湖北省武汉市梅苑学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省武汉市梅苑学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含湖北省武汉市梅苑学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、湖北省武汉市梅苑学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

1. x取下列各数时，使得有意义的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
故选：D．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，符合定义，是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：B．
3. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加法、乘除运算法则及平方差公式进行计算即可．
【详解】解：，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的加法运算、乘除运算及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．，，
，
此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．设，则，，
，
，解得，
，，
此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．，
此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）
A. 4米B. 5米C. 6米D. 7米
【答案】D
【解析】
【分析】先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【详解】解∶在中，米，
故可得地毯长度米，
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．
6. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. OA＝OC，OB＝ODB. OA＝OC，AB∥CD
C. AB＝CD，OA＝OCD. ∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
【详解】解：A.∵ OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴A正确，故本选项不符合要求；
B. ∵AB∥CD
∴∠DAO=∠BCO，
在△DAO与△BCO中，
∴△DAO≌△BCO（ASA），
∴OD=OB，
又OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴B正确，故本选项不符合要求；

C. 由 AB=DC， OA=OC，
∴无法得出四边形ABCD平行四边形．故不能能判定这个四边形是平行四边形，符合题意；∵AB∥DC，
D.∵∠ADB=∠CBD，∠BAD=∠BCD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），∴D正确，故本选项不符合要求；故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
7. 如图，某同学剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（ ）．
A. 3B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作于E，于F，则，，求出四边形是平行四边形，证出，推出，求出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，解直角三角形求出，最后根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】如图，过点A作于E，于F，
由题意可得，．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
和中，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴重叠部分的面积是．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能证明四边形ABCD是菱形是解答此题的关键，难度适中．
8. 如图，矩形中，，，且与之间的距离为3，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点F作于点G，则，根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，从而可得，再由平行线的性质可得，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：过点F作于点G，则，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理及一元一次方程，熟练掌握相关定理证得是解题的关键．
9. 如图，在平行四边形中，点F是上一点，，，点E是的中点，平分，，则的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长、，交于点G，由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，从而可证，可得，再由角平分线的定义可得，从而可得，根据等腰三角形的性质与判定可得，再根据平行四边形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：延长、，交于点G，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、平行四边形的性质、勾股定理及角平分线的定义，正确构建辅助线，运用数形结合思想是解题的关键．
10. 如图，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．则等于（ ）

A. 18B. 20C. 22D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．
【详解】解：过F作于D，连接，

∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
同理可证，
∴．

由可得：，
∴，
∵，即，且，，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴
；
故选：A．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 已知，化简______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
由二次根式的性质化简，再去绝对值即可．
【详解】解：，∵，
∴，
故答案为：．
12. 若，则_____________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可确定x的值，进而求得y的值，则所求代数式即可求解．
【详解】根据题意得：
，
解得：x=1.5．
则y=2．
则2x+y=2×1.5+2=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13. 如图，把菱形沿折痕翻折，使B点落在延长线上的点E处，连结，若，则______°．
【答案】64
【解析】
【分析】由折叠的性质可得，再由菱形的性质和平行线的性质可得，再由三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：64．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行线的性质、折叠的性质及三角形外角的性质，熟练掌握菱形的性质和折叠的性质是解题的关键．
14. 如图，在四边形中，，，，如果，，那么______．
【答案】2
【解析】
【分析】过点D作，交于点E，根据平行四边形的判定与性质可得，再由平行线的性质可得，从而可证是等边三角形，即可求解．
【详解】解：过点D作，交于点E，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理证得是等边三角形是解题的关键．
15. 如图，在等腰中，，F 是边上的中点，点 D，E 分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形；③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为4．其中正确的结论是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①连接，证明，得到是等腰直角三角形；②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；③当最小时，也最小，利用垂线段的性质求出的最小值，进行计算即可；④根据，得到；⑤由③的结论进行计算即可．
【详解】解：①连接，

∵是等腰直角三角形，且F是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，①正确；
②当D、E分别为、中点，即、分别为和斜边上的中线，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，又，
∴四边形是正方形，②错误；
③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小，
当时，最小，此时．
∴，③正确；
④∵，
∴，
∴，
∵F 是边上的中点，
∴
∴四边形的面积保持不变，④正确；
⑤由③可知当最小时，也最小，的最小值是3，则的最小值为，
当面积最大时，此时的面积最小．
此时，⑤错误；
综上，正确的是：①③④，
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键．
16. 如图，已知射线垂直射线，矩形中，，，点D在上运动，点C在上运动，则线段的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，勾股定理及三角形三边关系，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键．取的中点M，连接，，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求，利用勾股定理可求，然后根据三角形两边之和大于第三边可得当点A，M，F三点共线时，最大即的长，从而得解．
【详解】解：取的中点M，连接，，
由题意可知，，
∴在中，
在矩形中，
∴在中，
由三角形两边之和大于第三边可知，当点A，M，F三点共线时，最大
即；
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再进行加减计算即可；
（2）二次根式的乘法法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式．
18. 如图，在中，点E、F分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得，，又由，即可证得，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，即．
∴且．
∴四边形是平行四边形
19. 如图，在矩形中，，，点E在上，等于，，连接．作，垂足为M．

（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理：
（1）根据证明即可得到结论；
（2）由勾股定理求出，由得，由勾股定理得，故可得，再根据勾股定理得．
小问1详解】
∵四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
又∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
20. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）
（2）需要，
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解；
（2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得
，，，
如图，过作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：，
答：山地C距离公路的垂直距离为；
【小问2详解】
解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则，
，
，
由（1）可知，，
，
有危险需要暂时封锁，
在中，
，
，
即需要封锁的公路长为．
21. 如图，在菱形中，点E在边上，仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．

（1）如图1，在上画点F，使四边形是平行四边形；
（2）如图2，在上画点K，使；
（3）如图3，若点G在上，在上画点H，使四边形是菱形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）见解析．
【解析】
【分析】（1）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，连接、，利用菱形的中心对称性得到，则四边形即为所求；
（2）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，连接交于P，连接并延长交于点K，根据菱形的轴对称性得到，由（1）得，则；
（3）连接，相交于点O，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接交于点H，利用与互相垂直平分得到四边形为菱形．
【小问1详解】
解：如图，四边形即为所求的平行四边形；
；
【小问2详解】
解：如下图所示：点K即为所求， ；
【小问3详解】
解：如图，四边形即为所求的菱形； ．
【点睛】此题考查了尺规作图，菱形和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质以及尺规作图的方法．
22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，4）．点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动（到达C点后停止），速度为2cm/s，设运动时间为t（s）．
（1）PB＝_______，PC＝_______．（用含t的代数式表示）；
（2）当点P运动在什么位置时，四边形PCDA是平行四边形？并求运动时间t；
（3）当是等腰三角形时，点P的坐标为______________．
【答案】（1）2tcm，(10-2t)cm
（2）点P运动到BC的中点时，四边形PCDA是平行四边形；t=2.5s
（3）(2,4)或 (2.5,4) 或 (3,4) 或(8,4)
【解析】
【分析】（1）由点P的运动速度及时间即可求得PB，从而可得PC；
（2）由AD∥BC，当PC=AD=5cm时，此时点P位于BC的中点，四边形PCDA是平行四边形，由PB=5cm可求得此时的运动时间；
（3）分三种情况：OD=PD；OP=OD；OP=DP，即可求得点P的坐标．
【小问1详解】
∵四边形OABC是平行四边形
∴BC∥OA，BC=OA
∵A(10，0)
∴BC=OA=10cm
∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s）
∴PB=2t(cm)
∴PC=BC−PB=(10-2t)cm
故答案为：2tcm，(10-2t)cm
【小问2详解】
∵D是OA的中点
∴
∵AD∥BC
∴当PC=AD=5cm时，四边形PCDA是平行四边形
则点P是BC的中点
∴
∴此时点P运动的时间为
【小问3详解】
①当OD=PD=5cm时，如图，过点D作DE⊥BC于点E
∵BC∥OA，且C(2, 4)
∴DE=4cm，点E(5，4)
由勾股定理得：
当点P在E点左边时，点P与点C重合；当点P在点E右边时，点P坐标为(8,4)
②当OP=OD=5cm时，如图，过点P作PF⊥OA于点F
∵PF=4cm
∴由勾股定理得：
则点P的坐标为(3,4)
③当OP=DP时，则点P是线段OD的垂直平分线与BC的交点
∵线段OD的中点坐标为(2.5，0)
∴点P的坐标为(2.5，4)
综上所述，满足条件的点P的坐标为(2,4)或 (2.5,4) 或 (3,4) 或(8,4)
故答案为：(2,4)或 (2.5,4) 或 (3,4) 或(8,4)
【点睛】本题是动点问题，考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，注意分类讨论．
23. （1）如图，已知在中，，为的角平分线，点M在线段上，连接．求证：；
（2）如图，已知在中，，，过点B、C作外角的角平分线所在直线的垂线，垂足分别为点D、E，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、三角形三边关系、勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，利用三角形三边关系是解题的关键，（1）全等三角形的判定和性质的综合应用；在上截取，连接，则，得，，而，从而得；（2）作，交于点，延长交于，根据题意易证，进而得到，由勾股定理得，即可得到答案．
【详解】（1）解：在上截取，连接，如图所示：
∵为的角平分线，
∴
在和中
∴
∵
∴
∵
∴
（2）解：作，交于点，延长交于，如图所示：
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴的负半轴上取点，在x轴的正半轴上取点，点O为原点，．
（1）直接写出m的值；
（2）动点由点出发沿向点运动，同时点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动，当点到达点时，两点运动同时停止，连接交轴于点，作轴于点，求的长；
（3）在（2）的条件下，以为底边，在上方作等腰直角，若的面积等于8，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先作，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，即，求得的值；
（2）先作轴，判定，以及，得出，根据进行计算即可；
（3）作轴于，连接，先判定，得出，再根据的面积等于8，得到，即，求得，最后根据矩形中，，，得到，进而得出的坐标．
小问1详解】
解：如图1，作于，

，，，
，，
，
，即，
解得；
【小问2详解】
如图1，作轴于，
，
，
点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
由（1）可得，，
，，，，
；
【小问3详解】
如图2，作轴于，连接，

，
，
又，，
∴，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，，
，
∴轴，
，
的面积等于8，
，即，
，
矩形中，，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算公式以及矩形的性质，坐标与图形等，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及矩形．