广东省河源市龙川第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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7.D【解题思路】由等差数列求和公式可整理得到an，进而确定bn，采用裂项相消法可求得结果.
【解答过程】∵an=1n+1+2n+1+⋅⋅⋅+nn+1=1+2+⋅⋅⋅+nn+1=nn+12n+1=n2，
∴bn=1nn+14=4nn+1=41n−1n+1，
∴S10=4×1−12+12−13+⋅⋅⋅+110−111=4×1−111=4011.
8.【答案】A【分析】先求出函数的定义域，则有，对函数求导后，令求出极值点，使极值点在内，从而可求出实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，即，，
令，得或（舍去），
因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，
所以，得，综上，，
11.【答案】BD【分析】设函数，求导确定函数在上单调递减，根据单调性逐项比较函数值大小从而得结论.
【详解】设函数，则，令得，
则时，，故函数在上单调递减，
对于A，由得，即，又，则，故A错误；
对于B，由得，即，故B正确；
对于C，由得，即，即，即，
即，因为不成立，故C错误；
对于D，因为，则，即，所以，故D正确．
故选：BD.
12.【答案】/1.4
13.【答案】16【分析】先排甲乙，再排丙，最后安排丁可得答案.
【详解】先排甲乙，共有种方法，产生3个空位，要求甲、乙两人位于丙的同侧，
故丙有2种选择，三人排好后，产生4个空位，故丁有4种选择，
所以共有种不同的做法.
14.【答案】##【分析】设，可得，再由勾股定理即可表示，求出离心率.【详解】因为，所以∠
设，．如图所示，由题意：，|，
可得．则，，．
可得，，
．
，化为：．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）（2分）从这12种产品中任意抽出3件，共有种不同的抽法，
（2）（2分）抽出的3件中恰有1件次品是指2件正品，1件次品，则有种不同的抽法，
（3）（2分）抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在12件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，所以共有种不同的抽法.
（4）【详解】（3分）先将除甲、乙外三人全排列，有种；再将甲、乙插入4个空当中的2个，有种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为种；
（5）（4分）将甲、乙两人“㧢绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有种；
再将其余3人全排列有种，故共有种不同排法；
16.（1）（7分），则
则，又，
则曲线在点处的切线方程为，即
（2）（8分），
则，
由可得或，
则函数的单调增区间为，.
17.【解答过程】（1）（7分）解：设等差数列an的公差为d(d>0)，
又因为a2，a4，a6+2成等比数列，所以a42=a2(a6+2)，即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2)，
整理得：2d2−d−a1=0，又因为a1=1，
解得d=1或d=−12(舍)则有an=a1+(n−1)d=n，所以数列an的通项公式为an=n；
（2）（8分）解：因为an=n，所以bn=3an−3an=3n−3n，
所以Tn=3+32+⋯+3n−3(1+2+⋯+n)
=3(1−3n)1−3−3×(1+n)n2
= 3n+1−3n2−3n−32. 所以Tn=3n+1−3n2−3n−32.
18.【详解】（1）（7分）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
分．
（2）（10分）由频率分布直方图的数据，可得，，，，，的人数之比为，
在，分组中抽6人，在，分组中抽3人，在，分组中抽取2人，
的可能取值为，
则，
的分布列为：
．
19.【详解】（1）（7分）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以规定三名同学都需要回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
（2）（10分）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”，
则，，，
且，，，
由全概率公式可得.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
C
C
D
C
A
D
A
ABD
ABD
BD
0
1
2