求的面积．
【答案】（1）上，4，左，2
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，平移作图，利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质解答即可；
（2）先找出点A和点C的对应点，再连线即可；
（3）用割补法求解即可．
【小问1详解】
平移，使点与点对应，可由向上平移4格，再向左平移2格得到；
故答案为：上，4，左，2；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
的面积．
24. 探索发现：（1）如图，已知直线．若，求的度数；
归纳总结：（2）根据（1）中的问题，直接写出图中、、之间的数量关系______；
实践应用：（3）如图，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点铺设到点时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东方向埋设到点，再沿障碍物边缘埋设到点处，测得．若要恢复原来的正东方向，则应等于多少度？
【答案】（1）；（2）；（3）应等于
【解析】
【分析】本题考查了平行线判定与性质，平行线性质求角度，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
（1）过点P作，根据两直线平行内错角相等可得，根据进行求解即可；
（2）根据两直线平行内错角相等即可推到出；
（3）过点C作，先求出的度数，再根据两直线平行同旁内角互补求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点P作，
，
，
，
；
（2）由（1）可得：；
（3）如图，过点C作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
若要恢复原来的正东方向，则应等于．
25. 先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
（1）根据、、的规律，直接写出的值：______；
（2）猜想____________；
（3）计算的值．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查与实数运算相关的规律题，观察出等式的变化规律是解答的关键．
（1）根据前几个等式的变化规律解答即可；
（2）根据前几个等式的左右式子变化与序号n的关系求解即可；
（3）灵活运用（2）中变化规律求解即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：
．
26. 如图，已知：直线，点、点在直线上，点、点在直线上，，直线交直线于点．
（1）求证：．
（2）如图，直线绕点顺时针旋转与直线交于点，直线绕点顺时针旋转与直线交于点，当时，求的度数．
（3）在（2）的条件下，如图，直线交直线于点，直线交直线于点的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点，若，当点在线段上移动时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先根据平行线的性质证得，再根据三角形的外角性质可证得结论；
（2）先根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质求得，然后利用对顶角相等和已知条件即可求解；
（3）分S在下方和上方两种情况，利用平行线的性质和三角形的外角性质求得，再根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设与相交于点R，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：当S在下方时，如图，设与相交于O，
∵，，
∴，
由（2）知，，
则，
∵的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴．
当S在上方时，如图，设与相交于O，
由（2）知，，
则，
∵，，
∴，
∵的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴．
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握利用平行线的性质探究角的关系，利用数形结合和分类讨论思想的运用是解答的关键．