2024年上海高考押题预测卷03【上海卷】数学全解全析

这是一份2024年上海高考押题预测卷03【上海卷】数学全解全析，共16页。
1．设集合，，，则 ， ．
【分析】直接根据补集的运算求解即可．
【解答】解：集合，，，
，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2．若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是 ．
【分析】由复数的运算法则推导出，从而，由此能求出的虚部．
【解答】解：复数满足（其中为虚数单位），
，
，
的虚部是．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的虚部的求法，考查得复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．已知的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且，若，则实数 2 ．
【分析】利用二项式定理展开式，即可解出的值，再利用赋值法，即可解出．
【解答】解：由题意易知，
令，得，
令，得，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二项式定理，赋值法，学生的数学运算能力，属于基础题．
4．曲线在点处的切线的倾斜角为 ．
【分析】根据题意，设曲线在点处的切线的倾斜角为，求出函数在点处导函数的函数值，由导数的几何意义可得，结合的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设曲线在点处的切线的倾斜角为，则其切线的斜率，
，则，则有，即，
又由，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．
5．袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第二次取到红球的概率是 ；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是 ．
【分析】根据题意，设第一次取到白球为事件，第二次取到红球为事件，由古典概型公式求出（A）和，进而由条件概率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设第一次取到白球为事件，第二次取到红球为事件，
则（A），，
则．
故答案为：；．
【点评】本题考查条件概率的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．
6．半径为3的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面半径为的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为 ．
【分析】由已知可得圆柱的高为圆柱的体积最大，再求出圆柱的侧面积．
【解答】解：由球的半径为3，如图，
圆柱的底面半径为，则高为，
．
故答案为：．
【点评】本题考查球的内接旋转体问题，是基础题．
7．设一组样本数据，，，的方差为4，则数据，，，，的方差为 16 ．
【分析】首先设原数据的平均数为，则新数据的平均数为，然后利用方差的公式计算得出答案．
【解答】解：设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2 ，
则原数据的方差为，
则新数据的方差为：
．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了方差的计算公式，属于基础题．
8．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 ．
【分析】分析在的单调性，求出的范围，根据最值建立方程组，解出，即可．
【解答】解：取，解得，
所以在上单调递增，
即在上单调递减，
因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3，
所以，且（b），，
即，解得，
因为，所以，故．
故答案为：．
【点评】本题考查正切函数单调性，复合函数的单调性，属基础题．
9．已知直线与抛物线交于，，，两点，点，在准线上的射影分别为点，，若四边形的面积为，则 4 ．
【分析】设，的坐标，联立直线与抛物线的方程，可得，的坐标，由题意可得，的坐标，且四边形为直角梯形，可得它的面积，由题意求出的值．
【解答】解：设，，，，
联立，整理可得：，
解得，，
，，
即，，，由题意可得，，，，
由题意可得四边形为直角梯形，
所以它的面积，
由题意可得，，
可得，
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，梯形面积的求法，属于中档题．
10．对于任意两个数，，定义某种运算“◎”如下：
①当或时，◎；
②当时，◎．
则集合◎的子集个数是 1024 ．
【分析】由新定义化简，，，，，，，，，，从而确定子集的个数．
【解答】解：由新定义知，
◎，，，，，，，，，，
共10个元素，
故其子集的个数为，
故答案为：1024．
【点评】本题考查了新定义及集合的子集的性质，属于中档题．
11．已知函数，则的值域为 ， ．
【分析】结合基本不等式和函数单调性进行求解．
【解答】解：设，，，函数，
可得，，
则函数在单调递减，在单调递增，
（2），（1），，
所以值域为：，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了对勾函数单调性在函数值域求解中的应用，属于基础题．
12．如图，已知，为的中点，分别以、为直径在的同侧作半圆，、分别为两半圆上的动点（不含端点、、，且，则的最大值为 1 ．
【分析】画出图形，求出，设，推出，即通过三角函数的最值，求解的最大值为1．
【解答】解：如图，，
设，，
，，，
，即，
则的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。
13．已知向量，不共线，实数，满足，则
A．4B．C．2D．
【分析】由已知结合平面向量基本定理可求，，进而可求．
【解答】解：因为，不共线，实数，满足，
所以，
解得，，，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了平面向量基本定理，属于基础题．
14．已知是定义域为的奇函数，且，则
A．2020B．0C．2D．
【分析】直接利用函数周期性求出函数的值．
【解答】解：是定义域为的奇函数，
所以，
且，
整理得：，整理得，
所以函数的最小正周期为4，
所以．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：函数的周期性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15．在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最大值为
A．B．C．D．
【分析】由已知结合射影定理化简可得，然后对所求式子进行化简，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：在中，由射影定理有，
即，整理可得，
由正弦定理有：，
即，
所以：，
当且仅当时取等号，
故选：．
【点评】本题考查了射影定理、正余弦定理和基本不等式的应用，属于中档题．
16．已知双曲线的左、右焦点分别是，，经过的直线与双曲线的右支相交于，两点，且，则双曲线的离心率等于
A．B．C．2D．3
【分析】设，，由已知结合双曲线的定义可得，从而得到，，，，分别在与△利用余弦定理求得与，由余弦值相等列式即可求得双曲线的离心率．
【解答】由双曲线的定义知，，
，
又，，，
又，，即，
，，，，
在中，由余弦定理可得，
，
在△中，由余弦定理可得，
，
因此，，
解得．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（14分）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点．
（1）求证平面；
（2）若为的中点，求与所成的角．
【分析】（1）由已知，建立空间直角坐标系，设出平面的法向量为，并求解，然后通过计算，即可证明平面；
（2）由第（1）问建立起的空间直角坐标系，分别表示出和，然后计算夹角即可．
【解答】（1）证明：在三棱柱，平面，
平面，，，
又，，故，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，0，，，0，，，1，，，2，，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，得．
，
，
又平面，则平面．
（2）解：若为的中点，则，0，，，，
，
由，可得，
故与所成的角为．
【点评】本题考查线面平行的判定和异面直线所成角的求法，考查向量的运用，考查运算能力，属于中档题．
18．（14分）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，求；
（2）若，求．
【分析】（1）由已知结合余弦定理进行化简即可求解；
（2）由已知结合正弦定理，和差角公式，二倍角公式进行化简可求，进而可求．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以，
化简得，
因为，，
所以；
（2）若，，显然为锐角，
则，
所以，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
因为，
所以，
所以．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及二倍角公式的应用，属于中档题．
19．（14分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的列联表：
（1）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（2）（ⅰ）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望．
（ⅱ）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人．若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名同学中类人数和类人数差的绝对值，求的数学期望．
附：参考公式和数据：，．
附表：
【分析】（1）由题中的数据可以直接填表，再用独立性检验知识可以直接算出；
（2）根据题中的条件可以看出自主做数学题时间的人数服从二项分布，即可直接解出数学期望，的取值为0，1，2，3，分别计算出其对应的频率，即可解出．
【解答】解：（1）由题中的数据可以直接填表，
，
能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（2）从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取一人，自主做数学题时间不少于12小时的概率为，
设从120名学生中抽取12人，这些人周做题不少于12小时的人数为随机变量，
，
，
即数学期望为7.2．
可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了统计与概率，独立性检验，数学期望，学生的运算能力，属于基础题．
20．（18分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的面积的最大值；
（3）已知直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，证明：为定值．
【分析】（1）由题意得，，将点代入椭圆可得，联立求解可得，，即可得出答案；
（2）由题意可设直线的方程为，，，，，联立，整理得，利用韦达定理和三角形的面积公式，表示出与的关系式，利用基本不等式，即可得出答案；
（3）由（2）得直线的方程为，，，，，，，分别表示出，，，化简计算，即可证明结论．
【解答】解：（1）由题意得，①，
将点代入椭圆得②，
联立①②可得，即，
，，
椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可得右焦点，
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，，，
由（1）得椭圆的标准方程为，
联立，整理得，
显然△，
，，
的面积，
，当且仅当，即时等号成立，
，
的面积的最大值为；
（3）证明：由（2）得直线的方程为，则，
由（2），，，，
，，
则，
故为定值，且值为0．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
21．（18分）已知常数，设．
（1）若，求函数的最小值；
（2）是否存在，且、、依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．
（3）求证：“”是“对任意，，，都有”的充要条件．
【分析】（1）求导分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案．
（2）根据题意可得，，则，分两种情况：当时，当时，讨论是否满足条件，即可得出答案．
（3）由，得，令，则原①，证明充分性和必要性，即可得出答案．
【解答】解：（1），
，
令，得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以（1）．
（2）若、、依次成等比数列，则，
若、、成等差数列，则，
所以，
所以，
当时，成立，
当时，则，联立，得，
，即，
所以，与矛盾，
所以时，存在，，满足条件，
当时，不存在，，满足条件．
（3）证明：，则，
，
所以，
又
，
令，
上式
①，
令，则恒成立，
单调递减，
所以（1），
充分性：若，则，则恒成立，
必要性：要使得①式恒成立，则恒成立，即．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
学生本学期检测数学标准分数大于等于120分
学生本学期检测数学标准分数不足120分
合 计
周做题时间不少于12小时
60
76
周做题时间不足12小时
64
合 计
180
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
学生本学期检测数学标准分数大于等于120分
学生本学期检测数学标准分数不足120分
合 计
周做题时间不少于12小时
60
16
76
周做题时间不足12小时
40
64
104
合 计
100
80
180