2024年上海高考押题预测卷02【上海卷】数学（参考答案）

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1．2．3．274．14
5．6．7．8．1或3
9．，，10． 11．2或
12．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。
三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（14分）（1）证明：因为平面，过的平面交平面于，
即平面，平面平面，
所以，又，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面，
四边形为菱形，则，平面，平面，
故平面，又，，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
（2）解：由（1）知四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，
因为，所以为等边三角形．
连接交于，连接，则，，
因为平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为四棱锥的体积为，即，
又，，所以，所以，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的一个法向量，则，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量，则，
令，解得，，所以，
设平面与平面的夹角为，夹角范围是，，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18．（14分）解：（1）因为且为三角形内角，
所以或，
当时，，
当时，；
（2）由题意结合（1）得，
所以，解得，，
因为，
由正弦定理得，，
所以，，
所以
，，，
则，，，
故当时，取得最大值．
19．（14分）解：（1）由频率分布直方图可得，红包金额的平均值为：，
众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；
（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为，且3次红包相互独立，
由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为；
（3）由题意，，，
由，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
设为第轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，
故服从两点分布：，，，2，，
所以，
由已知，
则
．
20．（18分）解：（1）当时，椭圆，△的周长为；
（2）证明：当且直线过点时，椭圆，直线斜率存在，，
联立，消去得：，△恒成立，
设，，，，则，
由，点的横坐标为0，
考虑向量横坐标得到，，
从而
，所以为定值3；
（3），解得，故椭圆方程，联立，
消元得，△，即，
设，，，，则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时△成立，所以面积的最大值为1．
21．（18分）解：（1）曲线在点，处的切线斜率为，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，解得，所以；
（2）证明：在处的切线方程为，
令，可得，即，
所以，即，
又，所以，
因此是以为首项，2为公比的等比数列．
（3）由题意知，，
以为切点的切线方程为，
令，得到，
①当时，函数的大致图像如图所示：
因为等价于，
因此，当时，数列严格增；同理，当时，数列严格减．
所以不存在使得是周期数列．
②当时，函数的大致图像如图所示：
令，可得，即，
依此类推，显然可得，，．
所以，当时，数列为周期数列，且周期．
下证唯一性：
当时，，
因此，数列严格减；
当时，，
所以，
因此数列严格增．
综上，当时，不存在，使得为周期数列；
当时，当且仅当时，函数关于的“数列” 为周期数列，且周期．
【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．13
14
15
16
C
A
B
A