2024年山东省济南市长清区第三初级中学九年级第二次调研摸底数学试题（原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 如图所示，水平放置的几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间思维结合几何体左视图的看法找出正确答案即可.
【详解】该几何体从左面看可得到一个带有虚线的矩形.
故选：D.
【点睛】此题考查了学生对几何体三视图的理解，掌握几何体三视图的画法是解题的关键.
2. 2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球距离约为米，数据用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故选：D．
3. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，过点C作，则，根据两直线平行，同位角相等，得出，进而得出，最后根据两直线平行，内错角相等，得出．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
5. 下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意.
故选B
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等运算法则逐项判断即得答案.
【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算错误，不符合题意；
D、，故本选项运算正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
7. 点，，在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标即可解答．
【详解】解：∵，
∴时，，y随着x的增大而减小，时，，y随着x的增大而减小，
∵，
∴，即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数增减性是解题的关键．
8. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：

一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
9. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确．
【详解】∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，③错误；
当时，，
∵，
∴,
∴，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．
10. 已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ②③C. ②D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式分解因式，熟练掌握因式分解的方法先提取公因式，然后利用公式因式分解是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 现有一个不透明的袋子中装有除颜色不同之外，质地均匀的小球，白球8个，若干个红球．现从中摸出一球，摸到红球的概率为，则袋中有红球______个．
【答案】16
【解析】
【分析】此题考查了概率公式的应用，解题的关键是注意掌握方程思想的应用，概率=所求情况数与总情况数之比．
首先设红球有x个，利用概率公式即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：设红球有x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是方程的解．
故答案为：16．
13. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】由题意可知：，
∴，
∵，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
14. 如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D，则阴影部分面积为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和折叠的性质，可以得到OA=AD，∠OAC=∠DAC，然后根据OA=OD，即可得到∠OAC和∠DAC的度数，再根据扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，可以得到OC的长，结合图形，可知阴影部分的面积就是扇形AOB的面积减△AOC和△ADC的面积．
【详解】
解：连接OD，
∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，
∴OA=AD，∠OAC=∠DAC，
又∵OA=OD，
∴OA=AD=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAC=∠DAC=30°，
∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为 ，
∴OC=2，
∴阴影部分的面积是：=
故答案为．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答．
15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______千米．
【答案】
【解析】
【分析】设直线的解析式为：，直线的解析式为：；得到直线和的解析式，求出当时，的值，即可．
【详解】由图象可知，点和在直线上，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴，
∵点，点在直线上，
∴直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴当时，，
∴小泽距甲地的距离为：（千米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的知识，解题的关键是理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式．
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=4，E是AD的中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片，使B点落在E点，折痕为N；第二次折叠纸片，使N点与E点重合，点C在C'处，折痕为FH.则tan∠EHF=______ ·
【答案】
【解析】
【分析】利用折叠性质，将所求的∠EHF转化为求∠EBN，即可求解．
【详解】解：如下图，连接 BE ，过点 E 作 EG⊥BC 于点 G ，
在矩形纸片 ABCD 中， AB =4 ，AD =，点 E 是 AD 的中点，
∴AE = BG = AD = BC =， EG = AB =4，
由折叠性质可得：
HF⊥EN ， BE⊥MN ，∠MEN = ∠ABC =90°，∠EHF = ∠NHF ，∠BMN = ∠EMN ，
∴HF ME ，
∴∠NHF = ∠EMN ，
∴∠EHF = ∠BMN ，
∵∠EBN =90°- ∠ABE = ∠BMN ，
∴∠EHF = ∠EBN ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形折叠的性质，矩形的性质，角度的转化，三角函数等知识点，解题的关键在于推出∠EHF=∠EBN ．
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角形函数值，零指数幂和负指数幂求解即可，熟记特殊角的三角形函数值，零指数幂和负指数幂运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：并写出它所有正整数解．
【答案】不等式组的解集为．所有正整数解有1，2
【解析】
【详解】
由①，得．由②，得．
不等式组的解集为．所有正整数解有1，2．
19. 如图，在中，点E是的中点，连结并延长，交的延长线于点F．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，
根据平行四边形的性质可得出，，再利用即可证明即可求解；
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据：）
【答案】（1）点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）水桶上升的高度为米．
【解析】
【分析】（1）作出如图的辅助线，在中，利用正弦函数求解即可；
（2）作出如图的辅助线，在中和在中，分别利用三角函数求出和的长即可．
【小问1详解】
解：过O作，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
【小问2详解】
解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为1.6米．
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．
21. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【解析】
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
22. 如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为4
【解析】
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：（1）连接OE．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C；
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且OE为半径；
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵，GB＝4，
∴，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴，
∴，
∴OE＝4，
即⊙O的半径为4．

【点睛】
本题考查了圆和三角形的综合问题，掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23. 某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元
（2）①；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元
【解析】
【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，全部售完获得利润为w元，根据总利润＝甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；
②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
【小问1详解】
解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
【小问2详解】
解：①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，根据题意得：
，
∴W与m的函数关系式为；
②∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得
∴（m为正整数）；
由①知，，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为466，
此时，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
24. 如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式及的值．
（2）将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点．
①求点的坐标．
②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，
（2）①②存在，的坐标为或
【解析】
【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式中求，确定反比例函数的表达式，把代入反比例函数可得到结论；
（2）①设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式，求得点 ，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到坐标，把代入反比例函数中即可得到结论；
②设点，根据勾股定理得到即，可求得，即可确定点坐标．
【小问1详解】
解：∵的图象过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
【小问2详解】
①设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为．
当时，；当时，，
∴点，点．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿直线翻折，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
把代入，得，
∴；
②存在，理由如下；
设点，
则，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
即，
解得或．
故在轴上存在点，使得是以为斜边的直角三角形，
此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
25. 如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，判断点是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求的最大值；
（4）如果是等腰三角形，直接写出点的横坐标的值．
【答案】（1）
（2）不在抛物线上；理由见解析
（3）当时，取最大值，最大值为
（4），，
【解析】
【分析】（1）两点式设出解析式，将点代入求出解析式即可；
（2）根据旋转的性质，求出的坐标，进行判断即可；
（3）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，将转化为二次函数求最值即可；
（4）分，三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，
∴设抛物线的解析式为，
把，代入，得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
不抛物线上；理由如下：
过点作轴，，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，当时，，
∴不在抛物线上；
【小问3详解】
∵，
∴设直线：，将代入，得：，
∴；
设点坐标为，则点坐标为，点坐标为．
∴，．
∴．
当时，取最大值，最大值为．
【小问4详解】
∵，，，
∴，，，
当是等腰三角形时，分三种情况，
①时，则：，
解得：（舍），（舍），；
②时，则：，
解得：（舍），；
③时，则：，
解得：（舍），（舍），；
综上：，，．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，二次函数的综合应用．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键．
26.
问题情境】：
（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：
（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．
判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．

【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立；
（2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故；
（3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
则，
那么，，
故答案为：；
（2）判断：，理由如下：
∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，

∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，
作点D关于直线的对称点，则，
∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为，
由（2）得 ，
∴，
∴，
∴的最小值为的最小值，即，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解．