++四川省成都市天府七中执信学部2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份++四川省成都市天府七中执信学部2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）60°角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）2023年9月，华为最新的Mate60发售，销量遥遥领先，其中使用的华为新麒鳞芯片突破5纳米（1纳米＝0.000001毫米）制程工艺，数据“5纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣5毫米B．5×10﹣5毫米
C．5×10﹣6毫米D．0.5×10﹣6毫米
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2
B．7x+5x＝12x2
C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9
D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
4．（4分）若a，b，b，c是成比例的线段，其中a＝3，c＝12，则线段b的长为（ ）
A．2B．4C．6D．15
5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（ ）
A．6B．9C．18D．27
6．（4分）某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：
这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9，9B．15，9C．190，200D．185，200
7．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：a2﹣16b2＝ ．
10．（4分）平面直角坐标系中，若点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称，则m+n＝ ．
11．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若E为BC的中点，则sin∠CAE的值是 ．
12．（4分）已知点A（a，y1），点B（a﹣1，y2）都在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧．交CB于点D，交CA于点E，连接DE；②以点B为圆心，以CD长为半径作弧，交BA于点F；③以点F为圆心，以DE的长为半径作弧，在△ABC内与前一条弧相交于点G；④连接BG并延长交AC于点H．若H恰好为AC的中点，则AC的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（8分）小琛周末去检查视力，发现该店老板利用平面镜来解决房间小的问题．已知正常情况下，人与视力表之间的距离应为5米，而测得该店两面墙的距离为3米．如图，根据平面镜成像原理作出光路图，视力表AB的上下边沿A，B上发出的光线经平面镜MM'的上下边反射后射入人眼C处．已知视力表AB的全长为0.8米，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，请计算出镜长至少为多少米？
16．（8分）为全面贯彻党的教育方针，促进学生健康成长，提高体质健康水平，某市调整体育中考实施方案：分值增加至70分，男生1000米（女生800米）必考，足球、篮球、排球“三选一”……，从2023年起开始实施．某中学为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制了如下两幅统计图，请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）求参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图；
（2）若该中学七年级共有260名学生，请你估计该中学七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少人？
（3）若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为县足球队运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为1名男生和1名女生的概率．
17．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD2＝AB•AE；
（2）若AB＝5，AE＝4，求DG的值．
18．（10分）如图1，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，8），与坐标轴交于B，C两点，连接AO，且AC＝BC．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的表达式；
（2）点P是反比例函数上一动点，若S△AOP＝S△AOC，求点P的坐标；
（3）如图2，设D是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，作AM⊥x轴，垂足为M，作DN⊥x轴，垂足为N，若以D，M，N三点组成的三角形与△BOC相似，求点D的坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）
19．（4分）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣2023＝0的两个实数根，则 的值是 ．
20．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
21．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为 ．
22．（4分）给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M（x，y）在反比例函数上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A（2，t）关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是 ．
23．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为CD边中点，连接AE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，BE，且CF与BE交于点H，连接DH，则下列结论：①∠BHF＝90°；②cs∠EFH＝；③DH2＝CH•BH；④△EHD∽△FDC；其中正确的是 .（填序号即可）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某网店直接从工厂购进A、B两款钥匙扣，进货价和销售价如下表：
（1）网店第一次用8500元购进A、B两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）一段时间后，B款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，6），直线l2与x轴交于点C，与直线l1交于D（m，3），OC＝2OA，tan∠BAO＝．
（1）求直线l2的解析式．
（2）在直线AB上是否存在点P，使△PAC的周长为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OD，将△ODB沿直线AB翻折得到△O′DB．点M为x轴上一动点，连接O′M、BM，求△O′MB周长的最小值．
26．（12分）数学思想方法是解决问题的重要途径．在探究性学习中，我们可以采用从特殊到一般的数学思想，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的一般规律．如图，在△ABC中，D为BC边上一动点，在线段AD右侧作线段AE，使得∠BAC+∠DAE＝180°，且．
【特殊情况】（1）若k＝1，点E在△ABC外，连接BE交AC于点F．
①如图1，∠BAC＝60°，AD⊥BC，猜想线段CD与线段AF有怎样的数量关系，说明理由；
②如图2，若∠ADC＝∠BFC﹣∠AEF，猜想线段CD与线段AF有怎样的数量关系，说明理由；
【拓展运用】（2）如图3，若点E在△ABC 内，AD与BE交于点F，∠DAE＝∠ADC，请用含k的式子表示的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（4分）60°角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：cs60°＝，即60°角的余弦值为，
故选：D．
2．（4分）2023年9月，华为最新的Mate60发售，销量遥遥领先，其中使用的华为新麒鳞芯片突破5纳米（1纳米＝0.000001毫米）制程工艺，数据“5纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣5毫米B．5×10﹣5毫米
C．5×10﹣6毫米D．0.5×10﹣6毫米
【解答】解：5纳米＝0.000005毫米＝5×10﹣6．
故选：C．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2
B．7x+5x＝12x2
C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9
D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
【解答】解：∵（﹣3x）2＝9x2，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵7x+5x＝12x，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
4．（4分）若a，b，b，c是成比例的线段，其中a＝3，c＝12，则线段b的长为（ ）
A．2B．4C．6D．15
【解答】解：∵线段a、b、b、c是成比例线段，
∴＝，
∴b2＝ac，
∵a＝3，c＝12，
∴b2＝3×12＝36，
∴b＝6（负值舍去）．
故选：C．
5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（ ）
A．6B．9C．18D．27
【解答】解：∵OA：AD＝1：2，
∴OA：OD＝1：3，
∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴△ABC∽△DEF、AB∥DE，
∴，
∵△ABC∽△DEF，
∴，
∴S△DEF＝9S△ABC＝9×2＝18．
故选：C．
6．（4分）某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：
这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9，9B．15，9C．190，200D．185，200
【解答】解：45名女学生的立定跳远测试成绩的中位数是最中间第23个数据190，众数是出现次数最多的数据200；
故选：C．
7．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车，
∴3（y﹣2）＝x；
∵若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
∴x＝2y+9．
∴可列方程组为．
故选：C．
8．（4分）函数与函数y＝kx﹣k在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项符合题意；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）分解因式：a2﹣16b2＝ （a+4b）（a﹣4b） ．
【解答】解：原式＝（a+4b）（a﹣4b）．
故答案为：（a+4b）（a﹣4b）．
10．（4分）平面直角坐标系中，若点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称，则m+n＝ 2 ．
【解答】解：∵点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称，
∴，
解得，
∴m+n＝2．
故答案为：2．
11．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若E为BC的中点，则sin∠CAE的值是 ．
【解答】解：连接AE．
在格点三角形中，
AB＝＝，
AC＝＝＝2，
BC＝＝5．
∵AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
∵E是BC的中点，AE是中线，
∴AE＝CE＝BC．
∴∠C＝∠CAE．
∴sin∠CAE
＝sinC
＝
＝．
12．（4分）已知点A（a，y1），点B（a﹣1，y2）都在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是 0＜a＜1 ．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，
①当点A（a，y1），点B（a﹣1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a＜a﹣1，无解；
②当点A（a，y1），点B（a﹣1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a＞0，
∴0＜a＜1，
故答案为：0＜a＜1．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧．交CB于点D，交CA于点E，连接DE；②以点B为圆心，以CD长为半径作弧，交BA于点F；③以点F为圆心，以DE的长为半径作弧，在△ABC内与前一条弧相交于点G；④连接BG并延长交AC于点H．若H恰好为AC的中点，则AC的长为 2 ．
【解答】解：如图，连接FG，
由题意得BF＝BG＝CD＝CE，FG＝DE，
∴△NFG≌CDE（SSS），
由作图即可得，∠ABH＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABH∽△ACB，
∴，
∵H是AC的中点，
∴AC＝2AH，
∴2AH2＝AB2＝（）2，
∴AH＝，
∴AC＝2AH＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）
＝2﹣+2﹣|1﹣2×|
＝2﹣+2﹣|1﹣|
＝2﹣+2﹣（﹣1）
＝2﹣+2﹣+1
＝3．
（2），
解不等式①，可得：x＞1，
解不等式②，可得：x≤3，
∴不等式组的解集为：1＜x≤3．
15．（8分）小琛周末去检查视力，发现该店老板利用平面镜来解决房间小的问题．已知正常情况下，人与视力表之间的距离应为5米，而测得该店两面墙的距离为3米．如图，根据平面镜成像原理作出光路图，视力表AB的上下边沿A，B上发出的光线经平面镜MM'的上下边反射后射入人眼C处．已知视力表AB的全长为0.8米，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，请计算出镜长至少为多少米？
【解答】解：作CD⊥MM′，垂足为D，并延长交A′B′于E，如图：
∵AB∥MM′∥A′B′，
∴CE⊥A′B′，
∴△CMM′∽△CA′B′，
∴＝，
又∵CD＝CE﹣DE＝5﹣3＝2，CE＝5，A′B′＝AB＝0.8，
∴＝，
∴MM′＝0.32（米），
答：镜长至少为0.32米．
16．（8分）为全面贯彻党的教育方针，促进学生健康成长，提高体质健康水平，某市调整体育中考实施方案：分值增加至70分，男生1000米（女生800米）必考，足球、篮球、排球“三选一”……，从2023年起开始实施．某中学为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制了如下两幅统计图，请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：
（1）求参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图；
（2）若该中学七年级共有260名学生，请你估计该中学七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少人？
（3）若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为县足球队运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）参与调查的学生人数为：12÷20%＝60（人），
∴喜爱排球运动的学生人数为：60﹣12﹣37＝21（人），
补全条形统计图如下：
（2）260×（1﹣35%﹣20%）＝117（人），
答：估计该中学七年级学生中喜爱篮球运动的学生约有117人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两名学生为1名男生和1名女生的结果有8种，
∴抽取的两名学生为1名男生和1名女生的概率为＝．
17．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD2＝AB•AE；
（2）若AB＝5，AE＝4，求DG的值．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD：AC＝AE：AD，
∴AD2＝AC•AE，
又∵AB＝AC，
∴AD2＝AB•AE；
（2）解：连接DF，如图所示：
由（1）得：AD2＝AB•AE，
∴AD2＝AB•AE＝5×4＝20，
∴AD＝2，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵F是AB的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝AC＝，DF∥AC，
∴△DFG∽△AEG，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴DG＝AD＝×2＝．
18．（10分）如图1，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，8），与坐标轴交于B，C两点，连接AO，且AC＝BC．
（1）求一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的表达式；
（2）点P是反比例函数上一动点，若S△AOP＝S△AOC，求点P的坐标；
（3）如图2，设D是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，作AM⊥x轴，垂足为M，作DN⊥x轴，垂足为N，若以D，M，N三点组成的三角形与△BOC相似，求点D的坐标．
【解答】解：（1）作AM⊥x轴，垂足为M，
∴AM∥y轴，
∵A（2，8），AC＝BC．
∴OB＝OM＝2，
∴B（﹣2，0），
A（2，8），B（﹣2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝2x+4，
∵点A（2，8）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m＝2×8＝16，
∴反比例函数的表达式为：y＝（x＞0）；
（2）令y＝2x+4中x＝0，
则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（2，8），
∴S△AOC＝×4×2＝4，
设直线OA的解析式为y＝k′x，
∴2k′＝8，解得k′＝4，
∴直线OA的解析式为y＝4x，
设P（p，），则Q（，），
当P在点A下方时，过点P作PQ∥x轴，交OA于Q，
∴PQ＝p﹣，
∴S△AOP＝PQ×8＝4PQ＝4p﹣，
∵S△AOP＝S△AOC，
∴4p﹣＝4，解得p＝或（舍去），
∴点P的坐标为（，8﹣8）；
当P在点A上方时，过点P作PQ∥x轴，交OA于Q，
∴PQ＝﹣p，
∴S△AOP＝PQ×8＝4PQ＝﹣4p，
∵S△AOP＝S△AOC，
∴﹣4p＝4，解得p＝或（舍去），
∴点P的坐标为（，8+8）；
综上，点P的坐标为（，8﹣8）或（，8+8）；
（3）如图2，
∵C（0，4），
∴OC＝4，
∵AM⊥x轴，点A（2，8），
∴OM＝2，
∵CO⊥OB，DN⊥MN，
∴以D、N、M三点组成的三角形与△BOC相似，则△MND∽△BOC或△DNM∽△BOC，
①当△MND∽△BOC时，＝2，
设MN＝b，则ND＝2b，
ON＝OM+MN＝2+b，
∴D（2+b，2b），
∵D在y＝（x＞0）的图象上，
∴2b＝，
解得：b＝2或b＝﹣4（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为（4，4）；
②当△DNM∽△BOC时，，
设MN＝2c，则ND＝c，
ON＝OM+MN＝2+2c，
∴D（2+2c，c），
∵D在y＝（x＞0）的图象上，
∴c＝，
解得：c＝或c＝（不合题意，舍去），
∴2+2c＝2+2×＝+1，
∴点D的坐标为（+1，）；
综上所述，点D的坐标为（4，4）或（+1，）．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）
19．（4分）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣2023＝0的两个实数根，则 的值是 ．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣2023＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣2023，
∴
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
20．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
【解答】解：弦AB＝80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC＝x，则AC＝80﹣x，
∴，解方程得，，
点D是靠近点A的黄金分割点，设AD＝y，则BD＝80﹣y，
∴，解方程得，，
∴C，D之间的距离为，
故答案为：．
21．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的表面积为 （2+18）cm2 ．
【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，底面三角形的高为cm，三棱柱的高为3cm，
所以该几何体的表面积为：
2×÷2×2+2×3×3＝（2+18）cm2．
故答案为：（2+18）cm2．
22．（4分）给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点M（x，y）在反比例函数上，若点A绕着M点旋转180°后得到点B，我们称B是A关于M的“伴随点”．若A（2，t）关于M的“伴随点”为B，由A、B和坐标原点构成的三角形是以OA为直角边的等腰直角三角形，则t的值是 或或0 ．
【解答】解：当点M在第三象限时，如图1，作MH⊥AN于H，
则AM＝OA，
∵∠OAM＝∠ONH＝∠MHA3＝90°，
∴∠NOA＝∠MAH，
∴△ONA∽△AHM，
∴，
∵ON＝2，A3N＝﹣t，
∴A3H＝1，MH＝﹣t，
∴M（2+t，t﹣1），
∴（2+t）×（t﹣1）＝1，
解得t＝（正值舍去），
当点M在第一象限时，如图2，
同理可知，t＝，
当A在（2，0）时，则B3（0，2），此时M（1，1）符合题意，
综上：t的值为或或0，
故答案为：或或0．
23．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为CD边中点，连接AE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，BE，且CF与BE交于点H，连接DH，则下列结论：①∠BHF＝90°；②cs∠EFH＝；③DH2＝CH•BH；④△EHD∽△FDC；其中正确的是 ①②③ .（填序号即可）
【解答】解：∵点E为CD边中点，
∴DE＝CE，
又∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴∠DAE＝∠CBE，
∵AD＝CD，∠ADF＝∠CDF＝45°，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DCF＝∠DAF，
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠BEC+∠DCF＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴BE⊥CF，
∴∠BHF＝90°；
故①正确；
设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，则DE＝CE＝a，BD＝2a，
∴AE＝BE＝＝a，
∵S△BCE＝×BC×CE＝×BE×CH，
∴2a×a＝a×CH，
∴CH＝a，
∵tan∠BEC＝，
∴HE＝＝a，
∴BH＝a，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴＝，
∴EF＝AF，DF＝BF，
∴EF＝a，AF＝a，DF＝a，
∴FH＝＝＝a，
∴＝＝，
∴cs∠EFH＝＝；
故②正确；
过点H作HN∥BC，交CD于N，
∴∠DNH＝∠BCD＝90°，△EHN∽△EBC，
∴，
∴＝，
∴EN＝a，HN＝a，
∴DN＝a，
∴DH2＝DN2+HN2＝a2+a2＝a2，
∵CH•BH＝a×a＝a2，
∴DH2＝CH•BH，故③正确；
∵＝＝，＝＝，
∴，
∴△EHD与△FDC不相似，故④错误，
故答案为：①②③．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）某网店直接从工厂购进A、B两款钥匙扣，进货价和销售价如下表：
（1）网店第一次用8500元购进A、B两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）一段时间后，B款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【解答】解：（1）设购进x件A款钥匙扣，y件B款钥匙扣，
根据题意得：，
解得：．
答：购进200件A款钥匙扣，100件B款钥匙扣；
（2）设将销售价定为每件m元，则每件的销售利润为（m﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣m）＝（78﹣2m）件，
根据题意得（m﹣25）（78﹣2m）＝90，
整理得：m2﹣64m+1020＝0，
解得：m1＝30，m2＝34．
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，6），直线l2与x轴交于点C，与直线l1交于D（m，3），OC＝2OA，tan∠BAO＝．
（1）求直线l2的解析式．
（2）在直线AB上是否存在点P，使△PAC的周长为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OD，将△ODB沿直线AB翻折得到△O′DB．点M为x轴上一动点，连接O′M、BM，求△O′MB周长的最小值．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，
∵tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝60°，
∴OA＝＝＝2，
∴A（﹣2，0），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+6，
当y＝3时，x+6＝3，
∴x＝﹣，
∴D（﹣，3），
∵OC＝2OA，
∴OC＝4，
∴C（﹣4，0），
设l2的解析式是y＝k′x+n，
∴，
∴，
∴直线l2的解析式为y＝x+4；
（2）当P在x轴上方时，如图1﹣1，
作PH⊥OC于H，
设AH＝a，
∵∠BAO＝60°，
∴AP＝＝2a，
PH＝AH•tan60°＝a，
∴CH＝CA+AH＝2+a，
在Rt△PCH中，由勾股定理得，
PC＝＝，
∵PC+AP+AC＝6，
∴+2a＝4，
∴a＝，
∴PH＝a＝，
∴OH＝OA﹣AH
＝2﹣＝，
∴P（﹣，）；
当P在x轴下方时，如图1﹣2，
设AH＝b，
由上知：AP＝2b，
PC＝，
∴+2b＝4，
∴b＝，
∴PH＝AH＝3，
OH＝AH+OA＝+2＝3，
∴P（﹣3，﹣3），
综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（﹣3，﹣3）；
（3）如图2，连接OO′，作O′H⊥OB于H，
∵∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠OBO′＝2∠ABO＝60°，
∴O′B＝OB＝6，
∴△BOO′是等边三角形，
∴O′H＝O′B•sin∠OBO′＝3，OH＝OB＝3，
∴O′（﹣3，3），
由作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣6），连接O′B′交x轴于点M，
此时△O′MB周长的最小值为O′B+O′M+BM＝O′B+O′M+B′M＝O′B+O′B′，
∵O′（﹣3，3），B′（0，﹣6），
∴O′B′＝＝6，
∴△O′MB周长的最小值为6+6．
26．（12分）数学思想方法是解决问题的重要途径．在探究性学习中，我们可以采用从特殊到一般的数学思想，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的一般规律．如图，在△ABC中，D为BC边上一动点，在线段AD右侧作线段AE，使得∠BAC+∠DAE＝180°，且．
【特殊情况】（1）若k＝1，点E在△ABC外，连接BE交AC于点F．
①如图1，∠BAC＝60°，AD⊥BC，猜想线段CD与线段AF有怎样的数量关系，说明理由；
②如图2，若∠ADC＝∠BFC﹣∠AEF，猜想线段CD与线段AF有怎样的数量关系，说明理由；
【拓展运用】（2）如图3，若点E在△ABC 内，AD与BE交于点F，∠DAE＝∠ADC，请用含k的式子表示的值．
【解答】解：（1）①画出将△ADC绕点A逆时针旋转120°所得到的△AEN，如图1所示：
CD与AF之间的数量关系为：CD＝2AF，理由如下：
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝30°，
将△ADC绕点A逆时针旋转120°得到的△AEN，
∴△ADC≌△AEN，
∴CD＝EN，AN＝AC，∠ANE＝∠C＝60°，
∴BN＝2AB，∠BAF＝∠N＝60°，
∵∠ABF＝∠NBE，
∴△ABF∽△NBE，
∴＝＝，
∴NE＝2AF，
∴CD＝2AF；
②CD与AF之间的数量关系为：CD＝2AF，理由如下：
延长BA至点N，使AN＝AB，取BE的中点H，连接AH，NE，如图2所示：
∵∠BAC+∠CAN＝180°，
∴∠CAN＝180°﹣∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAN，
∵AN＝AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADC≌△AEN（SAS），
∴CD＝EN，∠ADC＝∠AEN，
∴∠BEN＝∠AEF+∠AEN＝∠AEF+∠ADC＝∠BFC＝∠AFE，
∵AB＝AN，BH＝EH，
∴AH是△BEN的中位线，
∴AH∥EN，EN＝2AH，
∴∠AHF+∠BEN＝180°，
∵∠AFH+∠AFE＝180°，
∴∠AHF＝∠AFH，
∴AF＝AH，
∴CD＝EN＝2AH＝2AF，
即CD＝2AF；
（2）延长BA至点N，使AC＝kAN，连接EN，如图3所示：
由②知∠DAC＝∠EAN，
∵＝＝k，
∴△ADC∽△AEN，
∴＝＝k，∠AEN＝∠ADC，
∵∠DAE＝∠ADC，
∴∠AEN＝∠DAE，
∴AD∥EN，
∴＝，
∵AB＝kAC＝k2AN，
∴BN＝AB+AN＝（k2+1）AN，
∴＝＝，
∴＝，
∴AF＝EN，
∵CD＝kEN，
∴＝×＝．
跳远成绩
160
170
180
190
200
210
人数
3
9
6
9
15
3
类别/价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
跳远成绩
160
170
180
190
200
210
人数
3
9
6
9
15
3
类别/价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37