2024年高考押题预测卷—数学（天津卷03）（全解全析）

这是一份2024年高考押题预测卷—数学（天津卷03）（全解全析），共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合2，，，，则（ ）
A．B．2，
C．2，4，D．
【答案】B
【解析】2，，，2，4，，
又，2，，故选B．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，则，即，即，解得得，
则不能推出，能推出，则“”是“”的必要不充分条件，故选B.
3．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致形状是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的定义域为R.
因为，
所以为奇函数，故排除A、C.
当时，有，所以，，所以，故排除B，故选D
4．2023年考研成绩公布不久，对某校“软件工程”专业参考的200名考生的成绩进行统计，可以得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，同一组中的数据用该组区间的中间值作代表值，则下列说法中不正确的是（ ）
A．这200名学生成绩的众数为370分
B．这200名学生成绩的平均分为377分
C．这200名学生成绩的70%分位数为386分
D．这200名学生成绩在中的学生有30人
【答案】C
【解析】显然众数是370，故A正确；
平均分为，故B正确；
设70%分位数为，则，得，故C错误；
，故D正确.
故选：C
5．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,
故，故选B.
6．若，求（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以.故选A.
7．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）
A．2：1B．4：1C．8：1D．8：3
【答案】A
【解析】设圆锥的高为，底面半径为，
则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，
由可得：，即，
圆锥的体积．
当且仅当，即时取等号．
该圆锥体积的最小值为．内切球体积为．
该圆锥体积与其内切球体积比．故选：A．
8．双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于、两点，若四边形（为坐标原点）存在外接圆，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，不妨设直线的方程为，直线的方程为，
由题意可知，，，则四边形为平行四边形，则，
由于平行四边形存在外接圆，则，则，
所以，，则，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：A.
9．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，
；
则函数在上单调递减，在上单调递增，且
当时，
；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
函数有四个不同的零点，即两函数与图象有四个不同的交点
如下图所示
由图可知，
是方程的两根，即的两根
所以
是方程的两根，即的两个
所以
故选：D
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．已知复数（其中是虚数单位），则 .
【答案】
【解析】由已知条件可得.
11．的展开式中的系数为 .
【答案】
【解析】由通项公式可得，即的系数为.
12．由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为 .
【答案】
【解析】圆心坐标，半径
要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，
此时最小值为圆心到直线的距离，
此时，
13．设，，若，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】由题意，因为，，满足，
所以，，且，
则
，
当且仅当且，即时取得最小值.
14．甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为 ，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 ．
【答案】 ，或，；
【解析】设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A、B、C，，
由题意，，所以，
解得或；
设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的事件为D，
，所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.
15．青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 .
【答案】
【解析】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，；
（ii）；
当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值；
六边形为正六边形，为正三角形，；
作，则为中点，；
，即的取值范围为.
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求a的值：
(2)求证：；
(3)的值
【解】（1）由及余弦定理，得，
因为，所以.
（2）由及，得，
由正弦定理得，
因为，所以或.
若，则，与题设矛盾，因此.
（3）由（Ⅰ）得，因为，
所以，
所以，
所以
.
另解：因为，
所以
.
17．（本小题满分15分）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)求点到平面的距离．
【解】（1）因为平面，，
如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
因为，
所以.
（2）设平面的法向量，，
则，即，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，又，
所以，所以直线与平面所成角的大小为.
（3）设点到平面的距离为，因为，
所以，所以点到平面的距离为.
18．（本小题满分15分）记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，
（ⅰ）求的前项的和；
（ⅱ）求.
【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题知：，解得，
，，
所以，；
（2）（ⅰ），
，，
则
；
（ⅱ），，
则，
则，
故
，
故，又，
故.
19．（本小题满分15分）已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，求的值.
【解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，解得，
椭圆的方程；
（2）因为的面积与的面积总相等，故为的中点，
结合对称性可知两点关于轴对称，
由题意直线斜率存在且不为0，并且纵截距不为0，
设直线，故，
，化简得，
由得，，
设，则，
则，
直线，令得，
，
所以.
20．（本小题满分16分）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数
（i）当时，取得极值，求的单调区间；
（ii）若存在两个极值点，证明：.
【解】（1），
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）（i），
，
∵时，取得极值，∴，解得，
∴，
令，得或；令，得，
∴的单调增区间为，，单调减区间为；
（ii），
∵存在两个极值点，
∴方程，即在上有两个不等实根.
∵，解得，
则
∴所证不等式等价于，
即，
不妨设，即证，
令，，
则，
∴在上递增，∴，
∴成立，
∴.