2024年湖北省新中考二模数学试题（省统考）（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 是的（ ）
A. 相反数B. 平方根C. 绝对值D. 算术平方根
【答案】A
【解析】
【分析】和为0的两数为相反数，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴是的相反数，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数的概念：两个相反数它们符号相反，绝对值相同．
2. 在下列四项竞技运动的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别．熟练掌握如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中不中心对称图形，故不符合要求；
B中是中心对称图形，故符合要求；
C中不是中心对称图形，故不符合要求；
D中不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：B．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式幂的运算，根据积的乘方，幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
4. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图知识，解题的关键在于会观察各部分在哪个方向能被看到．
5. 在正五边形中，连接对角线，其中相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，首先由正五边形的性质可得，，，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形为菱形，得，即，由菱形的性质和勾股定理得出，即可得到，可证明，即可得出，由正五边形内角和得到，结合菱形的性质得到，．
【详解】解：是正五边形，
，，，
四边形为菱形，
，
，故A选项正确；
，
，故B选项正确；
，
，
，故C选项正确；
，
，，
，故D选项不正确，
故选：D．
6. 已知可以写成一个多项式的平方，则的值为（ ）
A. B. C. 或3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或3，
故选：C．
7. 在平面直角坐标系中，已知，则点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查非负数的性质，解二元一次方程组，平面直角坐标系，根据，建立二元一次方程组，求解出的值，再根据各象限点坐标的特点，即可得出结果．
【详解】解：，
，
解得：，
位于第二象限，
故选：B．
8. 某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，由表格可知动力臂与动力成反比的关系，设，将代入得出，再令，计算即可得解，解题的关键是从表格中得出动力臂与动力成反比的关系．
【详解】解：由表格可知动力臂与动力成反比的关系，
设，
将代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
解得：，
故选：C．
9. 如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可．
【详解】解：如图，∵是等边三角形，
∴，，
∵为的平分线，
∴，，
作点N关于的对称点，连接交于P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
即的最小值为，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：C．
10. 如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连接，，，连接交于点，交于点，若图中阴影部分分别用和表示，则下列结论：①；②若为中点，则；③作交于点，则；④若，则；其中正确的个数为（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定，相似三角形的判定与性质的概念是解题的关键．①首先利用平行线的性质得到，然后利用等腰三角形的性质得到，，接着利用三角形的内角和定理即可解决问题；②利用中位线的性质即可求解；③利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质和已知条件证明即可求解；④连接，利用等积变化得到，再利用已知条件证明，由此即可求解．
【详解】解：①，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
②，为中点，，
，，
，
故②正确；
③为圆直径，
，
，
，
由①知，，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
故③正确；
④连接，

，
，
，
，
，
，
，
故④错误；
综上所述，正确的是①②③，共三个．
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. “燕雪花大轩台”是诗仙李白眼里的雪花，单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法，根据科学记数法的表示形式直接求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为_____．

【答案】1
【解析】
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（2，−m），然后再把B点坐标代入y＝−x＋1可得m的值．
【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），
将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1
得：﹣m＝﹣2+1，
解得：m＝1，
故答案为1．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等．
13. 计算： ______________________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式的加减法，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．根据同分母分式加减法则进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：.
14. 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质以及折叠的性质，勾股定理、三角形全等的判定与性质，连接，由折叠的性质可得：，，，得出，证明，得出，设，则，，由勾股定理得出，求出，设，则，再利用勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
是的中点，
，
由折叠性质可得：，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
15. 解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，那么当时，的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解和二元一次方程的解，先把代入原方程组得到，，则；再把代入方程得到，据此求出，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得是方程组的解，
∴，，
∴；
∵小刚只看错了，解得，
∴是方程的解，
∴，
∴联立①②得，
∴当时，的值为，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和算术平方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数运算和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
17. 如图，在中，的平分线交于点D，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）答案见解析
（2）242
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
【小问1详解】
解：(1)四边形是菱形，理由是
，，
四边形是平行四边形
平分
，
，
，
平行四边形是菱形．
【小问2详解】
四边形是正方形
，
四边形的面积为∶．
18. 《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”请问此问题中的绳长、井深各是多少尺？
【答案】井深为8尺，绳长36尺
【解析】
【分析】分析题意，不变的量是井深，根据等量关系：将绳三折测之，绳多4尺；绳四折测之，绳多1尺，设绳长为尺，井深为尺，列出方程组求解．
【详解】解：设绳长尺，井深为尺，依题意得：
，解得
答：井深为8尺，绳长36尺．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，此题不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．
19. 为了普及科学知识，传播科学思想，弘扬科学精神，某校举行了青少年科普知识竞赛．随机抽取 名学生的竞赛成绩，把成绩分成四个等级(；；；)，并绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）补全频数分布直方图，所抽取学生的成绩的中位数落在 等级；
（3）若成绩达到和等级将获得“科普达人”称号，请你估计该校参加竞赛的名学生中获得“科普达人”称号的学生人数．
【答案】（1），；
（2）补全频数分布直方图见解析，；
（3）该校参加竞赛的名学生中获得“科普达人”称号的学生人数由人．
【解析】
【分析】（）频数分布直方图中等级的人数是人，所占百分比是，由此可求出抽取的总人数；根据总体人数可求出等级人数占的百分比，
（）由（）得到等级人数，即可补全频数分布直方图，根据中位数的定义，即可求出中位数落在哪一组；
（）根据样本所占百分比估算总体的方法即可求解；
本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图、扇形统计图中的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量，求中位数分方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：频数分布直方图中等级的人数是人，所占百分比是，
由此可求出抽取的总人数（人），
则等级人数为：（人），
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
由（）得：等级人数为人，补全频数分布直方图如图，
由题意得：等级共人，等级共人，等级共人，等级共人，共人，
所抽取学生的成绩的中位数为第和名的平均数，
故中位数落在等级，
故答案为：；
【小问3详解】
该校参加竞赛的 名学生中获得“科普达人”称号的学生人数为：
（人），
答：该校参加竞赛的名学生中获得“科普达人”称号的学生人数由人．
20. 某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．

（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】（1）遮阳棚前端B到墙面的距离约为
（2）遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为
【解析】
【分析】（1）作于E，在中，根据列式计算即可；
（2）作于E，于H，延长交于K，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，进而可得的长．
【小问1详解】
解：如图3，作于E，
在中，，即，
∴，
答：遮阳棚前端B到墙面的距离约为；
【小问2详解】
解：如图3，作于E，于H，延长交于K，则，

∴四边形，四边形是矩形，
由（1）得，
∴，
中，，即，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21. 如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，已知，，连接．
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）和的面积分别为，求的值．
【答案】（1）直线解析式为，双曲线的解析式为；
（2）．
【解析】
【分析】（）先将点代入反比例函数解析式中求出的值，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的表达式；
（）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出的值，即可求出的值；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：把代入反比例函数解析式得，，
∴，
∴双曲线的解析式为，
把代入得，，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为；
【小问2详解】
解：由可得，，点到的距离为，
∴，
设直线与轴的交点为，则，
∴，
∴，
∴．
22. 综合与实践．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：．
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请求出的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）证明，可得；
（2）通过证明，可得；
（3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，，
，
，，
，
；
（2）解：，，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：由（2）知：，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
由（2）知，
，
，
又是直角三角形，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
或（不合题意，舍去），
当或时，点不存在，
当在延长线上时，设，则，
，，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去）或，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23. 如图1，在中，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求的度数；
（2）如图2，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连结．
①证明：；
②证明：．
【答案】（1）
（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质及旋转的性质得，，即可得的度数；
（2）①由题意可得，由等腰三角形的性质可得，，进而可得，可证，易得，可得，可证结论；
②延长至，使得，先证，进而可证，可得，是等腰直角三角形，可得结论．
【小问1详解】
解：设，
∵，
∴，
由旋转可知，，，
∴
∴，
∴；
【小问2详解】
①证明：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，，则
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②证明：延长至，使得，
∵，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即：．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
24. 如图1，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接、，判断的形状并说明理由．
（3）连接，若点P在第一象限，过点P作于E，求线段长度的最大值；
（4）已知，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）为等腰直角三角形；理由见解析
（3）
（4）的横坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用抛物线顶点坐标已知，将抛物线设为顶点式，代入点，求得抛物线解析式；
（2）先求出点，然后求出，，，然后根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）先由抛物线的解析式，求出抛物线与坐标轴的三个交点、、，则直角的各个内角三角函数值和边长均可求，且直线的解析式可求，因为，可以过作轴与，交于，则可以证得，利用相等的角的三角函数值相等这个结论，得到与的数量关系，设出点坐标，可以得到点坐标，表示出的长度，继而求得的长度，得到一个二次函数，根据的横坐标范围，讨论这个二次函数最值问题，在顶点处取得最值，即可解决．
（4）根据题意，可以画图，得到可以在轴上方和轴下方两种情况，先看在轴下方，利用、、三点坐标，可以证得，延长交于点，则是一个直角三角形，构造一线三直角模型，可以求得的解析式，从而联立与抛物线解析式，求出交点的横坐标，当在轴上方时，可以先求出关于轴对称点的坐标，先求出直线的解析式，再联立直线与抛物线解析式，求出交点的横坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，代入点，得，
，
抛物线解析式为：．
【小问2详解】
解：为等腰直角三角形；理由如下：
把代入得：，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∵，
又∵，
∴为等腰直角三角形．
【小问3详解】
解：如图，过作轴于，交于，

，
，
，
，
，
令，则，
，
∵
，，
，
，
设直线为，代入点，得，
直线为，
∵点在抛物线的图像，点在直线的图像上，且点与点的横坐标相等，
∴设，则，
，
，
，
在第一象限，
，
时，最大值为．
【小问4详解】
解：①如图，当在轴下方时，，延长交延长线于，过作轴平行线，过作轴平行线，两线交于点，过作于，
，，，
，
同理，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
，
设直线为，代入点，解得，
直线为，
联立，
，解得或，
的横坐标为；
②如图，当在轴上方时，
关于轴的对称点为，则，连接交抛物线于点，可设直线为，代入点，解得，
直线为
联立，
，
或，
的横坐标为，
综上，的横坐标为或．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了线段最值问题，解决关键就是做横平竖直线，将“斜线段”转化成“垂线段”，利用函数思想解决最值问题，第三问考查了角的存在性问题，要注意画图，分类讨论，利用一线三直角模型来解决问题．
动力臂
动力
0.5
600
1.0
302
1.5
200
2.0
2.5
120