江苏省苏锡常镇四市2023-2024学年高三下学期教学情况调研（二）数学试卷（附参考答案）

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数学（参考答案） 2024. 5
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．或 13．14．4，1
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（13分）
【法一】
（1）证明：在直棱柱中，
面，则面面， ……2分
面面，面ABC，，
所以面. ……4分
因为，所以面.
则在面的射影为，
在正方形中，有
所以由三垂线定理得： ……6分
（2）解：直三棱柱的体积为，
则. ……7分
由（1）平面，平面，则，
在正方形中，，且平面，
，所以平面.……8分
设， 在△中，过作于，连接.
因为OH为BH在面的射影，由三垂线定理得：
所以为二面角的平面角. ……10分
因为Rt△∽Rt△，，得，
又在Rt△中，，得， ……12分
所以二面角的余弦值为 ……13分
【法二】直三棱柱的体积为：，则. ……1分
（1）证明：直棱柱，平面，又，
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，为轴，建立空间直角坐标系.…2分
，，，，.
，， ……4分
，所以 ……6分
（2），，，，.
，，设平面的法向量，
则取，得. ……8分
，，设面的法向量，
则 取，得. ……10分
设二面角的大小为，则：
. ……12分
因为为锐角，所以二面角余弦值为. ……13分
16.（15分）
（1）解：
……2分
提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系．……3分
根据列联表的数据，可以求得：
，……5分
所以没有90%的把握认为喜爱阅读与性别有关. ……7分
（2）随机变服从超几何分布，可能取0，1，2. ……8分
，，. ……11分
则的分布列为：
所以. ……14分
答：抽取男生人数的数学期望为1． ……15分
17.（15分）
解：（1）因为函数的定义域为，当时，.
要证，只需证：当时，. ……1分
令，则，
则在单调递增， ……3分
所以，即. ……5分
（2）， ……6分
令，
则.
所以在单调递增，， ……8分
= 1 \* GB3 ①当时，，.
则在为增函数，在上无极值点，矛盾. ……11分
= 2 \* GB3 ②当时，. 由（1）知，，
，则，
则使. ……14分
当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增.
因此，在区间上恰有一个极值点，
所以的取值范围为. ……15分
18. （17分）
（1）解： F(0，)，设A()，则，……1分
所以得：，解得或（舍），
所以抛物线C的方程为①. ……4分
（2）设直线MN：②， M()，N()，
联立①②，得.
所以③，④.
，，
则， ……5分
. ……6分
因为，即：，
即：，
则或，能满足③式. ……8分
则MN：，或MN：，
所以定点Q的坐标为或，……10分
（3）如MN过点，当时， ，但此时M，N重合，则无最小值，所以MN只能过点，此时有最小值. ……11分
由（2），在④中，令得：，
=
. ……13分
令，
则，.……15分
当时,，在上为减函数，
当时,，在上为增函数， ……16分
所以当时，有最小值，有最小值.
. ……17分
19.（17分）
（1）解：第1行最后两数，第2行的最后两数. ……1分
第（）行的第个数为，第个数为，
猜测：. ……2分
【法一】即证：，……3分
因为，……5分
只要证明，该式显然成立，
所以，
所以每行最后两个数相等.……6分
【法二】因为
； ……4分
又因为

.
即：.
所以每一行的最后两个数相等. ……6分
（2）第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为，
此时结论成立. ……7分
因为，
第（）行的个数之和为：
. ……10分
而第行倒数第二个数为，
由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. ……11分
（3）当，时，，，当时，此时显然不成立.
猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3. ……12分
下证：当时，恒成立.
由（1）知，，则，
因为
. ……14分
又，当时，.……15分
当时，，所以.
综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得恒成立. ……17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
C
D
A
D
题号
9
10
11
答案
BCD
ABD
AC
性别
阅读
合计
一般
爱好
男生
10
15
25
女生
13
12
25
合计
23
27
50
0
1
2