2024年高考押题预测卷—数学(全国卷文科03)(全解全析)
展开第一部分(选择题 共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.【答案】B
【详解】依题意,,若,解得(时不满足集合的互异性,舍去),
若,解得(时不满足集合的互异性,舍去),
综上所述,或.
故选:B
2.【答案】B
【详解】,则,
故.
故选:B.
3.【答案】C
【详解】因为,所以为线段上靠近的三等分点,如下图所示:
故.
故选:C.
4.【答案】A
【详解】由题意可得,
即恒成立,即,即.
故选:A.
5.【答案】A
【详解】,且,所以,又,所以,充分性满足,
如图:满足,,但不成立,故必要性不满足,
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选:A.
6.【答案】C
【详解】记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6类场景分别为A,B,C,D,E,F,
从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有
,,,,,,,,,
,,,,,,共15种,
设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”,
则事件M包含的基本事件有,,,,,
,,,,共9种,
故所求概率,
故选:C.
7.【答案】D
【详解】由题意将该三棱锥补充为一个正方体,如图所示,
该三棱锥为,其外接球与它所在正方体外接球是同一个,
设其外接球的半径为,则有,
此几何体的外接球的表面积为.
故选:D.
8.【答案】B
【详解】如图,过P作圆O的切线,连接,
在中,,
所以.
当点Q运动到点A时,最大,即,
所以.
故选:B.
9.【答案】B
【详解】由题意知直线为函数图象的一条对称轴,为函数图象的一个对称中心,
故,则,,
又在上单调递减,则,
即得,结合,即,
故当时,;当时,;
取其它值时,不合题意,
故的最大值为,
故选:B.
10.【答案】B
【详解】因为,由余弦定理可得,解得,
又因为,由正弦定理可得,且,即,解得,
所以.
故选:B.
11.【答案】C
【详解】设双曲线的右焦点,过第一象限的渐近线方程为,
当时,,即,又,
因为M是线段的中点,所以,得,
所以,即,
所以C的渐近线方程为.
故选:C.
12.【答案】B
【详解】对,因为,则,即函数在单调递减,
且时,,则,即,所以,
因为且,所以,
又,所以.
故选:B
第二部分(非选择题 共90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.【答案】
【详解】作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线,平移直线,数形结合可知当直线经过点时,取得最小值.
由得,故,.
故答案为:
14.【答案】/
【详解】由,则有,
即,
由,故,
故,即.
故答案为:.
15.【答案】1
【详解】依题意,设正的边长为2,则圆锥的底面圆半径为1,高为,母线长为2,
因此,,
球半径即为正的边心距,因此,,
所以.
故答案为:1
16.【答案】
【详解】
设,,由抛物线定义可知,,
,
因为,所以,
所以,
因为,所以,
所以,所以,
即的最大值为.
故答案为:.
三、解答题:共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选做题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
【详解】(1)平均数,
由,,
故中位数位于,设中位数为,则有,解得,
即平均数,中位数;
(2),
故有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关.
18.(12分)
【详解】(1)因为成等比数列,且,
所以,由,解得,
所以.
(2)由,
得,
由,有,所以,得.
19.(12分)
【详解】(1)在等腰梯形中,因为,
所以,,
所以,所以.
因为平面平面,平面平面平面,
所以平面.
又平面,所以.
又平面,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(2)如图,过点作于点,由(1)可知平面平面,
又平面平面平面,所以平面,故.
在中,,所以.
在中,,所以.
又,所以,即四棱锥的高为1.
由题意知,梯形的高为,所以梯形的面积为,
所以四棱锥的体积为.
(12分)
【详解】(1)由可得,
则,所以曲线在点处的切线斜率为,
又因为,所以切线方程为:,即.
所以.
(2)要证明,只要证,
设,则,
令,则,
所以在上单调递减,又,
所以当时,,则在上单调递增,
当时,,则在上单调递减,
所以,所以.
21.(12分)
【详解】(1)由题意知,
所以的方程为
直线的倾斜角为,过点直线的方程为
设,联立,
得
与互相垂直的倾斜角为由对称性可知
(2)方法一:由题意可知的斜率存在且不为0,设的方程分别为由互相垂直可得①
联立得②
联立,
整理得
是的中点③
由②③得,即④
同理联立得⑤
由①④⑤得
⑥
联立,
得
取中点,所以⑦
由⑥⑦得与重合,即是中点.
方法二:由题意可知的斜率存在且不为0,设的方程分别为
由互相垂直可得
设的坐标分别为
联立,
得,又
是的中点
整理可得的中点
又直线恒过定点,
,
同理
三点共线
所以的中点在上,又上的点在上
所以与重合,即是中点
方法三:由题意可知的斜率存在且不为0,设的方程分别为
由互相垂直可得①
联立得,所以②
设的坐标分别为,代入得
两式相减得,
变形为,即③
由②③得,即④
同理联立得,
所以⑤
由①④⑤得,
所以⑥
取中点,同理可证⑦
由⑥⑦得.
结合均在直线上,所以与重合,即是中点.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做。则按所做的第一题记分.
22.(10分)
【详解】(1)由题设曲线的参数方程,消参得,
由,且得,,化简得,
C的普通方程为,l直角坐标方程为.
(2)当时,,易知,设,
可得,(a是参数),
消参得方程为且,
则圆心距离得,
则两圆相交,故两圆存在公共点,联立方程组,
解得或,故坐标为.
23.(10分)
【详解】(1)不存在,,,使得.理由如下:
因为,,都是正数,且,所以,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
即的最小值为,
所以不存在,,,使得.
(2)因为
,当且仅当时等号成立,
所以.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
C
A
A
C
D
B
B
B
C
B
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