山东省淄博市临淄区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．）
1. 下列各式中不是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的定义进行判断即可.
【详解】A、，∵x2+1≥1＞0，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
B、∵﹣4＜0，∴不是二次根式；故本选项错误；
C、∵0≥0，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、符合二次根式的定义；故本选项正确．
故选B．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是关于x的一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、只有当时，是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是关于x、y的二元一次方程，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 3，1，B. 3，2，1C. 3，，D. 3，2，
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
根据一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项可得答案．
【详解】解： 变形为：，
则，的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，，
故选：C．
4. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式．
5. 把方程化成的形式，则的值是（ ）
A. 17B. 15C. 9D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法，可以得到和，再代入求解．
【详解】解：，
，
，
，
，，
，
故选：C．
6. 根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（ ）
A. 0＜x＜0.5B. 0.5＜x＜1C. 1＜x＜1.5D. 1.5＜x＜2
【答案】D
【解析】
【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解．
【详解】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c-10=-4.75，
当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c-10=3，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解．
7. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A. 1B. ﹣1C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】直接把x=0代入方程，再结合，进而得出答案．
【详解】∵关于的方程有一个根为0
∴把x=0代入
得
解得
∵二次项系数
∴
故选：A
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
8. 以为根的一元二次方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：A. ，
，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，
，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，
，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，
，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
9. 把根号外的因式移入根号内，结果为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于被开方数，可确定x−1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
【详解】解：由已知可得：，
∴ ，即，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出x−1的取值范围是解答此题的关键．
10. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（ ）
A. 或B. 1或C. 或4D. 1或4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键．
根据幻方的规则，得出方程，再求解方程即可．
【详解】解∶设幻方所填数如图所示，
∴，，
由①得，
由②
由得：，
解得：，，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 二次根式有意义的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的非负性，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键，由于所给式子中含有分母，故不仅要保证被开方数为非负数外，还要保证分母不为零，即可得到答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 计算：所得的结果是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】由二次根式的乘法、除法运算进行计算，即可求出答案．
【详解】解：原式＝．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确进行计算．
13. 某兴趣班的同学在元旦节期间每个同学用手机给班级其他同学各发一条短信问候节日快乐．如果全班同学共发出短信90条，那么该兴趣班共有____人．
【答案】10
【解析】
【分析】设该班级共有同学名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出90条短信可得方程，然后求解即可．
【详解】解：设该班级共有同学名，
根据题意，得：，
解之得：
故答案为：10．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
14. 若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则=__________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m-4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与-2，则有，然后两边平方得到=4．
【详解】由得，解得，可知两根互为相反数.
∵一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，
∴m+1+2m－4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2和-2，
∴，
∴=4
15. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），
∴方程变形为，
即此方程中或，
解得或．
故方程的解为．
故答案为．
【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】（1）先把二次根式化成最简形式，再进行加减计算即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
解：（1）原式
；
（2）整理得：，
∵，，．
，
，
．
17. 如图，从一张面积为的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子．

（1）原来大正方形的边长为________；剪掉的四个小正方形的边长为________．（结果用最简二次根式表示）
（2）分别求这个长方体盒子的底面边长和体积．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
【答案】（1）4，
（2）这个长方体盒子的底面边长为4.5cm，体积为
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用．
（1）利用正方形的面积公式和二次根式的性质，求出大正方形和小正方形的边长即可；
（2）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长求出底面边长，利用长方体的体积公式求出体积即可．
掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键．
【小问1详解】
解：大正方形的边长为；剪掉的四个小正方形的边长为cm．
故答案为：4，；
【小问2详解】
这个长方体盒子的底面边长为，
这个长方体盒子的体积为．
答：这个长方体盒子的底面边长为4.5cm，体积为．
18. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）；
（2）错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）；
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）小亮 （2）（或）
（3）；2030
【解析】
【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质进行判断即可；
（2）根据二次根式的性质进行回答即可；
（3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【小问1详解】
解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的；
故答案为：小亮
【小问2详解】
小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或），
故答案为：（或）
【小问3详解】
原式，
，
，
原式



．
19. 关于方程有两个不相等的实数根．
求实数的取值范围；
是否存在实数，使方程两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）且；（2）不存在符合条件的实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
【解析】
【分析】由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围.
首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于的等式，解出值，然后判断值是否在中的取值范围内.
【详解】解：依题意得，
，
又，
的取值范围是且；
解：不存在符合条件的实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程的两根分别为，，
由根与系数的关系有：，
又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
，
，
由知，，且，
不符合题意，
因此不存在符合条件的实数，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系．
20 某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
【答案】（1）平均每次降价盈利减少的百分率为
（2）每件应降价60元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解；
（2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解．
【小问1详解】
解：设平均每次降价盈利减少的百分率为，
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价盈利减少的百分率为．
【小问2详解】
设每件应降价元，则每天可售出件，
依题意，得，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
答：每件应降价60元．
21. 将一条长为的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？请说明理由；
（2）这两个正方形的面积之和可能等于吗？请说明理由．
【答案】（1）剪成的一段为，另一段为
（2）不可能，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，此题等量关系是：两个正方形的面积之和一定．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据“两个正方形的面积之和等于”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
（2）由题意建立方程，解方程发现一个根比14大，一个根为负数，均不符合题意．
【小问1详解】
解：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，
依题意列方程得，
整理得：，
，
解方程得，，
，；
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是、；
【小问2详解】
解：当，即时，
解得，，
，得，，均不符合题意，舍去，
这两个正方形的面积之和不可能等于．
22. 如图，一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合） 过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．
（1）点A的坐标为 ，线段AB= ；
（2）若矩形OCPD的面积为1，求点P的坐标；
（3）是否存在一点P，使矩形OCPD的面积为？说明你的理由．
【答案】（1）（，0），；（2） P（1，1）或 P（，2）；（3）不存在
【解析】
【分析】（1）根据一次函数解析式，令即可求得点的坐标；令即可求得点的坐标，进而根据勾股定理求得的长；
（2）设的坐标为，根据矩形的面积公式列出方程，解方程即可求得的坐标
（3）根据（2）的方法列出方程，进而求解即可．
【详解】解：（1）一次函数的图象交x轴于点A，，交y轴于点B，
令，即
解得
令，即
（2）点P在线段AB上（不与点A，B重合）
设的坐标为，
整理得
解得
当时，，即
当时，,即
或
（3）不存在，理由如下，
依题意，设的坐标为，
整理得
即原方程无实数根，则不存在点P，使矩形OCPD的面积为．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标周交点问题，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
23. 阅读材料，请回答下列问题
材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：S＝…①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）
材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）
（1）若已知三角形的三边长分别为3、4、5，请试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
【答案】（1）三角形的面积为6；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据材料，代入公式即可求解；
（2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导．
【详解】解：（1）设a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝25，52＝25，
∴a2+b2＝c2，
a2b2＝144，
∴S＝＝＝6；
∵p＝＝＝6，
p﹣a＝6﹣3＝3，p﹣b＝6﹣4＝2，p﹣c＝6﹣5＝1，
S＝
＝
＝6．
∴三角形的面积为6．
（2）∵[a2b2﹣（）2]
＝[﹣]
＝[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]
＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a+c﹣b）（b+c﹣a）
＝×2p•（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）
＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）
∴＝.
【点睛】本题考查了二次根式的应用、平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式．
x
0
0.5
1
1.5
2
ax2+bx+c
﹣15
﹣8.75
﹣2
5.25
13