2024年上海高考押题预测卷02【上海卷】数学全解全析

这是一份2024年上海高考押题预测卷02【上海卷】数学全解全析，共17页。
1．已知集合，．则 ．
【分析】求出集合、的范围，再根据交集的定义可得．
【解答】解：由题意，，，
．
【点评】本题考查集合的交集求法，属简单题．
2．已知复数是虚数单位），则 ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：复数，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
3．已知数列的通项公式，则它的第7项是 27 ， ．
【分析】利用数列的通项公式，求解数列的项即可．
【解答】解：数列的通项公式，则它的第7项是：．
．
故答案为：27；4．
【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列项的求法，是基础题．
4．的展开式中项的系数为 14 ．
【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式中含项的系数
【解答】解：，
所以展开式中含的项的系数为：．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项展开式的通项公式，是基础题目．
5．如图所示，该分布的0.25分位数为 ．
【分析】根据分位数的定义即可求解．
【解答】解：且对称轴为轴，
，
该分布的0.25分位数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了分位数的定义，属于基础题．
6．定义在上的奇函数满足，并且当时，，则
【分析】由已知可得函数的周期，然后结合周期及已知函数解析式可求．
【解答】解：由定义在上的奇函数，即，
又因为，
所以，
所以，可知函数的周期，
因为当时，，
则（1）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用函数的对称性及周期性求解函数值，解题的关键是把所求函数值转化到已知区间上．
7．设有12件药品，其中4件是次品，现进行两次无放回抽样，即每次抽一件不放回去，则两次都抽到正品的概率是 ．
【分析】利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：两次都抽到正品的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8．已知圆与圆相切，则 1或3 ．
【分析】利用两个圆相切，列出方程求解即可．
【解答】解：圆与圆相切，
可得，解得或，
故答案为：1或3．
【点评】本题考查两个圆的位置关系的应用，是基础题．
9．已知不等式的解集是 ，， ．
【分析】由，得，去绝对值求出解集即可．
【解答】解：由，得，
所以或，解得或，
即不等式的解集为，，，
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查不等式的求解，指数函数的单调性和绝对值不等式的解法是解决本题的关键，是基础题．
10．交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为 （交通锥筒的厚度忽略不计）．
【分析】设圆锥的母线长为，根据周长的关系求出，再利用圆锥的侧面积公式求解即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为．
因为圆锥的底面半径为，
所以该圆锥的底面周长为，
故，
解得，
所以该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．
11．过双曲线右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点．已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为 或2 ．
【分析】分两种情况讨论，在轴的同侧和两侧，可得圆心在的角平分线上，过作垂直于，的垂线，由题意可得四边形为正方形，再由题意可得，所以，由题意可得，的值，求出内切圆的半径，由题意可得，的关系求出离心率．
【解答】解：（1）若，在轴同侧，不妨设在第一象限．
如图，设内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，
又，所以，
所以，从而可得；
（2）若，在轴异侧，不妨设在第一象限如图，易知，，，
所以的内切圆半径为，
所以，
又因为，所以，，
所以，，
则，从而可得．
综上，双曲线的离心率为或2．
故答案为：2或．
【点评】本题考查双曲线的性质，注意运用三角形的内切圆的性质和解直角三角形，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12．已知点为正四面体的外接球上的任意一点，正四面体的棱长为2，则的取值范围为 ．
【分析】首先把四面体放在正方体内，进一步建立空间直角坐标系，再利用坐标法的运算求出结果．
【解答】解：将正四面体放在正方体内，并建立空间直角坐标系，
如图所示：
由于正四面体的棱长为2，则正方体的棱长为，
正四面体的外接球即为正方体的外接球，设外接球的半径为，
则：，解得，
则，，
设，，，
所以，
所以，
故，
由于，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点；空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。
13．已知直线，直线，则“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【分析】根据直线平行，充分必要条件的定义，判断即可．
【解答】解：直线，直线，
，，解得．
则“”是“”的充要条件，
故选：．
【点评】本题考查直线平行，充分必要条件的定义，属于基础题．
14．已知正实数，，满足，则的最小值为
A．2B．1C．D．4
【分析】根据题意可得，构造函数，根据奇偶性与单调性，列出不等式组，解得，进而由基本不等式求出的最小值．
【解答】解：不等式，即，
等价于，
设，则为奇函数，且在上单调递增，
所以，故，即，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的单调性及其应用、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
15．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是
A．B．
C．D．，
【分析】根据图象是否是线性增长，指数函数的图象与性质，对数函数的性质判断，再由选项中函数的性质判断后可得．
【解答】解：选项，由散点图知身高随时间变化不是线性增长，故错误；
选项，指数函数模型中随增长越来越快，与图象不符合；
选项，对数函数模型在时没有意义；
选项，符合散点图中随增长越来越慢，且在时有意义．
故选：．
【点评】本题主要考查了散点图的应用，属于基础题．
16．已知函数，若等比数列满足，则
A．2020B．C．2D．
【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件，利用倒序相加法，求解不等式的和即可．
【解答】解：等比数列满足，则，
函数，
，
所以，
所以．
故选：．
【点评】本题考查数列与函数相结合，等比数列的性质的应用，是中档题．
三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（14分）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，．
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
【分析】（1）证明，，即可证明平面平面，利用面面平行的性质定理，即可证明结论；
（2）先证明平面，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案．
【解答】（1）证明：因为平面，过的平面交平面于，
即平面，平面平面，
所以，又，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面，
四边形为菱形，则，平面，平面，
故平面，又，，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
（2）解：由（1）知四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，
因为，所以为等边三角形．
连接交于，连接，则，，
因为平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为四棱锥的体积为，即，
又，，所以，所以，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的一个法向量，则，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量，则，
令，解得，，所以，
设平面与平面的夹角为，夹角范围是，，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间角的计算问题，是中档题．
18（14分）．在中，角、、的对边分别为、、，．
（1）求角，并计算的值；
（2）若，且是锐角三角形，求的最大值．
【分析】（1）由已知结合二倍角公式进行化简可求，进而可求；
（2）由已知锐角三角形可先求出的范围，然后结合正弦定理可表示，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为且为三角形内角，
所以或，
当时，，
当时，；
（2）由题意结合（1）得，
所以，解得，，
因为，
由正弦定理得，，
所以，，
所以
，，，
则，，，
故当时，取得最大值．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
19（14分）．某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如图频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；
（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率．
（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏．规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包．第一个红包由群主发．根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为．设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为．求及的期望．
【分析】（1）根据频率分布直方图的信息和平均值计算的规定列式计算即得，众数可根据定义从图中直接读取；
（2）先由图中信息求得每个红包抢到10元以上金额的概率，因3次抢红包相互独立，且每次抢只有抢到10元以上或以下两种情况，故满足独立重复试验模型，运用其概率公式计算即得；
（3）由题意分析得到与的递推式，再根据其特征构造等比数列，求得的表达式；再设为第轮发红包时群主抢到“手气 最佳”的次数，分析知服从两点分布，由此求得，因前轮中群主发红包的次数为，则，于是求即是求数列 的前项和，计算即得．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，红包金额的平均值为：，
众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；
（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为，且3次红包相互独立，
由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为；
（3）由题意，，，
由，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，
故服从两点分布：，，，2，，
所以，
由已知，
则
．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差、古典概率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20（18分）．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于、两点点在点的上方），与轴交于点．
（1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求△的周长；
（2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值．
【分析】（1）△的周长为，计算得到答案．
（2）确定椭圆和直线方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据向量的关系得到，代入化简得到答案．
（3）根据离心率得到椭圆方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据和为定值得到，计算点到直线的距离，根据面积公式结合均值不等式计算得到最值．
【解答】解：（1）当时，椭圆，△的周长为；
（2）证明：当且直线过点时，椭圆，直线斜率存在，，
联立，消去得：，△恒成立，
设，，，，则，
由，点的横坐标为0，
考虑向量横坐标得到，，
从而
，所以为定值3；
（3），解得，故椭圆方程，联立，
消元得，△，即，
设，，，，则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时△成立，所以面积的最大值为1．
【点评】本题考查了椭圆方程，定值问题，面积的最值的问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，此方法是考试的常考方法，需要熟练掌握．
21（18分）．已知函数及其导函数的定义域均为．设，曲线在点，处的切线交轴于点，．当时，设曲线在点，处的切线交轴于点，．依此类推，称得到的数列为函数关于，的“数列”．
（1）若，是函数关于的“数列”，求的值；
（2）若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比；
（3）若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出曲线在点，处的切线方程，令求得的值即可；
（2）写出在处的切线方程，令求得，得出的首项和公比，即可证明是等比数列．
（3）根据题意，写出以为切点的切线方程，令得到，讨论的取值情况，根据函数的大致图像判断数列的单调，求解即可．
【解答】解：（1）曲线在点，处的切线斜率为，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，解得，所以；
（2）证明：在处的切线方程为，
令，可得，即，
所以，即，
又，所以，
因此是以为首项，2为公比的等比数列．
（3）由题意知，，
以为切点的切线方程为，
令，得到，
①当时，函数的大致图像如图所示：
因为等价于，
因此，当时，数列严格增；同理，当时，数列严格减．
所以不存在使得是周期数列．
②当时，函数的大致图像如图所示：
令，可得，即，
依此类推，显然可得，，．
所以，当时，数列为周期数列，且周期．
下证唯一性：
当时，，
因此，数列严格减；
当时，，
所以，
因此数列严格增．
综上，当时，不存在，使得为周期数列；
当时，当且仅当时，函数关于的“数列” 为周期数列，且周期．
【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．