2024年高考押题预测卷—数学（天津卷01）（全解全析）

这是一份2024年高考押题预测卷—数学（天津卷01）（全解全析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为全集，集合，所以，
又，所以，故选A.
2．已知，则（ ）
A．p是q的充分不必要条件B．p是q的充要条件
C．q是p的必要不充分条件D．q是p的充分不必要条件
【答案】D
【解析】由题得.
当命题成立时，命题不一定成立，所以p是q的非充分条件，q是p的非必要条件；
当命题成立时，命题一定成立，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件.
所以p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件，故选D
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数为上的减函数，又，
所以，故；
函数为上的减函数，又，
所以，故；
函数为上的增函数，又，
所以，故；
所以，故选B.
4．已知函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，
又的定义域为，
为上的奇函数，图象关于原点对称，与已知图象相符；
当时，为增函数，为增函数，又在上单调递增，
由复合函数单调性可知：在上单调递增，
又，
在上单调递减，与已知图象不符，A错误；
对于B，由得：，的定义域为，与已知图象不符，B错误；
对于D，，
不是奇函数，图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误.
故选：C.
5．已知等比数列的前项和，满足，则（ ）
A．16B．32C．81D．243
【答案】A
【解析】等比数列的前项和为，且，
∴，
∴，∴，故等比数列的公比为．
在中，
令，可得，∴，则，故选A．
6．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0，
∴A==2，m==2，∵
∵直线x=是其图象的一条对称轴， 所以
φ=-+kπ，k∈Z∴函数的解析式为y=2sin（4x-+kπ）+2，k∈Z，
可以为，故选B
7．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据的第80百分位数为17；
B．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；
D．若随机变量满足，则．
【答案】B
【解析】A选项，，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数，
即，A错误；
B选项，由于，得到与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确；
C选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C错误；
D选项，若随机变量满足，则，D错误.
故选：B
8．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，圆与AB切于点D，设球的半径为，
则，且，
有，即，得，
所以水的体积，
所以水的体积与球的体积之比是，故选D.
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，且为中点，所以，且，
因为，所以，解得，
直线l的方程为，所以，则，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以双曲线的标准方程为，故选C.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．i是虚数单位，复数 .
【答案】
【解析】，
11．的展开式中的系数为 .
【答案】
【解析】的展开式的通项，
令，得，所以的展开式中的系数为.
12．已知过原点O的一条直线l与圆C：相切，且l与抛物线交于O，P两点，若，则 ．
【答案】3
【解析】由于圆心为，半径为，故直线一定有斜率，
设方程为，则，解得，
故直线方程为，
联立与可得或，
故，故，
13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 ；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ．
【答案】
【解析】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为
记 “加工的零件为优秀品”， “零件为第1台车床加工“， “零件为第2台车床加工“，，，，，
由全概率公式可得，
14．如图，平行四边形中，，，，，设，，用，表示 ， ．
【答案】 ；
【解析】空一：因为，
所以；
空二：因为，
所以，
因此，
因为，，，所以，
所以，
15．已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】（1）当，即时，
恒成立，
所以，
因为有两个零点，
所以且，解得或（舍），
所以或；
（2）当，即或，
设的两个根为，且，
当时，恒成立，不满足题意，
当，有有两个解，
因为，，所以与在必有一个交点，
当时，与没有交点，
当时，，所以与在必有一个交点
所以要使方程有且只有两个零点，
则无解，
即没有实数根，
即，解得，
因为，所以，
综上实数的取值范围为：.
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，.
(1)求的值；
(2)求的周长；
(3)求的值.
【解】（1）在中，由正弦定理，，，
可得，
因为，所以，即，
显然，解得．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得或．
由已知，，互不相等，所以，
所以．
（3）因为，所以，
所以，，
所以.
17．（本小题满分15分）如图，四棱锥中，，平面平面，，为的中点.
（1）求证平面；
（2）求点到面的距离
（3）求二面角平面角的正弦值
【解】（1）取中点，连接，如图
由为的中点，所以//且
又，且，
所以//且，
故//且，
所以四变形为平行四边形，故//
又平面，平面
所以//平面
（2）由，平面
平面平面，
平面平面
所以平面，又平面
所以，由，
所以为正三角形，所以
则平面
所以平面，且
所以点到面的距离即
（3）作交于点，
作交于点，连接
由平面平面，平面平面
平面平面，
所以平面，平面，
所以，又
平面，所以平面
又平面，所以
所以二面角平面角为
，又为等腰直角三角形
所以，所以
所以
又二面角平面角为
故
所以二面角平面角的正弦值为
18．（本小题满分15分）已知椭圆：，其离心率为，若，分别为的左、右焦点，轴上方一点在椭圆上，且满足，．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于另一点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，若的面积是的面积的2倍，求直线的方程．
【解】（1）解：因为，所以，且
又，所以，
即，即，所以，
又离心率，所以，，所以，
所以椭圆方程为；
（2）解：由（1）可得点的坐标为，
依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去整理得，解得或，
所以点坐标为，
从而点坐标为，
所以直线的方程为，
则点的坐标为，
因为的面积是的面积的2倍，
所以或，
当时，即，解得，所以直线的方程为；
当时，即，解得，所以直线的方程为；
所以满足条件的直线的方程为，
19．（本小题满分15分）若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”.
(1)若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”；
(2)若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时，
（i）求数列的通项公式；
（ii）求证：.
【解】（1），令，则，
令，则；由①，
当时，②，
由①②得，当时，，
所以数列和数列是等比数列.
因为，所以，
所以，因此，
从而，所以数列是“型数列”.
（2）（i）因为数列的各项均为正整数，且为“G型数列”，
所以，所以，因此数列递增.又，
所以，因此递增，
所以公比.又不是“型数列”，所以存在，
使得，所以，又公比为正整数，
所以，又，所以，则.
（ii），
因为，所以，
所以，令，当时，，
当时，
20．（本小题满分16分）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数
（i）当时，取得极值，求的单调区间；
（ii）若存在两个极值点，证明：.
【解】（1），
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）（i），
，
∵时，取得极值，∴，解得，
∴，
令，得或；令，得，
∴的单调增区间为，，单调减区间为；
（ii），
∵存在两个极值点，
∴方程，即在上有两个不等实根.
∵，解得，
则
∴所证不等式等价于，
即，
不妨设，即证，
令，，
则，
∴在上递增，∴，
∴成立，
∴.