2024年上海高考押题预测卷03【上海卷】数学（参考答案）

这是一份2024年上海高考押题预测卷03【上海卷】数学（参考答案），共6页。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，
1．， 2． 3．2 4．
5．； 6． 7．16 8．
9．4 10．1024 11．， 12．1
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。
三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（14分）（1）证明：在三棱柱，平面，
平面，，，
又，，故，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，0，，，0，，，1，，，2，，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，得．
，
，
又平面，则平面．
（2）解：若为的中点，则，0，，，，
，
由，可得，
故与所成的角为．
18．（14分）解：（1）因为，
所以，
所以，
化简得，
因为，，
所以；
（2）若，，显然为锐角，
则，
所以，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
因为，
所以，
所以．
19．（14分）解：（1）由题中的数据可以直接填表，
，
能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（2）从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取一人，自主做数学题时间不少于12小时的概率为，
设从120名学生中抽取12人，这些人周做题不少于12小时的人数为随机变量，
，
，
即数学期望为7.2．
可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
．
20．（18分）解：（1）由题意得，①，
将点代入椭圆得②，
联立①②可得，即，
，，
椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可得右焦点，
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，，，
由（1）得椭圆的标准方程为，
联立，整理得，
显然△，
，，
的面积
，
，当且仅当，即时等号成立，
，
的面积的最大值为；
（3）证明：由（2）得直线的方程为，则，
由（2），，，，
，，
则，
故为定值，且值为0．
21．（18分）解：（1），
，
令，得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以（1）．
（2）若、、依次成等比数列，则，
若、、成等差数列，则，
所以，
所以，
当时，成立，
当时，则，联立，得，
，即，
所以，与矛盾，
所以时，存在，，满足条件，
当时，不存在，，满足条件．
（3）证明：，则，
，
所以，
又
，
令，
上式
①，
令，则恒成立，
单调递减，
所以（1），
充分性：若，则，则恒成立，
必要性：要使得①式恒成立，则恒成立，即．
13
14
15
16
A
B
C
C
学生本学期检测数学标准分数大于等于120分
学生本学期检测数学标准分数不足120分
合 计
周做题时间不少于12小时
60
16
76
周做题时间不足12小时
40
64
104
合 计
100
80
180